luận văn tốt nghiệp ĐHSP cấu trúc đa tạp RIEMANN của nửa không gian trên

luận văn tốt nghiệp ĐHSP cấu trúc đa tạp RIEMANN của nửa không gian trên

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

? ? ?F ? ??

TÔN THỊ YẾN ANH

CẤU TRÚC ĐA TẠP RIEMANN CỦA NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

HUẾ, KHÓA HỌC 2007 - 2011

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình,chu đáo của Thầy Trần Đạo Dõng Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chânthành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo tronglĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán - TrườngĐại học sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu,cũng nhưtạo điều kiện để tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè tronglớp toán 4A đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tậpvừa qua

Xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiệnTôn Thị Yến Anh

Mục Lục

1.1 Trường véc tơ và trường mục tiêu 2

1.2 Dạng vi phân và trường đối mục tiêu 3

1.3 Đa tạp tôpô và đa tạp khả vi 5

1.4 Đa tạp Riemann 7

1.5 Phép biến đổi đẳng cự trên đa tap Riemann 9

1.6 Dạng liên kết và phương trình cấu trúc 9

2 CẤU TRÚC RIEMANN CỦA NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ NỬA KHÔNG GIAN TRÊN 15 2.1 Cấu trúc Riemann của nửa phẳng Poincaré và đĩa Poincaré 15

2.2 Cấu trúc Riemann của nửa không gian trên 27

MỞ ĐẦU

Trong quá trình phát triển lý thuyết hình học vi phân, nhiều cấu trúcquan trọng đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát Một trong nhữngcấu trúc quan trọng được khảo sát cảm sinh từ cấu trúc đa tạp đó là cấu trúc

đa tạp Riemann, được biết như là một đa tạp khả vi sao cho với mỗi phần tửcủa đa tạp, không gian tiếp xúc tại điểm đó được trang bị một metric Riemann,tức là một tích vô hướng tương thích với cấu trúc khả vi của đa tạp đó Vớimong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc này và được sựhướng dẫn tận tình của thầy Trần Đạo Dõng, tôi đã lựa chọn đề tài Cấu trúc

đa tạp Riemann của nửa không gian trên để nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các các khái niệm và tínhchất cơ bản của đa tạp Riemann và ứng dụng để khảo sát cấu trúc đa tạpRiemann của nửa mặt phẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré và nửa không giantrên Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, khoá luận được chialàm hai chương

Chương 1 giới thiệu các kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi và đa tạp Riemann

có liên quan đến việc nghiên cứu cấu trúc Riemann của nửa mặt phẳng trên

và nửa không gian trên của chương 2

Chương 2 tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Riemann 2-chiều của nửa mặtphẳng Poincaré, đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác định metric Riemann,khảo sát các phép biến đổi đẳng cự, độ cong Gauss và mở rộng một số kếtquả cho trường hợp nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann3-chiều

Chương 1

ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả

vi và đa tạp Rienmann như trường vector và dạng vi phân, phép biến đổi đẳng

cự, dạng liên kết và phương trình cấu trúc, liên quan đến chương sau Cáckiến thức trình bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [2], [3], [5]

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Euclid En là một không gian afin liên kết vớikhông gian véc-tơ Euclid−→

En Mỗi phần tử αp = (p, −→α ) ∈ T En = En×−E→n đượcgọi là một véc-tơ tiếp xúc của En tại p

T En được gọi là không gian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc)của En, mỗi phần tử của T En được kí hiệu là α

Với p ∈ En, kí hiệu TpEn là tập các véc-tơ tiếp xúc của En tại p Khi đó

TpEn là một không gian véc-tơ thực n- chiều và được gọi là không gian véc-tơtiếp xúc của En tại p

Cho U là một tập mở trong En Khi đó T U = U ×−→

En được gọi là khônggian các véc-tơ tiếp xúc (hay phân thớ tiếp xúc) của U Với p ∈ U , kí hiệu

TpU = TpEn và gọi là không gian véc-tơ tiếp xúc của U tại p

Định nghĩa 1.1.2 Trường véc-tơ trên tập mở U ⊂ En là ánh xạ

X : U −→ T U

p 7−→ X(p)sao cho với p ∈ U, ta có X(p) ∈ TpU

Từ định nghĩa ta thấy trường véc-tơ X : U −→ T U xác định một hàm

véc-tơ −→

X : U −→ En (và ngược lại X xác định bởi−→

X ), theo công thức X(p) =(p,−→

X (p))

Trường véc-tơ X được gọi là khả vỉ (lớp Ck) nếu hàm véc-tơ −→

X khả vỉ(lớp Ck) Khi −→

X là ánh xạ hằng thì trường véc-tơ X được gọi là trường véc-tơsong song

Định nghĩa 1.1.3 Cho cung tham số ρ : J → En, t 7→ ρ(t) Trường véc-tơ dọctheo ρ là ánh xạ X : J −→ En sao cho t ∈ J, ta có X(t) ∈ Tρ(t)En

Xét trường mục tiêu Z trên tập mở U ⊂ En và véc-tơ α ∈ TpU Lấy cungtham số ρ : J → U sao cho ρ0(t0) = α, ta có t 7→ Z(ρ(t)) là một trường véc-tơdọc theo ρ Khi đó véc-tơ D(Z◦ρ)dt (t0) không phụ thuộc vào ρ đã chọn Ta địnhnghĩa D(Z◦ρ)dt (t0) là đạo hàm của trường véc-tơ Z theo véc-tơ tiếp xúc α Kí hiệu

là DαZ

Định nghĩa 1.1.4 Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ En là hệ ntrường véc-tơ (khả vi) {U1, U2, , Un} trên U sao cho mỗi p ∈ U , hệ véc-tơ{U1(p), U2(p), , Un(p)} là một cơ sở của TpU

Nếu với mỗi p ∈ U, Ui(p).Uj(p) = δij thì trường mục tiêu {Ui} được gọi làtrường mục tiêu trực chuẩn Nếu có hai trường mục tiêu {Ui}, {Vi} trên tập

mở U thì ta có Vi =P j

i CijUj, trong đó Cij là một hàm trên U Ma trận (Cij)n×nđược gọi là ma trận chuyển mục tiêu

1.2.1 Dạng vi phân bậc một

1 Cho U là một tập mở trong En Dạng vi phân bậc một( hay 1-dạng viphân) θ trên U là việc đặt tương ứng mỗi p ∈ U , một ánh xạ R- tuyến tính

θp : TpU → R Kí hiệu Ω1(U ) là tập hợp các dạng vi phân bậc một trên U

2 Cho θ, θ là hai 1-dạng vi phân trên U , ϕ là một hàm số trên U Tae

định nghĩa θ +θ, ϕθ là các 1-dạng trên U xác định bởie

(θ +θ)e p = θp+θep, (ϕθ)p = ϕ(p)θp, ∀p ∈ U

3 Cho θ là 1-dạng vi phân và X là trường véc-tơ trên U Ta có hàm sốθ(X) được xác định bởi θ(X)(p) = θp(X(p)), ∀p ∈ U

Khi đó nếu {U1, U2, , Un} là một trường mục tiêu trên U thì mọi dạng

vi phân bậc một θ trên U hoàn toàn xác định bởi các hàm số θ(Ui), i = 1, n.suy ra có các 1-dạng vi phân θi trên U xác định bởi:

2 Cho ω,ω là hai 2-dạng vi phân trên U, ϕ là một hàm số trên U Ta cóe

ω +ω, ϕω là các 2-dạng vi phân trên U xác định bởie

ϕi,jθi∧ θj, ϕi,j = ω(Ui, Uj)

Đặc biệt, trong tọa độ afin (x1, x2, , xn) trên tập mở U trong En, mỗi

ω ∈ Ω2(U ) viết được duy nhất dưới dạng:

ω = Xi<j

ϕi,jdxi∧ dxj, ϕi,j = ω(Ui, Uj)

1.2.4 Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc một

Cho U là một tập mở trong En, xét toạ độ afin (x1, x2, , xn) của En Khi

đó mọi dạng vi phân bậc một θ được viết duy nhất dưới dạng θ = P n

Giả sử (V, ϕ) là một bản đồ trên M Khi đó với mỗi x ∈ V , ϕ(x) ∈ V0được hiển thị dưới dạng ϕ(x) = (x1, x2, , xn) trong đó x1, x2, , xn ∈ R Tagọi các số xi là các toạ độ địa phương của x

Một họ các bản đồ {(Vi, ϕi)}i∈I của M sao cho {Vi}i∈I là một phủ mở của

M được gọi là một atlas của M Không gian tôpô M có một atlas được gọi làmột đa tạp tôpô

1.3.2 Đa tạp khả vi

Cho M là không gian tô pô Hausdorff Atlas {(Vi, ϕi)}i∈I của M đượcgọi là atlas khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý (V1, ϕ1), (V2, ϕ2) của at-las sao cho V1 ∩ V2 6= ∅ và ϕ1 : V1 −→ V10, ϕ2 : V2 −→ V20, ta có ánh xạ:

được gọi là tương đương với B, kí hiệu là A ∼ B, nếu {(Ui, ϕi), (Vj, ψj)}i∈I,j∈J

là một atlas khả vi của M Quan hệ hai ngôi ở trên là một quan hệ tươngđương và mỗi lớp tương đương được gọi là một cấu trúc khả vi trên M

Do mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một đại diện của

nó nên một atlas khả vi hoàn toàn xác định một cấu trúc khả vi

Không gian tô pô Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả vi xác địnhbởi atlas {(Vi, ϕi)}i∈I với ϕi : Vi −→ Vi0 ⊂ Rn được gọi là một đa tạp khả vi nchiều, ký hiệu dim M = n

1.3.3 Ví dụ

1 Rn là đa tạp khả vi n- chiều với atlas {(Rn, id)}

2 Cho M là một đa tạp khả vi với atlas {(Vi, ϕi)}i∈I và N là một tậpcon mở của M Khi đó N là một đa tạp khả vi với atlas {(N ∩ Vi, ϕi|N ∩V i)}i∈I

3 Xét siêu cầu n chiều trong Rn+1

Sn = {x = (x1, x2, , xn+1 ∈ Rn+1, (x1)2+ (x2)2+ + (xn+1)2 = 1}.Gọi N = (0, 0, , 0, 1) ∈ Rn+1 và S = (0, 0, , 0, −1) ∈ Rn+1 lần lượt làđiểm cực bắc và cực nam của Sn Xét UN = Sn\{N }, US = Sn\{S} là các tập

mở của Sn Ta có {UN, US} tạo thành một phủ mở của Sn

Xét phép chiếu nổi PN lên siêu phẳng xn+1 = 0 sao cho với mỗi x ∈ UN,ảnh PN(x) là giao của đường thẳng nối điểm đó và điểm cực bắc đến siêu phẳng

xn+1 = 0 Phép chiếu nổi từ cực nam PS được xác định tương tự

Khi đó Sn là đa tạp khả vi với atlas {(UN, PN), (US, PS)}

1.3.4 Ánh xạ khả vi

Cho M và N là các đa tạp khả vi lần lượt có số chiều là m, n Ánh xạ

f : M → N được gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và với mọi bản

đồ (U, ϕ) của M , bản đồ (V, ψ) của N sao cho U ∩ f−1(V ) 6= ∅ ta có ánh xạ

ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 từ tập con mở ϕ(U ∩ f−1(V )) của Rm vào Rn là ánh xạ khả vi.Ánh xạ khả vi f : M → N có ánh xạ ngược f−1 : N → M khả vi được gọi là

Đa tạp M cùng với một metric Riemann xác định trên M được gọi là một

đa tạp Riemann Kí hiệu (M, h, iM)

1.4.2 Độ dài cung

Cho α : I → M là một đường cong lớp C1trên đa tạp Riemann (M, h, iM)

Độ dài của α được xác định như sau:

không gian tiếp xúc tại điểm đó chính là Rnp ∼= Rn nên tích vô hướng trên khônggian tiếp xúc tại điểm p được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn.Vậy Rn với tích vô hướng chính tắc là một đa tạp Riemann.

2 Xét M = Rn và tại mỗi p ∈ M ta xác định một tích vô hướng :

h, iM = 4

(1 + |p|2)2 < Xp, Yp >,với <,> là tích vô hướng chính tắc trên Rn Khi đó, (Rn, h, iM) là một đa tạpRiemann n-chiều

Chứng minh

Ta có Rn là một đa tạp khả vi

Mặt khác ta có tích vô hướng tại điểm p ∈ Rn trên không gian tiếp xúc

Rnp được cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trên Rn Do đó tích vô hướngnhư trên xác định một metric Riemann trên Rn Vậy (Rn, h, iM)) là một đa tạpRiemann n- chiều

Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một đường cong trên đa tạp Rienmann (Rn, h, iM).Cho γ : R+ → Rn là đường cong được xác định bởi γ(t) = (t, 0, , 0), vớimọi t ∈ R+ Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác định như sau: L(γ) =

mở n-chiều, tức là Bn = {x ∈ Rn||x| < 1} Trên Bn ta trang bị metric Riemannsau:

h, iB n = 4

(1 − |p|2)2 < Xp, Yp > Khi đó (Bn, h, iB n) là một đa tạp Riemann và được gọi là không gianHypebolic n-chiều Kí hiệu Hn

Bây giờ ta sẽ xét độ dài của một cung tham số trên Bn

Cho γ : (0, 1) → Hn là một đường cong xác định bởi γ(t) = (t, 0, , 0),với mọi t ∈ (0, 1) Khi đó độ dài L(γ) của γ được xác đinh như sau:

L(γ) =R 1

0 k γ0(t) k dt

= 2R 1 0

√

<γ0(t),γ0(t)>

1−|γ| 2 dt

= 2R 1 0

dt 1−t 2 = 2ln1+t1−t = +∞

Định lí sau đây cho ta kết quả về sự tồn tại cấu trúc metric Rienmann

trên một đa tạp khả vi.

1.4.4 Định lí [2, Định lí 5.1.1]

Trên mỗi đa tạp khả vi đều có một metric Riemann

1.5.1 Biến đổi đẳng cự

Cho M, N là các đa tạp Riemann n-chiều Khi đó ánh xạ f : M → Nđược gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p ∈ M, ta có Tpf : TpM → Tf (p)N

là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng

Trường hợp ánh xạ đẳng cự f đồng thời là vi phôi được gọi là một viphôi đẳng cự

Một ánh xạ đẳng cự f : M → M còn gọi là phép biến đổi đẳng cự của

đa tạp Riemann M

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau:

1.5.2 Nhận xét

1 Ánh xạ đồng nhất id là một phép biến đổi đẳng cự

2 Nghịch đảo của phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự

3 Tích của các phép biến đổi đẳng cự là phép biến đổi đẳng cự

Nói cách khác, tập hợp các phép biến đổi đẳng cự của M lập thành mộtnhóm gọi là nhóm đẳng cự

1.6.1 Dạng liên kết

Cho R = {U1, U2, , Un} là trường mục tiêu trên tập mở U ⊂ Rn

Với mọi trường vecto X trên U , kí hiệu

trong đó ωij(X) ∈ F (U ), với F (U ) là vành các hàm khả vi trên U

Khi đó ωij là 1-dạng vi phân trên U và được gọi là dạng liên kết của Rntrong trường mục tiêu R trên U

được gọi là phương trình cấu trúc thứ hai của En.

Áp dụng các phương trình cấu trúc cho các mặt trong E3, ta thu đượckết quả sau:

1.6.4 Phương trình cấu trúc của mặt trong E3

1 Định nghĩa

Giả sử S là một mặt trong E3 có hướng xác định bởi trường vecto pháptuyến đơn vị n Khi đó ánh xạ

hp : TpS −→ TpS(α) 7−→ hp(α) = −Dαnđược gọi là ánh xạ Weingarten của S tại p

Vậy hp là một tự đồng cấu đối xứng

Dựa vào ánh xạ Weingarten ta có định nghĩa sau:

Thật vậy, ta có với mọi α ∈ TpS, hp(α) = −Dαn

suy ra hp(α) = ω31(α)U1(p) + ω23(α)U2(p),

V thoả mãn:

dθ1 = −ω21∧ θ2, dθ2 = −ω21∧ θ1

Chứng minh Mọi dạng vi phân bậc một ω12 trên V có dạng:

ω21 = ω12(U1)θ1+ ω12(U2)θ2.Mặt khác d(θ1) = −ω12∧ θ2

Suy ra dθ1(U1, U2) = −ω1

2 ∧ θ2(U1, U2)

⇔ dθ1(U1, U2) = −ω21(U1)θ2(U2) + ω21(U2)θ2(U1),

⇔ dθ1(U1, U2) = −ω21(U1)

Cho (M, <, >) là đa tạp Riemann 2-chiều Khi đó có một và chỉ một hàm

số K trơn trên M sao cho với trường đối mục tiêu {θ1, θ2} của trường mục tiêutrực chuẩn {U1, U2} tuỳ ý trên tập mở V của M ta có

dω21 = Kθ1∧ θ2

,trong đó ω1

2 là dạng liên kết của (M, h, i)

Hàm K được gọi là hàm độ cong Gauss (hay độ cong toàn phần) của (M, h, iM).Chứng minh

Dạng vi phân bậc hai dω12 dược viết dưới dạng duy nhất

dω12 = Kθ1∧ θ2.Gọi {Uf 1,Uf 2} là một trường mục tiêu trực chuẩn khác trên V và {θe 1,θe 2} làtrường đối mục tiêu tương ứng

Tương tự như trên ta có biểu thị dωf12 = Keθe 1∧θe 2

Khi đó, tồn tại một hàm hằng ε sao cho ωf12 = ε(ω12− dϕ), | ε |= 1

Chứng minh Xét {U1, U2}là trường mục tiêu trực chuẩn trên tập mở V của S,{θ1, θ2}là trường đối mục tiêu tương ứng.

Khi đó dạng liên kết ω21 = −ω21 của mặt S trong E3 đã nghiên cứu trước đây

và dạng liên kết của đa tạp Riemann (S, can) đều thoả mãn các đẳng thức

dθ1 = −ω21∧ θ2

, dθ2 = −ω21∧ θ1

Do đó các dạng liên kết này trùng nhau

Ngoài ra, phương trình Gauss dω21 = Kθ1× θ2 của mặt S đã nghiên cứu trướcđây chứng tỏ độ cong Gauss K của mặt S trùng với độ cong Gauss của đa tạpRiemann (S, can)

Chương 2

CẤU TRÚC RIEMANN CỦA

NỬA PHẲNG POINCARÉ VÀ

NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

Trong chương này chúng tôi tập trung khảo sát cấu trúc đa tạp Rienmann chiều của nữa phẳng Poincaré và đĩa mở Poincaré thể hiện qua việc xác địnhmetric Rienmann, độ cong Gauss, các phép biến đổi đẳng cự, Từ đó mở rộngmột số kết quả cho nửa không gian trên, được xét như một đa tạp Riemann3-chiều Các khái niệm và kết quả được tham khao trong tài liệu [3], [6], [7]

Ta có thể biểu diễn H2 = {z = x + iy ∈ C/Im z > 0}

Khi đó có thể biểu thị metric Riemann <, >H2 trên H2 dưới dạng

ds2 = |dz|2

y2 = dx

2+ dy2

y2

2.1.2 Độ dài cung trong H2

Trong H2 độ dài cung của một cung đoạn cho trước cũng được xác địnhnhư trong trường hợp tổng quát Để minh họa, ta xét các ví dụ sau:

a Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá

t ∈ R+ 7→ ρ(t) = (x(t) = x0, y(t) = t),với x0 là một hằng số cho trước

Độ dài cung đoạn ρ|[t1,t2] nối điểm P = ρ(t1), Q = ρ(t2) xác định bới:

b Xét cung trong H2 xác định bởi tham số hoá

0 < t < π 7→ (x(t) = x0+ R cos t, y(t) = R sin t),với x0 là một hằng số cho trước và R > 0

Độ dài cung đoạn ρ[t1,t2] nối điểm P = ρ(t1), Q = ρ(t2) xác định bởi:

L(ρ) =

Z t2

t 1

dtsint = ln

tant2

t 1

tant1

2

2.1.3 Biến đổi đẳng cự của (H2, <, >H2)

1 Mệnh đề

Cho biến đổi f : H2 → H2, (x, y) 7→ (u, v) Khi đó điều kiện cần và đủ để

f là phép biến đổi đẳng cự của (H2, <, >) là

Chứng minh Gọi {E1, E2} là trường mục tiêu song song chính tắc trên H2

f là phép biến đổi đẳng cự của (H2, h, iH 2) khi và chỉ khi với ∀p = (x, y) ∈ H2

∂y)

2] 1

Khi đó các phép biến đổi h : H2 → H2 sau là các phép biến đổi đẳng cự:

(1) z 7→ z + a, (a ∈ R) (tịnh tiến theo phương song song với 0x);(2) z 7→ kz, (k ∈ R+) (vị tự tâm 0 với hệ số dương);

(3) z 7→ −z, (đối xứng thẳng góc qua 0y);

(4) z 7→ z1, (nghịch đảo tâm 0 phương tích 1);

(5) z 7→ az+bcz+d, với a, b, c, d là những số thực, ad − bc > 0;

(6) z 7→ az+bcz+d