ĐỀ I Câu 1 3 điểm a Tồn tại hay không hai tứ giác có cùng chu vi nhưng một tứ giác có diện tích gấp 20 lần tứ giác kia?. ĐỀ II Câu 1 3 điểm a Chứng minh rằng mọi hình chữ nhật đều đồng p
Trang 1ĐỀ I Câu 1 (3 điểm)
a) Tồn tại hay không hai tứ giác có cùng chu vi nhưng một tứ giác có diện tích gấp 20 lần tứ giác kia?
b) Hãy nêu cách phân hoạch tứ diện ABCD đã cho thành bốn tứ diện, kể trên những tứ diện đó Từ đó, hãy phân hoạch một tứ diện thành 18 tứ diện bằng một số ít nhất mặt phẳng cắt
c) Thế nào là đa diện đều loại {p; q}, các loại đa diện đều Chứng minh
số cạnh c của đa diện đều loại {p; q} được tính theo công thức
1
c =
1
p +
1
q − 1 2
Câu 2 (2 điểm) Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng BC và IK, CA và HK, AB
và HI cắt nhau thì ba giao điểm của chúng thẳng hàng
Câu 3 (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a Hai nửa đường thẳng Ax và By nằm cùng phía đối với AB và vuông góc AB Hai điểm M, N di động lần lược trên Ax và By sao cho diện tích hình thang ABN M không đổi Tìm quỹ tích hình chiếu H của trung điểm AB lên đoạn M N Câu 4 (3 điểm) Cho ∆ABC(AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC vẽ đường kính AK Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) ∆ABD, ∆AKC đồng dạng với nhau Từ đó suy ra S = AB.BC.CA4R
Trang 2ĐỀ II Câu 1 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng mọi hình chữ nhật đều đồng phân với một tam giác và ngược lại mọi tam giác đều đồng phân với một hình chữ nhật
b) Cho đa diện đều loại {p; q} Chứng minh rằng số đỉnh d và số mặt
m của đa diện đều được tính theo công thức:
2p + 2q − pq m =
4q 2p + 2q − pq c) Hãy phân hoạch một hình hộp thành 5 tứ diện
Câu 2 (2 điểm) Cho (O; R), (I, r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh OI2 = R2− 2Rr
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC có hai điểm A, B cố định và điểm C
di động sao cho [ACB = 110o Trên tia đối của tia CA lấy M sao cho
CM = CB Tìm quỹ tích điểm M khi C di động
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giac đều ABC Gọi O là trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động M, N sao cho \M ON = 60o Chứng minh rằng:
a) Hai tam giac OM B, N OC đồng dạng Từ đó suy ra BM, CN không đổi
b) Các tia M O, N O lần lượt là các tia phân giác của các góc \BM N , \CN M
Trang 3ĐỀ III Câu 1 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng tồn tại hình chữ nhật đồng phân với một tam giác đã cho
b) Thế nào là đa diện đều loại {p; q} Kể tên các loại đa diện đều c) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
Câu 2 (2 điểm) Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI cắt nhau thì ba giao điềm thằng hàng
Câu 3 (3 điểm) Cho tam giác ABC có A, B cố định và điểm C di động sao cho góc [ACB = 60o Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi C di động
Câu 4 (2 điểm) Xét bài toán “Cho tam giác ABC, ha, hb, hc lần lượt là đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Chứng minh h1
a +h1
b +h1
c = 1r” Bằng cách
sử dụng những suy luận có lý hãy đề xuất một bài toán mới và giải bài toán đó
Trang 4ĐỀ IV Câu 1 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác chia tam giác đó thành hai tam giác đồng phân
b) Cho khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các đáy.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
c) Bằng một số ít nhất các mặt phẳng hãy phân hoạch một tứ diện thành 12 hình tứ diện
Câu 2 (2 điểm) Cho phép đảo cực O phương tích k Gọi M0, N0 là ảnh của hai điểm M, N qua phép đảo cực đã cho Chứng minh rằng
M0N0 = |k|M N
OM.ON
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có hai điểm
A, B cố định và điểm di động C trên (O) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi C di động trên (O)
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BC = a, AC = b Vẽ các đường phân giác BD, CE
a) Chứng minh rằng DE k BC
b) Chứng minh rằng DE1 = 1
a +1 b
Trang 5ĐỀ V Câu 1 (3 điểm)
a) Dựng hình bình hành đồng phân với một tam giác đã cho và ngược lại dựng tam giác đồng phân với một hình bình hành đã cho b) Chứng minh rằng tam giác đều có diện tích lớn nhất trong các tam giác có cùng chu vi 2P Tính diện tích tam giác đều theo P c) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D với AB = 2a, DC = a, [ABC = 60o.SA vuông góc đáy (ABCD) và SA = a√
2 Tính thể tích khối chóp đã cho
Câu 2 (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm P, Q không thuộc đường tròn (O) Một đường thẳng d thay đổi đi qua P và cắt (O) tại M, M0 a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QMM’ đi qua một điểm cố định
b) Một cát tuyến ∆ bất kỳ qua Q cắt (O) tại A, B (khác M, N ) Xác định ảnh của đường thẳng ∆ qua phép nghịch đảo tâm P tỉ số
k = OP2− R2
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích M trong mặt phẳng sao cho M A2+ M B2 = M C2
Câu 4 (3 đểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi P, Q, R theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB a) Chứng minh rằng AP ⊥QR
b) Giả sử AP cắt CR tại I Chứng minh CP I là tam giác cân