Hệ thống kiến thức Toán THPT

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂNB/ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:  3/ cot x cos sin x x sin sin cos cos cos cos cos sin sin... HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂNC.PHƯƠ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT QUANG TRUNGMÔN TOÁN

Năm học: 2010 - 2011

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

PHẦN 1: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 10& 11

A B

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

B/ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:



3/ cot x cos

sin

x x

sin( ) sin cos cos

cos( ) cos cos sin sin

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = 4cos3x – 3cosx

6/ Công thức biểu diễn theo tanx:

sin 2 2 tan2

1 tan

x x

x





2 2

1 tancos 2

1 tan

x x

x





 tan 2 2 tan2

1 tan

x x

21sin sin cos( ) cos( )

8/ Công thức biến đổi tổng thành tích:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

d Cung sai kém nhau :  và   

e Cung hơn kém nhau :  và  

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

1/ Phương trình lượng giác cơ bản

k v u

( k  Z )cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z )tanu = tanv  u = v + k ( k  Z )cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

2/ Phương trình c ơ bản đặc biệt :

sinx = 0  x = k ,

sinx = 1  x =2 + k2 , sinx = -1  x = - 2 + k2 cosx = 0  x = 2 + k  ,

cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Cách giải : acosx + bsinx = c  2 2 cos( )

cos

b a

a





4 / Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai :

asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0

Cách gi ải :

Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

Xét cosx 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx

5/ PT dạng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện  2 t 2 khi đó sinxcosx = t22 1

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo

t phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện  2 t 2 khi đó

sinxcosx =

2

1  t2

6 Các phương trình lượng giác khác.

Tùy theo phương trình đã cho, ta dung các phép biến đổi lượng giác để qui phương trình đã cho về các dạng phương trình thường gặp

D CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG:

I Hằng Đẳng Thức:

1/ (a b )2 a22ab b 2 2/ a2 b2 (a b a b )(  ) 3/ (a b )3 a33a b2 3ab2b3

4/ a3b3 (a b a )( 2 ab b 2)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

a b c  a b c   

2 Mở rộng bđt cauchy cho n số không âm:

Cho a1, a2,…,an là các số không âm Khi đó:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một

trong hai phương án A và B Phương án A có thể thực hiện bởi

n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, côngviệc được thực hiện theo n + m cách

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và

B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B cóthể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởin.m cách

II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1 Hoán vị:

a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n

phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị cácphần tử của tập A

b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu

Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n

2 Chỉnh hợp:

a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k  mà

1 k n   Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp

k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phépchỉnh hợp chập k của n phần tử

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1 Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:

 Vectơ u có toạ độ (x;y)  u=x.i+y.j  

 Điểm M có toạ độ (x;y)  OM=x.i+y.j  

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

2 Tích vô hướng của hai véctơ:

Cho u=(x;y) và v=(x';y') Ta có:

 Các phép toán về vectơ:

o u ± v = (x±x' ; y±y' ) 

o ku=(kx;ky)

o | u|= x +y 2 2

 Tích vô hướng của hai vectơ:

o ĐN tích vô hướng: u.v=   u v cos(u,v)   

o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'  

x.x'+y.y' cos(u,v)=

x +y x' +y'

 

 Diện tích tam giác :

Cho tam giác ABC với ABa a1; 2





HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 PT chính tắc của d (khi ab0) là: x-x0 y-y0

=

a b (2)

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháptuyến n=(A;B)

 Phương trình tổng quát của d A(x-x 0 )+B(y-y 0 )=0 (3)

 Phương trình : Ax+By+C=0 với A2+B2>0 là pt đt(d) có vectơ pháp tuyến là n=(A;B)

 Chú ý:

- Phương trình các đường thẳng đặc biệt:

Trục Ox: y = 0 ; Trục Ox: y = 0

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:Đường thẳng (d)

đi qua A(a;0), B(0;b)

 Phương trình là: x y+ =1

a b (4)

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k

Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc

k thì:

 Phương trình là: y k x x   0 y0 (5)

Phương trình đường thẳng dạng: y = ax + b (6)

4 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R

Phương trình có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2

 Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+2ax+2by +c=0,với điều kiện : a2+b2>d, là phương trình đường tròn có tâm I(a;b;c) và có bán kính R= a +b +c -d2 2 2

* Giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C):

Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d); R là bán kính của đường tròn :

o IH>R : (d)(C)=

o IH=R : (d)(C)=H, (d) tiếp xúc với (C)

o IH<R : (d)(C) tại hai điểm phân biệt

7 Phương trìnhtiếp tuyến của đường tròn:

 Dạng 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính

R và điểm M(x0;y0) thuộc (C) Khi đó IM x0 a y; 0 b

là VTPT của tiếp tuyến (d)

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

x0 a x x   0  y0 b y y   0 0

 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (d)của đường tròn đi qua

điểm M(x0;y0) không thuộc (C)

* Gọi n=(A;B) là VTPT của (d) qua M Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng:

A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) = 0 Ax By Ax  0 By0 0

* Do (d) tiếp xúc (C) nên : d I d ;   R Giải phương trình tìm A, B

* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (d)cho biết hệ số góc a

* Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = ax + b

0

ax y b

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

* Do (d) tiếp xúc (C) nên : d I d ;   R Giải phương trình tìm A, B

* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

/ / 2

tan

cos

u u

u



HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

2

cot

sin

u u

Các bước khảo sát hàm đa

log

.ln

a

u u

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

2 Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực

- Chiều biến thiên, cực trị

Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ

không cần xét đaọ hàm cấp hai

1/ Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

d cx

b ax

D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

r q px b

x a

c bx ax

a.a’ > 0 a.a’ < 0

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

II CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

1/ Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Số giao điểm của hai đường (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x)

là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ), (C 2 ): f(x) = g(x) (1)

Sự tiếp xúc của hai đường cong:

Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau

+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là mộtđường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox

Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)

Sự tiếp xúc của hai đường cong:

Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau

tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0 ; 0 C

 Tính đạo hàm và giá trị f x' 0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0 ; 0 C có hệ số góc

 0

'

kf x .

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình: f x' k, tìm nghiệm x0  y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Chú ý: Cho đường thẳng  :Ax By C   0, khi đó:

 Nếu d//    d :y ax b   hệ số góc k = a.

 Nếu d    d :y ax b   hệ số góc k 1

a

 .

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x y A; A   C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó

 d :y k x x   Ay A

 Điều kiện tiếp xúc của  d và  C là hệ phương trình sau phải

 '

Tổng quát: Cho hai đường cong  C y: f x  và C' : y g x  

Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

I/ Công thức luy thừa

Cho a, b là số thực dương và x, y là số thực tùy ý

III/ Tính chất của căn bậc n

II/ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

log log

a

y

a x

a 1

Lũy thừa thừa với số mũ log ( ) logx x  x log x , (



10

e

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

a x n a x (x > 0)log

b

  (x,b > 0 )log loga b b xloga x

1log

 Dùng PP: Logarit hóa 2 vế theo cơ số a

 Đóan nghiệm và CM nghiệm

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

+ Nếu a>1 thì (*) f(x) > g(x)

+ Nếu 0<a<1 thì (*) f(x) > g(x)

Dạng 2 : logaf(x) > c (*) (0<a 1)

+ Nếu a>1 thì (*) f(x) > ac

+ Nếu 0<a<1 thì (*) f(x) < ac

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 Logarit hóa với cơ số thích hợp đưa về phương trình bậc 2, 3 về đa thức.

Giải các phương trình sau:

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

1) Biến đổi về cùng cơ số: af(x), a2f(x), a3f(x), Đặt t = af(x)

( t > 0 ), đưa về phương trình bậc 2, 3 , theo t Rồi giải tiếp.

Chú ý: Cách giải tương tự đối với phương trình dạng:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Do đó nếu pt có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Đoán nghiệm và kết luận.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Các công thức và quy tắc logarit cần nhớ:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

n

a a

m n

m b b

log

b a

b

c c

a





HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của h àm số.

 Cho phương trình logarit dạng f x( )g x( ), trong đó

( )

f x là hàm đồng biến (nghịch biến) và g x( )là hàm nghịch biến (đồng biến).

Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Đoán nghiệm và kết luận.

Giải các phương trình sau:

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 3

2

03

cos sin

C x

C x dx

cos12 tan

C x dx

sin12 cot

 2 2

1ln2

a dx

cos 1sin

a dx b

; a x

) x ( g y

: ) ' C (

) x ( f y

: ) C (

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Công thức : Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong 2

giới hạn bởi : /

( ) : ( )( ) : ( )

Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z= a – bi

2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

= ; = z1

2

1 2

1

z

z z

5.Dạng lượng giác của số phức

*Cho z = a + bi thì môđun r và argument  được tính bởi công thức sau:

zk = (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

PHẦN 4: HÌNH HỌC 11& 12

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 -

10

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Cho  ABCvuông ở A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2 AB2AC2 b) BA =BH.BC; CA =CH.CB2 2

c) AB AC = BC AH=2SABC

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

sinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến:  2 2 2

2 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

b' b

a' a

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

d

a b P

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Định nghĩa: Góc giữa

đường thẳng d và mặt phẳng(P)

là góc giữa đường thẳng d và

hình chiếu d’ của nó trên (P)

PP: d’ là hình chiếu của d trên

(P)  (d;(P))=(d;d’)

4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông

góc với một đường thẳng cho trước

A Dạng toán cơ bản:

1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

b a

Q P

a b

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) Có

duy nhất một mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P)

A Dạng toán cơ bản:

1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng  :

Hạ MH vuông góc với  tại H  d(M;)=MH

2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):

Hạ MH vuông góc với (P) tại H  d(M;(P))=MH

3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Lấy M bất kì thuộc (P)  d((P);(Q)))=d(M;(Q)))

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau:

a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau:

 Nếu ab thì ta dựng mặt phẳng(P)

chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ

MNb tại N Khi đó MN là đoạn

vuông góc chung của a và b

P a

a

R

Q P

Vấn đề 4:

Khoảng cách

a

b P

M

N

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

 Nếu a không vuông góc với b thì:

- Dựng mặt phẳng(Q)) chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q)), a’ cắt b tại J

- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q)) cắt a tại I

Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

h : chieàu cao

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN a) Thể tích khối hộp chữ

1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

2 2 2

a +b +c ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = a 3

23/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnhbên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

O

S

M

l h

R

R R O M

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cảcác đỉnh của nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh

Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên

Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E

là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

1 Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:

 Vectơ u có toạ độ (x;y;z)  u=x.i+y.j+z.k   

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÕ THANH NGÂN

Cho u=(x;y;z) và v=(x';y';z') Ta có:

 Các phép toán về vectơ:

o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z') 

o ku=(kx;ky;kz)

o | u|= x +y +z 2 2 2

 Tích vô hướng của hai vectơ:

o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z'  

= u v cos(u,v)    

o Góc giữa hai vectơ:

2 2 2 2 2 2

x.x'+y.y'+z.z' cos(u,v)=