Hệ thống kiến thức toán 9

Định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. Định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâ

I/Đại Số:

Câu 1: Định nghĩa căn bậc hai với

giá trị nào của A thì A có nghĩa.

ĐN: Với số dương a, số a được gọi

là căn bậc hai số học của a

*/ a < b  a  b

*/ A chỉ có nghĩa khi A  0

Áp dụng: Với giá trị nào của x để

x

3   có nghĩa

Câu 2: Chứng minh định lí: Với mọi

số thực a thì a2  a

- Ta có a  0theo định nghĩa giá trị

tuyệt đối

- Nếu a  0 thì a  a , do đó

2 2

a

a  , Nếu a < 0 thì a   a, do

đó 2  2 2

a a

- Từ a2  a , theo định nghĩa GTTĐ

ta suy ra: a 2 a với a  0 và

a

a2   với a  0

Áp dụng: Tính  2  2

3 2 3

Câu 3: Định lí: Với hai số a, b (a  0; b

 0)

thì a b  a b

*/ Với A, B là các biểu thức với A  0;

B  0

A.B  A. B ; ( A)2  A2 A

Câu 4: Định lí: Với hai số a, b (a  0; b

> 0)

thì a a

b  b

*/ Với A, B là các biểu thức A  0; B >

0:

Ta có

B

A B

A



Câu 5: a/ Quy tắc khai phương một

tích: Muốn khai phương một tích của

các số không âm, ta có thể khai

phương từng thừa số rồi nhân các

kết quả với nhau

Áp dụng: Tính: 64 25; 90 2 , 5 ;

2

2 108

117  ;

32

.

72 ; 3 , 6 390 ; 2 , 5 810

Câu 5: b/ Quy tắc khai phương một

thương: Muốn khai phương một

thươnga

b, trong đó số a không âm và

số b dương, ta có thể khai phương lần

lượt số a và số b, rồi lấy kết quả

Câu6:a/ Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai

của các số không âm ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó

Áp dụng: Tính: 200 2 ; 12a 3a

Câu6:b/ Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia hai căn thức bậc

hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó

Áp dụng: Tính:

3

27 : 2

50

; 111

999

; 735 15

3

108

; 15 : 5 3 3

a a

Câu 7: a/Đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn:

*/ Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta

có:

2  ; ( , 0)

; ( 0; 0)

A B A B

  

*/ Với A, B  0 ta có: A B  A B2

Với A < 0, B  0 ta có: A B A B2

b/ Khử mẫu biểu thức lấy căn: A

 0; B > 0

A AB

B  B

c/ Trục căn thức: A A B

B

B  (B > 0)

C C( A B2 )

A B

A B  



; (A  0; A 

B2)

C C( A B)

A B



; (A, B  0; A 

B)

Câu 8: Thế nào là tập xác định của hàm số? Tập xác định của hàm

số y = f(x) là tập tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Câu 9: Định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất:

-Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là

hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a,b là các số cho trước và

a  0

-Tính chất: Hàm số bậc nhất xác

định với mọi giá trị x thuộc R và có

tính chất sau:

Trang 1 Giúp ôn tập toán 9. GV: Nguyễn V n Bá ă

thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

Áp dụng: Tính:

225

256 ;

9

194 ;

 

16

1

9  a 2

a/ Đồng biến trên R, khi a > 0 b/ Nghịch biến trên R, khi a < 0.

Áp dụng: Tìm TXĐ và tính chất của

các hàm số sau:

a/ y = 3x + 5; b/ y = -x - 1; c/ y = 7 - 2x; d/

y = 2 + x

Câu 10: Đồ thị của hàm số y = ax

+ b (a  0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng b

- Song song với đường thẳng y = ax,

nếu b  0; trùng với đường thẳng y =

ax, nếu b = 0

*/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax

+ b (a  0)

+/ Cho x = 0  y = b ; A(0; b)

Cho y = 0  x = b

a

 ; B( b

a

 ; 0) +/ Biểu diễn A và B trên mp toạ

độ

+/ Vẽ đường thẳng đi qua hai

điểm A, B ta được đồ thị của hàm số

y = ax + b (a  0)

Câu 11: Các vị trí của hai đường

thẳng:

Cho đường thẳng (d): y = ax + b

(a  0)

(d’): y = a’x + b’ (a’

 0)

+/ (d) // (d’)  a = a’ và b  b’

+/ (d)  (d’)  a = a’ và b = b’

+/ (d) cắt (d’)  a  a’

+/ (d) cắt (d’) tại một điểm

trên trục tung khi và chỉ khi: a  a’ và b

= b’

*/ Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

là hệ thức dạng ax + by = c trong đó

a, b, c là các số đã biết (a  0 hoặc b

 0)

*/ Cho hai phương trình bậc nhất hai

ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ Khi đó,

ta co hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn: (I)  ' ' '

ax by c

a x b y c

 

  Nếu hai phương trình ấy có nghiệm

chung (x0; y0) thì (x 0 ; y 0 ) được gọi là

một nghiệm của hệ (I) Nếu chúng

không có nghiệmchung thì ta nói hệ (I)

vô nghiệm

Giải hệ phương trình là tìm tất cả

các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.

Câu 12: Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn: p.trình bậc hai

một ẩn là phương trình có dạng: ax2 +

bx + c = 0 trong đó a, b, c là các hệ số đã cho.(a  0)

viết ctn của p.trình ax 2 + bx + c = 0 ( a  0)

 = b 2 - 4ac.

- Nếu  < 0: P.trình vô nghiệm

- Nếu  = 0: Pt có nghiệm kép: x 1

= x 2 =

a

b

2



- Nếu  > 0: Pt có 2 nghiệm phân biệt:

x 1 =

a

b

2





 ; x 2 =

a

b

2







Câu 13: Phát biểu và chứng minh hệ thức viét:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = x1 + x2 =

a

b



; P = x1.x2 =

a c

Chứng Minh:

a

b a

b a

b a

a

b a

a









































2 2 2

2 2

2

a

c a

ac b

b a

a

b















 













 

2

2 2 2 2

4

4 2

2

*/ Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a  0) (1) Có hai nghiệm x 1 ; x 2

/ Pt (1) có chứa tham số m

+/ Pt (1) có hai nghiệm trái dấu khi

x1.x2 < 0

+/ Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu khi

x1.x2 > 0

+/ Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu

dương khi x 1.x2 > 0 và x1+x2 > 0 Cùng

dấu âm khi x 1.x2 > 0 và x1+x2 < 0

*/ Định nghĩa hai hệ phương trình

tương đương: Hai hệ phương trình

được gọi là tương đương với nhau

nếu chúng có cùng tập nghiệm.

+Hai hệ phương trình vô nghiệm thì

tương đương.

+Hai hệ phương trình có vô số

nghiệm thì chưa chắc tương đương.

*/ Các phương pháp giải hệ

phương trình:

+Phương pháp thế (Quy tắc thế)

+Phương pháp cộng (Quy tắc

cộng)

*/ Cách giải bài toán bằng cách

lập hệ phương trình: Tương tự với

cách giải bài toán bằng cách lập

phương trình đã học ở lớp 8

Câu 3: Quan hệ  giữa đường kính

và dây cung.

Định lí: Trong một đường tròn, đường

kính vuông góc với một dây thì đi qua

trung điểm của dây ấy

Định lí: Trong một đường tròn, đường

kính đi qua trung điểm của một dây

không đi qua tâm thì vuông góc với dây

ấy

*/ Liên hệ giữa dây và khoảng

cách từ tâm đến dây

Định lí: Trong một đường tròn: Hai

dây bằng nhau thì cách đều tâm Hai

dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lí: Trong hai dây của một đường

tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần

tâm hơn Dây nào gần tâm hơn thì dây

đó lớn hơn.

Câu 4: Vẽ các vị trí tương đối

giữa đường thẳng và đường tròn,

nêu các hệ thức:

(d:khoảng cách từ O đến a(OI);

R: Bán kính đường tròn O)

Câu 5: Định nghĩa tiếp tuyến của

một đường tròn: một đường thẳng

+/ Pt (1) có hai nghiệm đối nhau khi x1

+ x2 = 0.

+/ Pt (1) có hai nghiệm nghịch đảo khi

x1.x2 = 1.

Sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm ra điều kiện của tham số m

II/ HÌNH HỌC:

Câu 1: Định nghĩa đường tròn: Tập

hợp các điểm cách O cho trước một khoảng cách không đổi R > 0 được gọi là đường tròn tâm O bán kính R

Câu 2: Các cách xác định một đường tròn:

- Một điểm O cho trước và một số thực R > 0 cho trước xác định một đường tròn tâm O bán kính R

- Một đoạn thẳng AB cho trước xác định được một đường tròn đường kính AB

- Ba điểm không thẳng hàng xác định được một đường tròn đi qua

3 điểm đó

Câu 6: Các vị trí tương đối giữa hai đường tròn:

(O;R) và (O’;r) với R > r và d = OO’.

1/ Hai đường tròn ở ngoài nhau:

2/ Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

3/ Hai đường tròn cắt nhau: R - r < d

< R + r

Trang 3 Giúp ôn tập toán 9. GV: Nguyễn V n Bá ă

c/ Đ.thẳng cắt Đ.tròn:

d < R

a/ Ở ngoài nhau:

d > R + r

b/ Đ.thẳng tx với

Đ.tròn:

d = R

a/ Tiếp xúc ngoài:

d = R + r

a/ Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ:

d < R - r

b/ Tiếp xúc trong:

d = R - r

a/ Đường thẳng

và đường tròn

không giao nhau:

d > R

d

A' O' R

A r O

O' A O

I

R

d

a

O

I

R

O

O'

O

I

a

O

A'

O' A O

O'

O

được gọi là một tiếp tuyến của

một đường tròn nếu nó chỉ có một

điểm chung với đường tròn đó

*/ Định lí: Nếu một đường thẳng

là tiếp tuyến của một đường tròn thì

nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp

điểm

*/ Dấu hiệu nhận biết tiếp

tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua

một điểm của đường tròn và vuông

góc với bán kính đi qua điểm đó thì

đường thẳng ấy là một tiếp tuyến

của đường tròn.

*/ Định lí hai tiếp tuyến cắt

nhau tại một điểm: Nếu hai tiếp

tuyến của một đường tròn cắt nhau

tại một điểm thì: Điểm đó cách đều

hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm đó đi

qua tâm là tia phân giác của góc tạo

bởi hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm đi qua

điểm đó là tia phân giác của góc tạo

bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

*/ Tính chất đường nối tâm:

a/ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì

hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

b/ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau

thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

Câu 7: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

*/ Định nghĩa:

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa

360 0 và số đo của cung nhỏ (có chung

hai mút với cung lớn)

- Số đo của nửa đường tròn bằng

180 0

*/ Trong một đường tròn hay trong

hai đường tròn bằng nhau:

-Hai cung được gọi là bằng nhau

nếu chúng có số đo bằng nhau.

-Trong hai cung, cung nào có số đo lớn

hơn được gọi là cung lớn hơn.

*/ Định lí: Nếu C là một điểm nằm

trên cung AB thì:

sđAB = sđAC + sđCB

Câu 8: Liên hệ giữa cung và dây:

Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một

đường tròn hay trong hai đường tròn

bằng nhau:

a/ Hai cung bằng nhau căng hai dây

bằng nhau.

b/ Hai dây bằng nhau căng hai cung

bằng nhau.

Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một

đường tròn hay trong hai đường tròn

bằng nhau:

a/ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b/ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Câu 9: Định nghĩa góc nội tiếp:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên

đường tròn và cạnh chứa hai dây cung

của đường tròn đó

- Cung nằm bên trong góc được gọi

là cung bị chắn.

*/ Định lí về góc nội tiếp và

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Câu 13: Công thức tính:

 Độ dài đường tròn: C = 2R.

 Độ dài cung tròn: l =

180

Rn



 Diện tích hình tròn: S = R2

 Diện tích hình quạt tròn: Sq =

2 360

2n lR R





(Trong đó: R là bán kính (O); n là số đo của cung)

Câu 14: Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích:

*/ Hình trụ: Sxq = 2Rh

S tp = 2Rh + 2R 2

V = S.h = R 2 h

*/ Hình nón: Sxq = Rl

S tp = Rl + R 2

V = 1

3R2 h

Hình nón cụt: Sxq = (R 1 + R 2 )l

V = 1

3h(R1 + R 2 +

R 1 R 2 )

*/ Hình cầu: S = 4R2 = d 2

R: bán kính

đáy

h: chiều cao R: bán kính đáy h: chiều cao l: độ dài đường

sinh

R 1 ; R 2 : hai đáy

hình nón cụt

R: bán kính hình

C H

B A

C B

A

C B

A

cung bị chắn: Trong một đường tròn,

số đo của góc nội tiếp bằng nửa số

đo của cung bị chắn.

*/ Các hệ quả: Trong một

đường tròn:

a/ Các góc nội tiếp bằng nhau

chắn các cung bằng nhau.

b/ Các góc nội tiếp cùng chắn

một cung hoặc chắn các cung bằng

nhau thì bằng nhau.

c/ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc

bằng 90 0 ) có số đo bằng nửa số đo

của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d/ Góc nội tiếp chắn nửa đ tròn

là góc vuông.

Câu 10: Định lí về góc tạo bởi

một tia tiếp tuyến và một dây

cung: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp

tuyến và dây cung bằng nửa số đo

của cung bị chắn.

Câu 11: Phát biểu định lí góc có

đỉnh bên trong, bên ngoài đường

tròn:

a/ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong

đường tròn bằng nửa tổng số đo hai

cung bị chắn

b/ Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài

đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai

cung bị chắn.

Câu 12: Định lí về tứ giác nội

tiếp đường tròn:

Trong một tứ giác nội tiếp:

Tổng số đo hai góc đối diện bằng hai

góc vuông.

V = 4

3R3

Câu 15: Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

a/ AB2 = BC.BH ; AC 2 = BC.CH

b/ AH2 = BH.CH

c/ AB.AC = AH.BC d/ 1 2 12 12

AH AB  AC

Câu 16: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

sinB AC

BC

 ; sinC AB

BC



cosB AB

BC

 ;

BC

AC

C 

cos

AC tgB AB

 ; tgC AB

AC

 ; cotgB AB

AC

 ; cotgC AC

AB



*/ Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:

sinB = cosC; cosB = sinC; tgB = cotgC; cotgC = tgB

Câu 17: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

Trang 5 Giúp ôn tập toán 9. GV: Nguyễn V n Bá ă

*/ AB = BC.sinC =

BC.cosB

AC = BC.sinB = BC.cosC

*/ AB = AC.tgC =

AC.cotgB