Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng giải một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và ứng dụng

Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng giải một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và ứng dụng

Mục lục

Lời nói đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Tạo các phân bố đều 6

1.1.1 Khái niệm phân bố đều 6

1.1.2 Tạo phân bố đều trên hộp 7

1.1.3 Tạo phân bố đều trong đơn hình 7

1.1.4 Tạo phân bố đều trên mặt đơn hình 8

1.1.5 Phương pháp loại trừ Von Neuman trên miền bất kỳ giới nội 9

1.2 Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên 9

1.2.1 Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên đơn giản 9

1.2.2 Phương pháp dò tìm ngẫu nhiên tổng quát 10

Chương 2 Một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và chuyển nó về bài toán điều khiển theo chương trình 12 2.1 Thiết lập bài toán 12

2.2 Thiết lập các điều khiển chấp nhận được tham số hoá 19

Chương 3 Cơ sở của phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng 28 3.1 Xấp xỉ hệ động lực 28

3.2 Thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng đối với xấp xỉ vế phải của hệ động lực 38

Kết luận 60

Tài liệu tham khảo 61

LỜI NÓI ĐẦU

Các bài toán điều khiển tối ưu (dạng tất định và ngẫu nhiên) đóng một vai trò quantrọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống xã hội Bởi vậy nhiều tài liệu khoa học (xem[13], [14], [15], [16]) đã quan tâm nghiên cứu giải loại hình bài toán này trong dạng điềukhiển theo chương trình (programme control) theo phương pháp gián tiếp (xem [13]) vàtrực tiếp (xem [14], [15], [16]) Trong số các phương pháp này, có phương pháp bắn tấtđịnh (shooting method) (xem [13] pag 186-187) tỏ ra rất có hiệu quả đối với trường hợp

có ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và biến điều khiển

Tuy nhiên, các phương pháp trên chỉ chứng minh được sự hội tụ của dãy điều khiểnxấp xỉ về điều khiển tối ưu khi miền chấp nhận được và hàm mục tiêu có tính lồi Vấn

đề càng trở nên phức tạp khi bài toán điều khiển được đặt ra dưới dạng điều khiển tổnghợp (Synthetic control)

Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiêntổng hợp trong mô hình liên tục với miền chấp nhận được không có tính lồi và hàm mụctiêu không những không có tính lồi mà còn không liên tục (giới nội địa phương) Loạihình bài toán này đã được đặt ra trong các tài liệu [3], [4], [8] khi nghiên cứu việc giảmthiểu độ rủi ro lũ lụt cho công trình thuỷ điện Sơn La

Phương pháp bắn ngẫu nhiên Makov [10] cũng đã được sử dụng làm cơ sở toán họccho phần mềm VISAM-3 nhằm lựa chọn với một xác suất dương biến điều khiển trênphân tập (có độ đo dương) của tập hợp các điều khiển chấp nhận được Trên cơ sở này

mô hình dò tìm ngẫu nhiên tổng quát đã được sử dụng trong VISAM-5 [9] trong đó hàmmục tiêu được mô phỏng bởi VISAM-4

Nhằm cải tiến phương pháp bắn ngẫu nhiên Markov nói trên, trong luận văn nàychúng tôi đề nghị một phương pháp mới "Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng đểgiải số một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp" liên quan đến công trình thuỷđiện Sơn La

Để phục vụ cho mục tiêu nói trên, tại chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thứcchuẩn bị có liên quan về phương pháp Monte-Carlo Thông qua việc tham số hoá hàmđiều khiển, trong chương 2 bài toán điều khiển nói trên được chuyển về một loại bàitoán điều khiển tối ưu rời rạc theo chương trình Cuối cùng, trong chương 3 những cơ

sở của phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng sẽ được xây dựng

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã được sự hướng dẫn tận tình và chu đáo củaGS.TS.Nguyễn Quý Hỷ Với tất cả tình cảm của mình, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáotrong và ngoài Khoa Toán-Cơ-Tin học đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý giá

để cho tôi vững bước trên con đường nghiên cứu khoa học sau này Tôi cũng xin cảm

ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học và Phòng Sau đại học Trường ĐHKHTN,ĐHQGHN đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học

Hà Nội, tháng 12 năm 2009

Học viên

Nguyễn Đình Thi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1

Giả sử gắn với miền X đã cho trong Rn có một σ-đại số Σ các phân tập của X cómột độ đo µ xác định trên Σ, sao cho (xem[5]):

Một vectơ ngẫu nhiên (VTNN) ξ = (ξ1, , ξn) ∈ X gọi là có phân bố đều trên X(ký hiệu ξ ∼ U (X)), nếu

P (ξ ∈ S) = µ(S)

Đặc biệt, ta xét trường hợp µ là độ đo Lebesgue và Σ = Bn là σ đại số Borel trong

Rn mà X ∈ Bn, trong đó: µ(X) hiểu là độ dài |X| của đoạn thẳng X(n = 1), diện tíchmes(X) của hình phẳng X(n = 2), thể tích V ol(X) của hình khối X(n ≥ 3) Khi đó cóthể chỉ ra định nghĩa (1.1.1) tương đương với định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.2

Véc tơ ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξ1, , ξn) ∈ X gọi là có phân bố đều trong miền X(thoả mãn điều kiện (1.1.1)) và ký hiệu ξ ∼ U (X), nếu hàm mật độ (đồng thời) của ξ

véc tơ ngẫu nhiên(VTNN) ξ = (ξ1, , ξn) có phân bố đều trong hình hộp [a, b] (ξ ∼

U [a, b]) nếu hàm mật độ của nó có dạng (xem [5]):

Xét đơn hình m chiều với đỉnh tại a = (a1, , am) và các cạnh ở đỉnh có độ dài h:

Định lý 1.1.2 [5]

Giả sử R1, , Rm là m số ngẫu nhiên (thuộc dãy ngẫu nhiên {Rj}j, trong đó R(j)

là vị trí thống kê thứ j của m số ngẫu nhiên Rj (1 ≤ j ≤ m), nghĩa là:

R(1) ≤ R(2) ≤ ≤ R(m−1) ≤ R(m)Khi đó, VTNN ξ = (ξ1, , ξm) với các thành phần:

Giả sử R1, , Rm−1 là (m - 1) số ngẫu nhiên (thuộc dãy ngẫu nhiên {Rj}j), trong

đó R(j) là vị trí thống kê thứ j của m - 1 số ngẫu nhiên Rj (1 ≤ j ≤ m − 1), nghĩa là:

R(1) ≤ R(2) ≤ ≤ R(m−1)Khi đó, VTNN ξ = (ξ1, , ξm) với các thành phần:

sẽ có phân phối đều trên mặt đơn hình ¯∆m

h(a), a = (a1, , am)

1.1.5 Phương pháp loại trừ Von Neuman trên miền bất kỳ giới nội

Trên đây, ta xét việc tạo VTNN ξ ∼ U (X), trong đó X ⊂ Rn là một hình có nhữngdạng đặc biệt Trong trường hợp X có dạng phức tạp, từ (1.1.1) ta suy ra rằng: X làmột miền giới nội trong Rn, bởi vậy ta có thể xem rằng:

trong đó G cũng là một miền giới nội trong Rn Giả sử rằng đã tạo được VTNN ξ0 ∼ U (G)(chẳng hạn, theo định lý (1.1.1) G là hình hộp) Trên cơ sở này ta có thể dùng phươngpháp loại trừ Von Neuman để tạo ξ ∼ U (X) như sau:

Xét bài toán quy hoạch đo được dạng tổng quát: (xem [5])

f (x∗) ≤ f (x) (∀x ∈ D)

Để giải bài toán quy hoạch (1.2.1) bằng mô hình dò tìm ngẫu nhiên đơn giản, ta thiếtlập dãy dò tìm ngẫu nhiên đơn giản {xn}n theo công thức lặp:

µ(D) ≈ 0 thì độ đo của AN nhỏ hơn (không đáng kể) so với của D Độ

đo tương đối µN nói trên có thể được đánh giá theo số phép lặp N bằng kết quả sau:Định lý 1.2.1 [5] Nếu hàm mục tiêu f là đo được trên không gian độ đo (D, Σ, µ) vàbài toán (1.2.1) có lời giải x∗ ∈ D thì có thể đánh giá µN như sau:

Khi đó {¯xn} được gọi là dãy dò tìm ngẫu nhiên tổng quát theo phân bố xác suất P¯

của VTNN ¯ξ (1), nếu ¯ξ có khả năng nhận giá trị trong mọi tập hợp ΣD - đo được với độ

đo dương, nghĩa là:

P¯(A) := P { ¯ξ ∈(A)} > 0 (∀A ∈ ΣD : µ(A) > 0) (1.2.8)

Giả sử (D, ΣD, µ) là một không gian độ đo với D ⊂ Rn, Σ = ΣD là một σ− đại sốnào đó các phân tập của D và µ(.) : ΣD → [0, +∞] là một độ đo xác định trên ΣD Xétbài toán quy hoạch đo được:

Giả sử bài toán quy hoạch đo được (1.2.9) (gắn với không gian độ đo (D, ΣD, µ))cógiá trị cực tiểu f∗ = f (x∗) không cô lập và {¯xn}n ≥ 1 là dãy dò tìm ngẫu nhiên tổngquát tương ứng Khi đó dãy này sẽ hội tụ hầu chắc chắn về x∗ theo hàm mục tiêu, nghĩalà:

P { lim

Hệ quả 1.2.1 [5]

Cùng với các giả thiết nêu trong định lý (1.2.2) về bài toán quy hoạch đo dược (1.2.9),

ta còn thêm điều kiện:

Chương 2

Một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và chuyển nó về bài toán điều khiển theo chương trình

Khi thiết kế hệ thống thuỷ điện (HTTĐ) bậc thang, ta cần quan tâm đến tính đa tiêuchí của bài toán như: phát điện, an toàn, phòng lũ, chống hạn, tham gia cắt lũ ở hạ du,tưới tiêu cho nông nghiệp Tuỳ theo thời gian và tính chất của HTTĐ, người ta chọnmột trong những tiêu chí kể trên làm mục tiêu tối ưu; các tiêu chí còn lại gọi là tham

số thiết kế về chỉ tiêu và xem như đã biết

Mỗi kế hoạch vận hành trong một chu kỳ điều tiết (thường là một năm) của HTTĐbậc thang gọi là một quy trình vận hành (QTVH) Quy trình này bao gồm kế hoạch vềlưu lượng nước dùng và nước xả của tứng nhà máy thuỷ điện (NMTĐ) trong HTTĐvào từng thời gian trong một chu kỳ điều tiết

Quy trình vận hành hợp lý, khả thi (QTVHHLKT)

Một QTVH được gọi là hợp lý (HL), nếu trạng thái động của mực nước các hồ chứatrong chu kỳ điều tiết năm đảm bảo các yêu cầu của thuỷ điện và thuỷ lợi về: mực nướcdâng bình thường (MNDBT), cao trình phòng lũ và tích nước (mùa lũ muộn) Quy trìnhnày gọi là khả thi (KT), nếu nó đáp ứng các tham số về chỉ tiêu và phù hợp với tham

số thiết kế về kỹ thuật đối với từng NMTĐ trong hệ thống

Cụ thể tính hợp lý được thể hiện:

- Trong mùa ít mưa (15/9 - 15/12) cần giữ cho cao trình ở mực nước dâng bình

thường (MNDBT) với thời gian lâu nhất để tận dụng chiều cao cột nước phát điện ởmức tối đa.

- Trong thời gian trước lũ tiểu mãn (15/12 (năm trước) - 15/6) cần giữ cho cao trìnhtối tiểu của mực nước hồ, để khoảng cách từ cao trình này tới mực nước chết tạo nênmột dung tích dự trữ (gọi là dung tích chống hạn)

- Trong mùa lũ chính vụ (15/7 - 25/8) cần giữ cho cao trình nước hồ ở mức khôngđổi nào đó (gọi là cao trình phòng lũ), để khoảng cách từ cao trình này đến mái đập tạonên một dung tích phòng lũ nhằm chứa lũ đột ngột

- Cuối cùng sau mùa lũ chính vụ, cần tận dụng những con lũ muộn để tích nước chochu kỳ điều tiết tiếp theo

Bài toán xác định QTVHANHL được gọi là Bài toán giảm thiểu rủi ro lũ lụt

Về mặt toán học, việc xác định các QTVHATHL nói trên đưa về giải một loại bàitoán điều khiển tối ưu với biến điều khiển là lưu lượng nước điều tiết từ các hồ chứabao gồm lưu lượng nước dùng và nước xả, biến trạng thái là trạng thái động của mựcnước trong các hồ chứa, hàm mục tiêu là độ rủi ro lũ lụt trung bình, các điều kiện ràngbuộc (chấp nhận được) là các điều kiện HLKT, tập hợp các biến điều khiển thoả mãncác điều kiện HLKT là tập hợp các điều khiển chấp nhận được, hệ động lực là hệ phươngtrình liên hệ các trạng thái động của mực nước trong các hồ chứa (gọi là "phương trìnhtrạng thái")

Để thiết lập phương trình trạng thái của hệ thống thuỷ điện (HTTĐ) 3 bậc thangtrên sông Đà [3], ta cần phải xét chu kỳ điều tiết năm [0, T ] của quá trình vận hành(trong tương lai) các nhà máy thuỷ điện (NMTĐ) Hoà Bình, Sơn La, Lai châu, ta đánh

số chúng ( theo thứ tự từ hạ đến thượng nguồn) lần lượt là i = 1 ÷ 3 Tại mỗi thời điểm

t ∈ [0, T ], ký hiệu:

xi(t) (m3/s)- là lưu lượng trung bình (TB) nước điều tiết từ hồ thứ i xuống hồ dưới,

ui(t) (m3/s) - là lưu lượng (TB) nước dùng của hồ thứ i,

vi(t) (m3/s) - là lưu lượng (TB) nước xả của hồ thứ i, trong đó:

với ¯ui - là mức quy định tối đa về lưu lượng nước dùng của nhà máy thứ i

qi(t) - là lưu lượng (TB) nước tự nhiên đổ vào hồ chứa thứ i ,

wi(t) (106m3) - là thể tích (TB) nước trong hồ chứa thứ i,

woi (106m3) - là thể tích ứng với mực nước hoi (m) dâng bình thường của hồ thứ i

qo = 16, 9 (m3) - là hằng số liên quan đến lưu lượng nước thấm (xem [6] tr.11-12).p(t) - là tỷ lệ nước bị tiêu hao do thấm và bốc hơi vào thời điểm t, tính theo công thức:

p(t) =0, 707965 + 0, 000038 pb(t).10−8

với pb(t) là hàm tuyến tính từng khúc (xem [4])

ri(t) - lưu lượng nước thấm và bốc hơi (TB) của hồ thứ i tại thời điểm t và được xácđịnh dưới dạng (xem [2] tr 6-8):

Khi đó, dễ dàng nhận thấy rằng: việc xác định quy trình vận hành (QTVH)[4]:

o

là quy trình điều tiết (QTĐT)của hệ thống thuỷ điện

Nếu ta chia mốc thời gian theo các mùa nước trong năm:

0 = To = ngày 16/9 (năm trước) ; T1 = ngày 15/12 (năm trước) ; T2 = ngày 15/6

T3 = ngày 25/6 ; T4 = ngày 15/7 T5 = ngày 25/8 ; T = ngày 15/9

trong đó: [0, T1] là thời gian mực nước dâng bình thường; [T1, T2] là thời gian cạn nước;[T2, T3] là thời gian lũ tiểu mãn; [T4, T5] là thời gian lũ chính vụ; [T5, T ] là thời gian lũmuộn

"Tính HL" của QTVH (2.1.5) đặc trưng bởi các điều kiện sau:

1 - Đảm bảo mực nước của hồ chứa thứ i dâng ở mức bình thường với thời gian lâunhất để tận dụng chiều cao cột nước phát điện ở mức tối đa vì trong thời gian [T0, T1]rất ít mưa

"Tính KT" của mỗi QTVH (2.1.5) đặc trưng bởi các điều kiện sau:

1 - Đáp ứng tham số thiết kế về chỉ tiêu phát điện ¯N dưới dạng:

¯

N ≤ 24

Z T 0

N (103Kwh) - là sản lượng (thiết kế) phát điện trong chu kỳ điều tiết [0, T ] của HTTĐ

V (106m3) - là dung tích phòng lũ TB của HTTĐ theo thiết kế

V (106m3) - là dung tích chống hạn TB của HTTĐ theo thiết kế

wi (106m3) - là thể tích nước hồ thứ i ứng với cao trình mái đập hi (xem [3] tr.49-50)

wi (106m3) - là thể tích hồ thứ i ứng với mục nước chết hi (cho trong [3] tr.49-50)

vi (m3/s) - là lưu lượng xả mặt đập tối đa của đập thứ i

ui (m3/s) và ui (m3/s)- là lưu lượng nước dùng tối đa và tối thiểu của NMTĐ thứ i,xác định như sau (xem [6] tr.54 và [3] tr.59):

ui = Pi(lm)α[hi− ho,i−1]β (i = 2 ÷ 3),

u1 = 2.400 , ui = 0, 05ui ; α = 196, 4078
−1; β = 1, 1016

hoi (m) - là cao trình của mực nước DBT trong hồ thứ i (ứng với thể tích woi)

Pi(lm) (103Kw) - là công suất lắp máy của NMTĐ thứ i (cho trong [3] tr 49-50).q(hl) = 575(m3/s) - là lưu lượng nước tối thiểu mà HTTĐ bậc thang cần cung cấp cho

hạ lưu để tưới tiêu (xem [6] tr.54).

q(hl) = 4.000(m3/s) - là lưu lượng nước tối đa mà HTTĐ bậc thang có thể đưa xuống

hạ lưu trong thời gian lũ tiểu mãn (xem [1] tr.4)

Ni(t) (103Kw) - là công suất phát điện của NMTĐ thứ i vào thời điểm t và ta có thểxác định theo các công thức (xem [3] tr.16-17):

ci - là cao trình của chân đập thứ i (i = 1 ÷ 3) (xem [3] tr.49-50);

Zi(t) = hi(wi(t)) - là cao trình của mực nước hồ thứ i vào thời điểm t ∈ [0, T ], xác địnhtheo thể tích wi(t) tương ứng của nước hồ, với hàm hi = hi(wi) (biểu diễn cao trình củathể tích nước hồ thứ i) có dạng tuyến tính từng khúc:

Khi đó việc xác định QTVHATHL đưa về việc xác định biến điều khiển (2.1.6) trongbài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp [4] sau:

λ(ˆω(., x)) là một hàm giới nội địa phương, phụ thuộc vào trạng thái:

ˆω(x) =ωˆ1(x), ˆω2(x), ˆω3(x)

của hệ động lực ngẫu nhiên (2.1.20), biểu thị độ rủi ro lũ lụt gắn với QTVH (2.1.5) (xem[10])

Ký hiệu X là tập hợp các điều khiển chấp nhận được:

Trên cơ sở này, xác định trạng thái tương ứng ˆωi(t) của hệ động lực ngẫu nhiên trong(2.1.33) để sử dụng VISAM-4 [10] thiết lập độ rủi ro lũ lụt λ(ˆω(., x)) Sau đó, sử dụngVISAM-5 [10] để giải số bài toán (2.1.33)

Ta biết rằng, mô hình bắn ngẫu nhiên Markov đã được sử dụng trong VISAM-3 [9]nhằm lựa chọn hàm điều khiển chấp nhận được x ∈ X Nhằm cải tiến mô hình này,chúng tôi sẽ đưa ra trong (chương 3) mô hình bắn ngẫu nhiên định hướng

Với ý nghĩa trên, dưới đây chúng tôi sẽ thiết lập tập hợp D trong dạng tham số hoácủa hàm điều khiển x ∈ X với lưu ý rằng: các điều khiển chấp nhận được x ∈ X lại liênquan đến trạng thái ωi(t), (i = 1 ÷ 3) của hệ động lực tất định (2.1.21) và liên quanđến tính "tổng hợp" (2.1.22)-(2.1.24) của hàm điều khiển

Với lý do đó, trong mục 2 dưới đây, chúng ta sẽ xét việc thiết lập tập hợp D nói trên

Ta biết rằng (xem [8]) trên các khoảng

[0, T ] \ [T1, T4] = [0, T1) ∪ (T4, T5] ∪ (T5, T ],

hàm điều khiển (2.1.6) của hệ động lực (2.1.21) có dạng một điều khiển tổng hợp(ĐKTH), vì nếu đặt:

Như vậy, điều khiển ˆxi(t) trong các khoảng [0, T ] \ [T1, T4] hoàn toàn được xác địnhkhi biết w(T4)

Trên cơ sở này, để xác định điều khiển x(t) trên cả đoạn [0, T] ta chỉ cần xác định

nó trên đoạn [T1, T4]

Với ý nghĩa đó, ta chỉ cần xét điều khiển:

x(t) =x1(t), x2(t), x3(t)(∀t ∈ [T1, T4]), xi ∈ C[T1, T4] (2.2.4)của hệ động lực (2.1.21) dưới dạng thu hẹp trên đoạn [T1, T4] với các điều kiện khả thi(2.1.22) - (2.1.28) và gọi nó là các biến điều khiển theo chương trình (gọi tắt là điềukhiển)

Để chuyển bài toán ĐKTH (2.1.19) - (2.1.28) về việc xác định các hàm điều khiểntheo chương trình, ta đặt:

xi(t), W wi−1(T4); t
, W wi(T4); t

ˆ

với hi(w) (i = 1 ÷ 3) xác định bởi (2.2.18), Zoi(xi) (i = 1 ÷ 3) xác định bởi (2.1.16)

Bổ đề 2.2.2 (xem[4]) Nếu các hàm (đã cho) qi(t) (i = 1 ÷ 3) và các điều khiển (2.2.4)

là liên tục:

qi ∈ C(0, T ) ; xi ∈ C(T1, T4) (i = 1 ÷ 3), (2.2.14)thì ta có:

đối với hệ phương trình (2.1.21).

Bổ đề 2.2.3 (xem[4]) Với các điều kiện của bổ đề (2.2.2), thì điều kiện (2.1.25) tươngđương với điều kiện sau;

Dựa vào điều kiện (2.1.28) và các bổ đề (2.2.1) - (2.2.3) ta có thể chuyển khái niệm

"chấp nhận được" của điều khiển tổng hợp (2.1.6) thành khái niệm "chấp nhận đượccủa điều khiển theo chương trình" trong định nghĩa sau đây:

Chú ý 2.2.1 Nếu biết các hàm điều khiển chấp nhận được (2.2.4) theo nghĩa trên vàbiết trạng thái w(T4) := w1(T4), w2(T4), w3(T4) của hệ động lực (2.2.17) tương ứngvới điều khiển này, thì thông qua các công thức (2.2.1), (2.2.3) ta có thể bổ sung (vào(2.2.4)) các hàm điều khiển (2.2.2) để thu được hàm điều khiển tổng hợp (2.1.6) đối với

hệ động lực (2.1.21) (trong đó tính chấp nhận được xác định bởi các điều kiện (2.1.22) (2.1.28)); Nghĩa là ta thu được một QTVHHLKT đối với HTTĐ 3 bậc thang trên sôngĐà

-Để tham số hoá hàm điều khiển (2.2.4) (liên tục) nói trên, ta thu hẹp lớp hàm liêntục C(T1, T4) về lớp hàm tuyến tính từng khúc trên [T1, T4]

Với ý nghĩa đó, ta thiết lập một phân hoạch {tk}K

k=0 của đoạn [0, T ], sao cho:

0 = t0 < t1 < < tk < < tK = T ; tkn = Tn (n = 1 ÷ 5) (2.2.24)max

Khi đó mỗi hàm điều khiển (2.2.4) sẽ được xác định bởi một bộ tham số điều khiển:

Chú ý 2.2.2 Nếu đã cho phân hoạch {tk}K

k=0 thì ma trận X hoàn toàn được xác định.Định nghĩa 2.2.2

Mỗi ma trận X ∈ R3×n được gọi là một bộ tham số điều khiển của hệ động lực(2.2.17) ứng với phân hoạch {tk}K

k=0 của đoạn [0, T]; còn hàm điều khiển (2.2.4) với cácthành phần xác định theo (2.2.26) được gọi là điều khiển (tham số hoá) tuyến tính từngkhúc tương ứng

Tính chấp nhận được của bộ tham số điều khiển X nói trên cũng được xác định bởitính chấp nhận được của hàm điều khiển của hàm điều khiển (2.2.26) tưng ứng, nghĩa

là thoả mãn các điều kiện (2.2.19) - (2.2.23)

Định nghĩa 2.2.3

Tập hợp D gồm tất cả các bộ tham số điều khiển chấp nhận được theo nghĩa trên:

D :=nX ∈ R3×n : (2.2.26), (2.2.19) − (2.2.23)o (2.2.27∗)được gọi là tập hợp các bộ tham số điều khiển chấp nhận được đối với hệ động lực(2.2.17)

Chú ý 2.2.3 Nếu biết được tập hợp D, ta có thể dựa trên công thức (2.2.26) để khôiphục tập hợp ˆD gồm tất cả các hàm điều khiển (tuyến tính từng khúc) chấp nhận đượcđối với hệ động lực (2.2.17) Khi đó, có thể dựa trên chú ý (2.2.1) để thu được tập hợptất cả các QTVHHLKT, nghĩa là dự báo được tất cả các kế hoạch vận hành có thể lậpđược trong tương lai đối với mỗi dự án thiết kế HTTĐ 3 - bậc thang trên sông Đà.Tuy nhiên, ta không thể tiếp cận trực tiếp tập hợp D nói trên, vì các bất đẳng thứccần phải kiểm tra trong (2.2.19) - (2.2.23) có số lượng không chỉ là vô hạn mà là khôngđếm được.

Nhằm khắc phục khó khăn này, trước hết ta đặt:

xki - là các biến phụ thuộc wi(T4), xác định theo các công thức (2.2.1) và (2.2.3);

N(j) (j = 0 ÷ 3) - là các tích phân tính theo các công thức (2.2.5) - (2.2.8)

Ngoài ra ta còn có

lim

Vì vậy, ta có thể sử dụng chú ý (2.2.3) (với việc xấp xỷ tập hợp D bởi tập hơp Dε)

để xác định tất cả các QTVHHLKT có thể lập được trong tương lai đối với mỗi dự ánthiết kế của HTTĐ 3 - bậc thang trên sông Đà

Với ý nghĩa trên, ta sẽ xét trong chương 3 dưới đây việc lựa chọn một cách ngẫunhiên bộ tham số điều khiển ε - chấp nhận được X ∈ Dε

Trong việc giải số bài toán giảm thiểu độ rủi ro vỡ đập cho công trình thuỷ điện Sơn

la, ta biết rằng (xem [7]): đây là một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp [7],

nên khi giải nó (bằng phương pháp Monte Carlo), ta cần phải lựa chọn một cách ngẫunhiên ma trận X ∈ Dε, sao cho (xem (1.2.3) - (1.2.12)):

Về mặt nguyên tắc, ta có thể thực hiện điều này thông qua việc tạo VTNN với chiều X ∼ U Dε
, với các thành phần xk

3n-i ∼ U [ui, ¯xi]
thoả mãn các điều kiện tươngứng (nêu trong (2.2.31)) Những điều kiện còn lại trong (2.2.32) - (2.2.36) sẽ được kiểmtra bằng phương pháp loại trừ Von Neumann đã trình bày ở chương 1

Tuy nhiên, do thể tích của siêu hộp 3n-chiều quá lớn so với thể tích miền Dε:

Thuật toán "bắn ngẫu nhiên" cùng với phần mềm VISAM-3 đã giải quyết được bàitoán trên Trong luận văn này, ta sẽ cải tiến thuật toán bắn ngẫu nhiên nói trên dướidạng thuật toán "bắn ngẫu nhiên định hướng" sẽ được trình bày ở chương 3 dưới đây

Ý tưởng của thuật toán này là: các trạng thái wi(tk) thoả mãn điều kiện (2.2.32) với

k = k1+ 1 ÷ k3 sẽ thu được bằng cách tạo phân bố đều trong đơn hình (xem chương1), với k = k3+ 1 ÷ k4− 1 sẽ thu được bằng cách tạo phân bố đều trên đơn hình (xemchương 1) Điểm cuối wi(T4) của quỹ đạo nói trên sẽ thu được bằng phương pháp bắnngẫu nhiên vào miền xác định bởi các điều kiện (2.2.33) - (2.2.34)

Bằng cách làm này ta thu được một miền đủ nhỏ chứa Dε, khi đó có thể sử dụngphương pháp loại trừ Von Neumann với "hiệu quả cao" để kiểm tra sự thoả mãn điềukiện (2.2.31) và các điều kiện (2.2.35) - (2.2.36).

i(t, x(t)) = −pi+ σq0i(t) − xi(t) (T1 ≤ t ≤ T4)trong đó các hằng số σ, pi chọn theo công thức:

∆i(t) ≤ 7,2 x 10−9 x (wi + woi− wi

2 ) := ∆i (T1 ≤ t ≤ T4, i = 1 ÷ 3) (5)Dựa vào các số liệu ban đầu woi, wi, wi ta dễ dàng đánh giá sai số của ∆i nhỏ hơnnhiều lần so với sai số của số liệu ban đầu (có thể bỏ qua chúng khi tính toán), nên ta

có thể xấp xỉ vế phải của hệ phương trình (2.2.17) bởi vế phải của hệ phương trình sauđây:

Trong trường hợp này điều khiển tổng hợp được xác định như sau:

Bổ đề 3.1.1 Nếu hệ phương trình (2.2.17) được xấp xỷ bởi hệ (3.1.2), thì công thức(2.2.3) (để xác định điều khiển tổng hợp (2.2.2)) sẽ trở thành:

xi(t) = ˆxi(t) := ˆqi0(t) − σ−1pi (∀t ∈ [0, T1) ∪ (T4, T5] , i = 3 ÷ 1) (3.1.4)

xi(t) = ˆxi(t) := ˆq0i(t) − wi(T4) − woi− pi(T − T5)

σ(T − T5) (∀t ∈ (T5, T ] , i = 3 ÷ 1), (3.1.5)trong đó wi(T4) (i = 1 ÷ 3) là nghiệm của hệ (3.1.2) tại t = T4 và

Bổ đề 3.1.2 Nếu hệ phương trình (2.2.17) được xấp xỷ bởi hệ (3.1.2) , thì các nghiệm

wi(tk) (k = k1+ 1 ÷ k4 , i = 3 ÷ 1) của chúng được xác định từ các biến điều khiển mới

σ|∆k|− x

k

i (k = k1÷ k4− 1 , i = 3 ÷ 1), (3.1.10)

Trên cơ sở này ta thu được (3.1.8).

Cuối cùng, để chứng minh (3.1.10*) ta chú ý đến điều kiện (2.1.6) về tính liên tục tại

t = T1 của hàm điều khiển (2.2.2), để từ (2.2.26) và (3.1.4) suy ra:

qi0(t) − σ−1pi (i = 3 ÷ 1) (5)Ngoài ra, từ (3.1.5*) và giả thiết về tính liên tục của các hàm qi ∈ C(0, T ) tại t = T1 tacòn có:

Để xét các dấu hiệu có thể giảm bớt các điều kiện ε chấp nhận được (2.2.31) (2.2.36), ta ký hiệu: