Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức

Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức

ĐẶNG KHẮC QUANG

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƯỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC

Có thể tìm hiểu luận văn tại Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên

DANG KHAC QUANG

APPLYING TEACHING METHOD OF DISCOVERY WITH GUIDING IN TEACHING INEQUALITY

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI VĂN NGHỊ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU Trang 1 Lý do chọn đề tài 1

2 Giả thuyết khoa học 3

3 Mục đích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn 6

1.1.1 Khái quát 6

1.1.2 Tổ chức các hoạt động học tập khám phá 7

1.1.3 Điều kiện thực hiện 8

1.2 Các hoạt động và hoạt động thành phần 9

1.2.1 Khái quát 9

1.2.2 Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung 12

1.2.3 Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần 13

1.2.4 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích 14

1.3 Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya 15

1.4 Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thứcở trường phổ thông 20

Kết luận chương 1 22

Chương 2 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƯỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 23

2.1 Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết 23

2.2 Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức 34

2.3 Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức 51

2.4 Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện 64

2.5 Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa 75

Kết luận chương 2 84

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86

3.1 Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm 86

3.2.Các giáo án thực nghiệm sư phạm 87

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 103

Kết luận chương 3 105

KẾT LUẬN 106 Tài liệu tham khảo

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS - TS Bùi Văn Nghị, đã

tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên

- Các thầy giáo ở Viện Toán học Việt Nam, trường ĐHSP Hà Nội, trường ĐHSP Thái Nguyên, đã hướng dẫn chúng tôi học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường THPT Lạng Giang số 2 - Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình

- Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái nguyên, tháng 10 năm 2009

Học viên Đặng Khắc Quang

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

[?] : Câu hỏi và bài tập kiểm tra

[!] : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lý của học sinh

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê

học tập và ý chí vươn lên" (chương I, điều 4)

"Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (chương I, điều 24)

Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu nói chung của phương pháp giáo dục ở nước ta hiện nay Mâu thuẫn này

đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học

ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hướng đổi mới PPDH là: PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Định hướng này có thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn gọn hơn là hoạt động hoá người học [6]

Đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, nhằm khơi dậy và phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập, sáng tạo, rèn luyện kỹ năng vận

dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Có thể kể ra một số phương hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông hiện nay là:

- Phát triển tư duy và rèn luyện các hoạt động trí tuệ

- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

- Sử dụng đa phương tiện để giải quyết vấn đề, minh họa cho học sinh tìm tòi từ tình huống, nghiên cứu, phát hiện vấn đề …

- Bồi dưỡng phương pháp tự học, phương pháp đọc sách

- Đổi mới phương pháp đánh giá, kết hợp đánh giá của thầy, với tự đánh giá của trò

- Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập tương tác: hoạt động theo nhóm…

- Tăng cường các hoạt động hỗ trợ: tự học, chuyên đề, hội thảo, báo cáo thực hành

- Rèn luyện phong cách hòa nhập với cộng đồng

Nhìn chung tư tưởng chủ đạo của phương pháp đổi mới là: tập trung vào các hoạt động của trò; trò tự nghiên cứu, tìm tòi, khám phá; tăng cường giao lưu trao đổi giữa trò và trò

Các định hướng này phù hợp với quan điểm tâm lý học cho rằng hoạt động có ảnh hưởng trực tiếp tới sự hình thành và phát triển nhân cách, phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Macxit: Con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động

Vấn đề dạy học khám phá có hướng dẫn dựa trên các hoạt động của học

nghiên cứu Tuy nhiên việc khai thác ứng dụng những lý luận này vào thực tế giảng dạy môn toán ở trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế, vì hầu hết các thầy cô giáo chưa thấy hết được tác dụng to lớn của phương pháp này nên chưa được coi trọng và áp dụng vào thực tế giảng dạy Ngoài ra giáo viên cũng chưa có nhiều kinh nghiệm và thiếu những cơ sở lý luận để xây dựng các hoạt động tương thích với nội dung, chưa được huấn luyện một cách có hệ thống, chưa có nhiều tài liệu tham khảo…

Mặt khác trong chương trình môn toán ở trường phổ thông bất đẳng thức

là một nội dung khó đối với nhiều học sinh Nhiều giáo viên cũng gặp trở ngại, khó khăn khi giảng dạy phần này

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: “Vận dụng

phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT ”

2 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng hợp lý phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy bất đẳng thức ở trường THPT, thì HS học tập một cách chủ động, tích cực, sáng tạo hơn, qua đó phát triển trí tuệ hơn và nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông

3 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một số giáo án dạy học bất đẳng thức ở trường THPT vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích làm sáng tỏ tính ưu việt của phương pháp dạy học khám phá

có hướng dẫn

- Nghiên cứu lý luận đổi mới phương pháp dạy học, sách giáo khoa và thực tế việc dạy học theo quan điểm mới để vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn vào một số nội dung cụ thể

- Nghiên cứu thực tế vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn ở trường THPT

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: đọc và nghiên cứu các tài liệu viết về lí luận dạy học môn toán và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài để làm sáng tỏ về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

Phương pháp quan sát điều tra: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy bất đẳng thứcở một số trường phổ thông

Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại trường THPT Lạng Giang số 2 nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn phương pháp dạy học khám phá

có hướng dẫn

Chương II: Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương này sẽ trình bày các vấn đề lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, các hoạt động và hoạt động thành phần trong khám phá, các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya Ứng với mỗi phần lý luận đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể

Chương này được viết dựa trên các tài liệu [6], [15]

1.1 Dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn

1.1.1 Khái quát

Học tập là quá trình lĩnh hội tri thức mà loài người đã tích lũy được các kiến thức sách giáo khoa và các bài giảng của thầy chủ yếu mang lại cho học sinh những kiến thức đã có sẵn Thường thì GV ít làm rõ nguồn gốc của các tri thức cho học sinh (phát minh vào lúc nào và bằng cách nào) mà cố gắng truyền đạt để HS hiểu rõ nội dung các kiến thức Trong học tập, HS cũng cố gắng hiểu rõ các kiến thức mà thầy giáo truyền đạt và sau đó vận dụng vào làm các bài tập đó là cách dạy và học bằng phương pháp thuyết trình: thầy giảng, trò nghe Phương pháp này làm cho HS tiếp thu một cách thụ động thiếu hứng thú trong học hành Các nhà nghiên cứu giáo dục, các nhà giáo đang quan tâm tới những phương pháp dạy học làm cho HS luôn tích cực, hứng thú Những phương pháp này chủ yếu dựa vào các hoạt động của HS do thầy giáo tạo ra trên lớp; trong đó phải kể đến phương pháp dạy học khám phá

có hướng dẫn Đó là phương pháp dạy học thông qua các hoạt động do thầy dẫn dắt, HS tự khám phá ra các kiến thức Nếu làm được như vậy HS sẽ thông

động, tự lực khám phá của chính mình Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám phá sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng tạo ra những tri thức mới

Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của

GV, Trong đó GV đã khéo léo đặt HS vào địa vị người phát hiện lại, người khám phá lại tri thức của loài người

+ Trả lời câu hỏi

+ Điền từ, điền bảng, tra bảng

+ Lập bảng, biểu đồ, đồ thị

+ Thử nghiệm, đề xuất giải quyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả

+ Thảo luận, tranh cãi về một vấn đề

+ Giải bài toán, bài tập

+ Điều tra thực trạng, đề xuất giải pháp cải thiện thực trạng, thực nghiệm giải pháp lớn

+ Làm bài tập lớn, chuyên đề, luận án, luận văn, đề án

Quyết định hiệu quả học tập là những gì HS làm chứ không phải những

gì GV làm Vì vậy phải thay đổi quan niệm soạn giáo án, từ tập trung vào thiết kế các hoạt động của GV chuyển sang tập trung vào thiết kế các hoạt động của HS Tuy nhiên không nên cực đoan, có tham vọng biến toàn bộ nội dung bài học thành chuỗi các nội dung bài học khám phá Số lượng hoạt động

và mức độ tư duy đòi hỏi ở mỗi hoạt động trong mỗi tiết học phải phù hợp với trình độ HS để có đủ thời lượng cho thầy trò thực hiện các hoạt động khám phá

1.1.3 Điều kiện thực hiện

Việc áp dụng dạy học khám phá đòi hỏi các điều kiện sau:

HS phải có những kiến thức kỹ năng cần thiết để thực hiện các hoạt động khám phá do GV tổ chức

Sự hướng dẫn của GV trong mỗi hoạt động phải ở mức cần thiết không quá ít không quá nhiều, đảm bảo cho HS phải hiểu chính xác mình phải làm

gì trong mỗi hoạt động khám phá Muốn vậy GV phải hiểu rõ khả năng HS của mình

Hoạt động khám phá phải được GV giám sát trong quá trình HS thực hiện GV cần chuẩn bị một số câu hỏi gợi mở từng bước để giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động Nếu là hoạt động tương đối dài, có thể từng chặng yêu cầu một vài nhóm HS cho biết kết quả tìm tòi của mình

Xét về khía cạnh tìm tòi, khám phá thì phương pháp dạy học này rất gần với phương pháp dạy học đàm thoại Ơrixtic và dạy học phát hiện, giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, chỉ khác nhau về cách tổ chức các hoạt động học tập

Ví dụ 1: Trong dạy học bài toán “Cho ba số dương a, b, c và thoả mãn

1

abc Chứng minh rằng 3 3 3

động khám phá thông qua chuỗi câu đàm thoại phát hiện như sau:

- Hãy nhìn vào một ẩn, ẩn a chẳng hạn: vế trái là 3

a , vế phải là a, làm thế nào để “hạ bậc” từ 3

a xuống a (so sánh giữa 3

a và a)?

(áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương: 3

a , 1, 1)

- Nếu áp dụng cho ba số dương 3

a , 2, 4 có được không, vì sao?

(cũng được nhưng không đi đến kết quả)

- Đẳng thức xảy ra khi nào? Điều này có ảnh hưởng gì đến việc chọn số thích hợp?

(đẳng thức xảy ra khi a  b c 1, nên chọn hai số 1 là phù hợp)

- Xem xét lại yêu cầu của bài toán

(so sánh với yêu cầu của bài toán ta cần chứng minh a b c   3)

- Bạn đã dùng hết giải thiết chưa? Tổng và tích 3 số a b c, , liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào?

(bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm: 3

1.2 Các hoạt động và hoạt động thành phần

1.2.1 Khái quát

Hoạt động và hoạt động thành phần là một trong những thành tố cơ sở quan trọng nhất của phương pháp dạy học Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Phát hiện những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung là cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung đó, chỉ ra được cách kiểm tra việc thực hiện mục đích này, đồng thời vạch ra được con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được những mục đích dạy học khác Cho nên điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác được những hoạt động tiềm tàng trong nội dung để đạt được mục đích dạy học Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ hữu cơ giữa nội dung, mục đích và phương pháp dạy học Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động

Quá trình dạy học là quá trình điều khiển hoạt động và giao lưu của HS nhằm đạt được mục đích dạy học Đây là quá trình điều khiển con người, chứ không phải điều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm đến yếu tố tâm lý, chẳng hạn HS có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không

Xuất phát từ nội dung dạy học, ta cần phát hiện những hoạt động liên

hệ với nó, rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà chọn lựa để tập luyện cho học sinh một số những hoạt động đã phát hiện được Việc phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần cũng giúp ta tổ chức cho HS tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ

Hoạt động thúc đẩy sự phát triển là hoạt động mà chủ thể thực hiện một cách tự giác và tích cực Vì vậy, cần cố gắng gợi động cơ để học sinh ý thức

rõ vì sao thực hiện hoạt động này hay hoạt động khác Trong hoạt động đôi khi kết quả của hoạt động trước lại là tiền đề cho hoạt động tiếp theo

Theo [15] tư tưởng chủ đạo về quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học như sau:

+ Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

+ Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

+ Dẫn dắt HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động

+ Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Trên đây là những tư tưởng chủ đạo giúp người thầy giáo điều khiển quá trình học tập của HS Những tư tưởng chủ đạo này cũng là những luận điểm phân biệt với quan điểm thực dụng phản diện, chỉ quan tâm đến những hoạt động thụ động máy móc Khác với quan điểm đó, ở đây chúng ta chú ý đến mục đích, động cơ, đến tri thức phương pháp, đến trải nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo được tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của hoạt động học tập nói riêng

Những tư tưởng chủ đạo trên cũng thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học việc kiến tạo một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, hình thành một thái

độ, cũng là nhằm giúp HS hoạt động trong học tập cũng như trong đời sống Như vậy những mục đích thành phần được thống nhất trong hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau Tri thức, kỹ năng, thái

độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng biến đổi của hoạt động Hướng vào hoạt động theo các tư tưởng chủ đạo trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo tính toàn diện của mục dích đó

1.2.2 Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Xuất phát từ nội dung dạy học, trước hết cần phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung này

Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Kết quả ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài Chẳng hạn: khi một người xây nhà thì kết quả bên ngoài là ngôi nhà xây được, còn kết quả bên trong là những tri thức được kiến tạo, những kỹ năng được rèn luyện, là sự trưởng thành của chủ thể trong quá trình xây dựng này

Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau: khái niệm, định lý hay phương pháp về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý

Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau, trên những bình diện khác nhau Những hoạt động sau đây cần được chú ý:

+ Nhận dạng và thể hiện,

+ Những hoạt động toán học phức hợp,

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học,

+ Những hoạt động trí tuệ chung,

+ Những hoạt động ngôn ngữ

Ví dụ 2: Trong dạy học bài toán “Cho a b c, ,  0;1 thoả mãn a b c   1 Chứng minh rằng 2 2 2

1.2.3 Phân tích các hoạt động thành các hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiện như một thành phần của hoạt động khác, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn

bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn bộ, vừa chú

ý cho HS tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Ví dụ 3: Tìm trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác nhọn ABC, các

điểm M, N, P sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất

Hoạt động giải bài tập này có thể tách ra thành các hoạt động thành phần tương ứng với việc giải bài toán trong những trường hợp riêng, từ dễ đến khó

- Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, điểm N cố định trên

BC Tìm điểm P trên AC sao cho chu vi của tam giác MNP nhỏ nhất

- Cho tam giác ABC và điểm M cố định trên AB, tìm N, P lần lượt thuộc BC, CA tương ứng sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất

- Bài toán tương tự: Cho điểm M thuộc xOy, tìm trên Ox, Oy các điểm

N, P tương ứng sao cho chu vi tam giác MNP là nhỏ nhất

Như vậy là khi phân tích hoạt động giải bài toán trên thành các hoạt động thành phần, đưa HS về giải một số bài toán đơn giản hơn

1.2.4 Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung đều tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên nếu khuyến khích tất cả những hoạt động như thế thì có thể xa vào tình trạng dàn trải, làm cho HS rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần phải sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

Ví dụ 4: Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (P) Tìm điểm M ( )P sao cho

2 2

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

Cần lựa chọn các hoạt động của học sinh tập trung vào các hoạt động sau đây:

- HS hiểu và biết vận dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác

- HS hiểu và nắm vững tính chất hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng

- Rèn luyện cho HS năng lực dự đoán, phân tích

- Cho HS luyện tập các hoạt động nhận dạng, thể hiện

1.3 Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Một nhà khoa học đã nói: một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh Bài toán mà anh giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo, và nếu tự mình giải lấy bài toán đó thì anh sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi

Những tình cảm như vậy đến một độ tuổi nào đó, có thể khuấy động sự ham thích công việc trí óc và mãi mãi để lại dấu vết trong cá tính người làm toán

Khi HS đã có sự đam mê đối với toán học, lúc đó người thầy giáo hãy chỉ cho HS một cách học hợp lý Đứng trước một bài toán, có phải sau khi tìm được một lời giải đẹp, trình bày sạch sẽ là gấp sách lại hay không? Để HS tự tìm được lời giải bài toán người thầy cần hướng dẫn cho học sinh cách giải bài tập theo các bước của Polya như sau:

I- Hiểu rõ bài toán

- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

- Vẽ hình Sử dụng một kí hiệu thích hợp

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện Có thể biểu diễn các phần đó thành công thức không?

II- Xây dựng chương trình giải

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Một định lí có thể dùng được không?

- Xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng

ẩn hay có ẩn tương tự

- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng mọi điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

III- Thực hiện chương trình giải

Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? Bạn có thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả không?

IV- Khảo sát lời giải đã tìm được

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết quả không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không?

Ví dụ 5: Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng abc   (a b c b c a c a b)(   )(   ) (1)

Bước 1 (Tìm hiểu nội dung đề bài )

[?] Bài toán cho gì? yêu cầu gì?

[!] a b c, , là độ dài 3 cạnh của tam giác

Cần chứng minh abc   (a b c b c a c a b)(   )(   )

Bước 2 Xây dựng chương trình giải

[?] Vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh gợi cho ta nghĩ đến công

[?] Vế trái của bất đẳng thức (1) là tích 3 cạnh của tam giác gợi cho các

bạn công thức diện tích nào?

[?] Hãy nhớ lại hệ thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp tam giác và khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn đó?

[?] Đẳng thức xảy ra khi nào?

[!] Đẳng thức xảy ra khi OI      0 O I ABC đều

Bước 3 Trình bày lời giải

Kí hiệu R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Đẳng thức xảy ra    O I ABC đều

Bước 4 Khảo sát lời giải đã tìm được

Có thể tìm kết quả một cách khác không?

[?] 3 cạnh của tam giác có mối quan hệ gì?

[?] Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến

trung gian như thế nào?

[!] Nếu đặt x  a b c y;   b c a z;   c a b, thì

2a x z b;2  x y c;2  y z

[?] Phát biểu bài toán theo ẩn mới

[!] Cho x y z, , là các số dương Chứng minh rằng

[?] Tổng của hai trong ba số hạng a b c b c a c a b  ,   ,   có đặc điểm

Nhân theo từng vế, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

[?] Nghiên cứu sâu lời giải

Nếu a b c, ,  0 thì tổng của 2 trong 3 số hạng a b c b c a c a b  ,   ,   đều không âm nên chỉ có nhiều nhất một số âm trong 3 số hạng trên

Nếu trong 3 số hạng trên có một số âm thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng Vậy ở ví dụ trên các bạn thấy chỉ cần điều kiện a b c, ,không âm là đủ

[?] Bạn có thể sử dụng kết quả này cho một bài toán nào khác không? [!] Nếu a b c, ,  0 thì có thể viết (1) tương đương với bất đẳng thức

1.4 Thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông

Điều tra thực tiễn chúng ta sử dụng bài kiểm tra 45 phút để đánh giá kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của HS

Đối tượng là HS lớp 10A1, 10A2, 10A3, trường trung học phổ thông Lạng giang số 2, tỉnh Bắc giang Mỗi lớp có 40 HS, các em học theo chương trình nâng cao

- Đánh giá kiến thức cơ bản

- Đánh giá kỹ năng vận dụng bất đẳng thức cơ bản

- Đánh giá khả năng sáng tạo

- Đánh giá khả năng khám phá

- Thống kê kết quả: tính theo số HS làm được bài

khám phá ra phương pháp hình học Nếu biết sử dụng phương pháp hình học thì lời giải bài toán đơn giản hơn nhiều Giả sử M a b N c d( ; ); ( ; ) thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng OMONMN, đây là bất đẳng thức đúng Dấu đẳng thức xảy ra  O, M, N thẳng hàng và O nằm giữa M, N

Kết luận chương 1

Chương này trình bày một số vấn đề về dạy học bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn Phân tích các hoạt động, hoạt động thành phần và nghiên cứu kỹ quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya

Điều cơ bản trong PPDH này là giáo viên tạo tình huống hướng dẫn HS khám phá tri thức mới, bằng cách đưa ra một số câu hỏi gợi mở từng bước giúp HS tự đi tới mục tiêu của hoạt động Để làm được điều này giáo viên cần gợi cho HS phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, phân tích được một hoạt động thành những hoạt động thành phần, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào một số mục đích nhất định

Qua việc tìm hiểu thực tiễn việc dạy học nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông, chúng tôi nhận thấy còn nhiều hạn chế về khả năng khám phá của HS, đồng thời nhiều giáo viên chưa chú trọng vào phương pháp dạy học tích cực này Việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong chứng minh bất đẳng thức sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Những cơ sở lí luận trình bày trong chương này sẽ định hướng cho quá trình vận dụng cụ thể ở chương 2

Chương 2

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƯỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Khám phá vận dụng các bất đẳng thức đã biết (Côsi, Bunhiacopxki )

Vấn đề là khám phá ra cái gì chung về nhận dạng, về định hướng vận dụng sau khi nghiên cứu một loạt bài toán này

Ví dụ 6: Cho a 0,b 0 Chứng minh rằng

3 3

- Đẳng thức xảy ra khi nào? chọn hai số đó là số nào?

Đẳng thức xảy ra khi a b 1, nên chọn hai số đó là 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 13 1 1 3

- Vận dụng tương tự với

3 3

a

b và 3

b và so sánh với BĐT cần chứng minh?

3 3

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Côsi, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ này cho thấy: có thể sử dụng BĐT Côsi để "hạ bậc" (từ a3 xuống a)

- Căn bậc 3 gợi cho ta nghĩ tới bất đẳng thức nào?

Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương x y z, , 3

3

x y z xyz    

- Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ( khi x  y z 1 ), hãy sửa lại để phù hợp với nhận xét này?

Ví dụ này cho thấy: giữa mẫu số của các biểu thức và tổng của các mẫu số đó

có mối liên quan, khi đó ta có thể sử dụng BĐT Côsi để khử mẫu số

- Vai trò a b, bình đẳng nên cần áp dụng đều cho a b,

- Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số 1 b , để ý tử số chứa lập phương

Bất đẳng thức Côsi cho 3 số:

3 , 1 1

- Vận dụng tương tự với

1

b a

- Từ đó ta có một cách chứng minh nữa như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2 2

2 ( ) ( )

c b a z

c y

b x

Hoạt động khám phá:

- Tạm thời chứng minh bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, với hai số

hạng, xem có phát hiện ra cách chứng minh bài toán đã cho hay không?

Bài toán đơn giản hơn đó chính là ví dụ 10 ở trên: a2 b2 (a b)2

- BĐT này có tương tự BĐT nào đã gặp hay chưa?

Đó chính là Ví dụ 11 ở trên, từ đó có cách chứng minh như sau:

Ví dụ 13: (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ năm 2005) Cho các số dương x y z, ,

b a b

a  



Ví dụ 14: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1995) Cho 3 số dương a, b, c

thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng 3 1 3 1 3 1 3

c b a z

c y

b x

- Có thể sử dụng kết quả của nó không?

Ví dụ 15: Cho các số dương a, b, c, p, q Chứng minh rằng

Bất đẳng thức đúng với mọi a, b, c dương Đẳng thức xảy ra   a b c

Ví dụ 16: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2001) Cho a, b, c là các số