Giải số mô hình động học rừng bằng phương pháp ADI

Giải số mô hình động học rừng bằng phương pháp ADI

1.2 Nghiệm địa phương

1.3 Nghiệm không âm

1.4 Nghiệm toàn cục

1.5 Hệ động lực

1.6 Hàm Lyapunov

1.7 Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất

Chương 2 Phương pháp ADI và một số thuật toán liên quan

2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI

2.1.1 Giới thiệu

2.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai

2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân

2.1.4 Phương pháp ADI

2.2 Một số thuật toán liên quan

2.2.1 Thuật toán Thomas

2.2.2 Thuật toán Newton

Chương 3 Giải số mô hình

1

Lời mở đầu

Vấn đề nghiên cứu sự bảo tồn và phát triển của rừng có ý nghĩa rất quan

trọng trong việc bảo vệ môi trường cũng như phát triển kinh tế, xã hội Để quan

sát sự phát triển của rừng cần thời gian rất dài và chi phí lớn Hiện nay, việc sử

dụng các mô hỡnh toỏn học và nghiờn cứu cỏc mụ hỡnh đó với sự trợ giúp của

máy tính là phương pháp rất quan trọng

Vào năm 1994, Kuznetsov cùng các tác giả khác (xem [6]) đó đưa ra mô

hỡnh Cấu Trỳc Tuổi để mô tả sự phát triển của hệ động học rừng Họ nghiên

cứu mô hỡnh rừng đơn loài và chỉ cú hai lớp, lớp cõy non và lớp cõy già Quỏ

trỡnh tỏi tạo của rừng được mô tả thông qua sự tạo hạt của cây già và sự nảy

mầm phát triển thành cây non của hạt Mô hỡnh Cấu Trỳc Tuổi được biểu diễn

bởi hệ phương trỡnh sau:

2 2

,

u βδw γ v u fu t

v fu hv t

Trong đó ẩn hàm ( , )u t x và ( , )v t x lần lượt là mật độ cây non và cây già ở tại vị

trí x ∈Ω và tại thời gian t∈(0, )∞ Ẩn hàm ( , )w t x là mật độ hạt trong không

khí tại x ∈Ω và t∈(0, )∞ Phương trỡnh thứ ba của (0.1) mụ tả sự biến đổi

hạt, d > 0 là hằng số khuếch tỏn của hạt; α > 0và β > 0 lần lượt là tốc độ tạo hạt

của cây già và tốc độ lắng đọng của hạt Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai

của (0.1) mụ tả sự phỏt triển của cõy non và cõy già; 0 < δ ≤ 1 là tỷ lệ nảy mầm

của hạt, γ ( ) 0v > là tỷ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già v ;

0

f > là tốc độ phát triển của cây non và h> là tỷ lệ chết của cõy già 0

2

Mụ hỡnh này đó được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong [3], và

[4], L H Chuẩn, A Yagi và T Tsujikawa đó nghiờn cứu mụ hỡnh trong trường

hợp hai chiều Bằng cách biến đổi hệ phương trỡnh (0.1) về phương trỡnh tiến

húa dạng parabolic và sử dụng cụng cụ nửa nhúm giải tớch, cỏc tỏc giả đó xõy

dựng được nghiệm tổng quát cho mô hỡnh, nghiờn cứu sự ổn định và dáng điệu

tiệm cận của nghiệm khi thời gian đủ lớn

Dựa trờn cỏc kết quả lý thuyết đó đạt được, luận văn nghiên cứu việc xây

thuận toán và viết chương trỡnh để giải số mô hỡnh Cấu Trỳc Tuổi trong trường

hợp hai chiều Hệ (0.1) là một hệ phương trỡnh vi phõn đạo hàm riêng khá phức

tạp không có phương pháp giải đúng Phương pháp giải gần đúng được sử dụng

trong luận văn là phương pháp sai phân, kết hợp với phương pháp ADI

(Alternating Direction Implicit) để giảm thời gian tớnh toỏn và tăng độ chớnh

xỏc

Luận văn gồm cú ba chương:

Chương 1 Giới thiệu mụ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi mụ tả sự phỏt triển của

rừng do Kuznetsov cựng cỏc tỏc giả khỏc đưa ra và trỡnh bày một số kết quả lý

thuyết đó được chứng minh

Chương 2 Giới thiệu cỏc khỏi niệm cơ bản của phương phỏp sai phõn,

phương phỏp ADI (Alternating Direction Implicit) và phương pháp Thomas ứng

dụng cho việc giải gần đúng phương trỡnh đạo hàm riêng

Chương 3 Trỡnh bày quỏ trỡnh sai phõn mụ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi, sơ đồ

khối mụ tả thuật toỏn để giải nghiệm gần đỳng Đồng thời trỡnh bày một số kết

quả tớnh toỏn thu được

Vào năm 1994, Kuznetsov, Antonovsky, Biktashev và Aponina (xem [6])

đó đưa ra mô hỡnh Cấu Trỳc Tuổi để mô tả sự phát triển của hệ động học rừng

(xem (0.1)) Trong [3] và [4], L H Chuẩn cùng các tác giả khác đó nghiờn cứu

mụ hỡnh đó trong trường hợp hai chiều như sau:

0

trên (0, ),trên (0, ),

u t x và v t x lần lượt là mật độ cây non và cây già ở tại vị trí x( , ) ∈Ω và tại

thời gian t∈(0, )∞ Ẩn hàm ( , )w t x là mật độ hạt trong không khí tại x∈Ω và

(0, )

t∈ ∞ Phương trỡnh thứ ba của (1.1) mụ tả sự biến đổi hạt, d > là hằng số 0

khuếch tỏn của hạt; α > 0và β > 0 lần lượt là tốc độ tạo hạt của cây già và tốc độ

lắng đọng của hạt Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai của (1.1) mụ tả sự phỏt

triển của cõy non và cõy già; 0 < δ ≤ 1 là tỷ lệ nảy mầm của hạt, ( ) 0γ v > là tỷ lệ

chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già v ; f > là tốc độ phát triển của 0

cây non và h> là tỷ lệ chết của cõy già Hàm 0 w t x thỏa món điều kiện ( , )

Neumann trên biên ∂Ω Các giá trị ban đầu u x0( ) 0≥ , v x0( ) 0≥ và w x0( ) 0≥

trong đó ,a b và c là các hằng số dương, tức là ta có thể thấy tỷ lệ chết của cây

non phụ thuộc vào cây già và đạt giá trị nhỏ nhất khi mật độ cây già là b

Sau đây ta sẽ trỡnh bày một số kết quả lý thuyết đó đạt được (xem [3] và

[4])

1.2 Nghiệm địa phương

Trong mục này, ta đi xây dựng nghiệm địa phương cho (1.1) trên không gian nền

trong đó Λ là toán tử đóng liên kết với toán tử Laplace d− ∆ + trong β L2 ( ) Ω

với điều kiện biên Neumann Miền xác định của Λ là khụng gian

w v u

v

βδ γ α

Bằng cỏch kiểm tra một số tớnh chất của toỏn tử A và toỏn tử F , ta chứng

minh được kết quả sau:

Định lý 1.1 Với mỗi giá trị ban đầu U0 =( , ,u v w0 0 0)∈K , ph ương trỡnh (1.2)

cú nghi ệm duy nhất ( , , )u v w trong khụng gian hàm

Định lý 1.2 Cho U0∈K và gi ả sử U =( , , )u v w là nghi ệm địa phương của

(1.2) thu được trong Định lý 1.1 Khi đó u t( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ≥ v t ≥ w t ≥ tr ờn Ω v ới mọi

v fu hv t

w d w βw αχ v t

w n

6

Trong đó χ ( )v% là hàm cho bởi

0, ( )

v khi v v

khi H

Vỡ v% ≥ 0 nờn χ ( )v% =v% , chứng tỏ (u v w% % % , , ) cũng là nghiệm địa phương của

(1.2) trên [0, ]T0 Theo tớnh duy nhất nghiệm ta suy ra rằng ( , , ) ( , , )u v w = % % % u v w

trờn [0, ]T0 , trong đó T0= min{T T1, 2} Như vậy (1.2) có nghiệm địa phương không

âm trong không gian hàm (1.3), trong đó T0 được xác định bởi U0

7

1.4 Nghiệm toàn cục

Để xây dựng nghiệm toàn cục của bài toán, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau:

Định lý 1.3 Cho U0∈K và gi ả sử rằng U =( , , )u v w là nghi ệm địa phương

c ủa phương trỡnh (1.2) trờn khoảng [0,T U] nh ư sau:

Sử dụng đánh giá tiên nghiệm trên, ta chứng minh được sự tồn tại và duy

nhất nghiệm của hệ phương trỡnh (1.1)

Định lý 1.4 Với mọi giá trị ban đầu U0∈K , hệ phương trỡnh (1.1) cú duy

nh ất nghiệm toàn cục trong khụng gian hàm

[0, ]T Theo Định lý 1.3, U T( )0 được xác định bởi U0 Do đó nghiệm U cú

thể thỏc triển thành nghiệm địa phương trên [0,T0+ τ ] với τ > 0 được xác định

bởi U T( )0 , tức là chỉ phụ thuộc vào U0 Tiếp tục quỏ trỡnh thỏc triển đó, ta sẽ

thu được nghiệm toàn cục của bài toỏn

1.5 Hệ động lực

Trong phần này ta sẽ đi xây dựng hàm Lyapunov cho (1.1) Giả sử

( , , )u v w là nghiệm toàn cục của (1.1) với giá trị ban đầu U0= ( , ,u v w0 0 0) ∈K

1.7 Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất

Giải sử ( , , )u v w là nghiệm dừng, thuần nhất và không âm của (1.1) Khi đó

11

Các phương trỡnh đạo hàm riêng thường xuất hiện trong các biểu thức

ứng dụng vật lý, thuyết thuỷ động học, cơ học lượng tử… Và hầu như các bài

toán này thường rất phức tạp, nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ

điển, tuy nhiên trong một số trường hợp lại có thể tỡm được nghiệm một cách

khá hiệu quả Trong số những phương pháp giải gần đúng phương trỡnh đạo

hàm riêng thỡ phương pháp lưới (hay phương pháp sai phân) được sử dụng khá

rộng rói nhất

2.1.2 Phân loại phương trỡnh tuyến tớnh cấp 2

Xột bài toỏn tuyến tớnh cấp 2

2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân

● Rời rạc hoỏ miền Ω

● Thay toỏn tử vi phõn bằng toỏn tử sai phõn

● Giải hệ phương trỡnh đại số tuyến tính thu được

12

● Khảo sát sự hội tụ và ổn định của lược đồ sai phân

a) Rời rạc hoỏ miền Ω

Hỡnh 2.1 Lưới đồng dạng sử dụng cho sai phân hữu hạn

Trong phạm vi luận văn, ta chỉ xét miền Ω là miền hỡnh chữ nhật [0,a] [0, ] × b ,

như vậy ta có thể rời rạc hoá miền Ω bằng các đường thẳng, ta chia đoạn [0,a]

và đoạn [0,b] thành J và K đoạn bởi các điểm chia x j = ∆j x j, = 0 J, và

Giao điểm của những đường thẳng đó gọi là những điểm lưới, điểm lưới

(j,k) có toạ độ là ( , )x x j k Điểm kề của (j, k) là các điểm (j± 1, )k và ( ,j k± 1)

Ký hiệu Ω =h {( , ) : 0j k ≤ ≤j J,0 ≤ ≤k K} Tập hợp các điểm trong

Ω =h {( , ) : 0j k < <j J, 0 < <k K},

và Γ = Ωh h\ Ωh được gọi là các điểm biên

b) Thay toỏn tử vi phõn bằng toỏn tử sai phõn

Ta xột biến thời gian t trờn miền T = (0, +∞) Rời rạc hoỏ miền T bằng ∆t,

như vậy ta có: t0= 0,t1= ∆t t, 2 = ∆ 2 t…và ký hiệu n, ( , , )

j k

u =u j x k y n t∆ ∆ ∆ Trong đó 0

j k

u =u j x k y∆ ∆ là giá trị ban đầu tại t0

Ta có thể biểu diễn các toán tử vi phân bằng sai phân như sau:

Sai phân tiến theo hướng x

c) Sau khi được biểu diễn dưới dạng sai phân, các phương trỡnh đạo hàm

riêng có dạng một hệ phương trỡnh đại số tuyến tính Ax = b, trong đó A thường

có dạng ma trận chéo, thưa Để giải hệ này ta sử dụng thuật toán thuật toán

Giả sử các điều kiện sau được thoả món

● a,b > 0 ∀ ( , )x y ∈ Ω, (điều kiện để L u( ) là toỏn tử eliptic)

● g ≤ 0 ∀ ( , )x y ∈ Ω, (điều kiện để (2.4) có nghiệm)

Để chứng minh hệ phương trỡnh sai phõn

Áp dụng nguyờn lý maximum, dễ dàng chứng minh được hệ phương

trỡnh thuần nhất chỉ cú nghiệm tầm thường u j k, ≡ 0, ( , )j k ∈ Ωh Từ đó suy ra hệ

là giải được duy nhất

d) Khảo sát sự ổn định và hội tụ của lược đồ sai phân

Để đơn giản ta gộp cả điều kiện biên và điều kiện ban đầu đưa vào phương

trỡnh

Lu = f

(2.6)

Trong đó L là toán tử tuyến tính đưa không gian tuyến tính định chuẩn ( ,|| || ) ∪ ∪

vào không gian tuyến tính định chuẩn ( ,|| || )

16

L u h( )h = f h

(2.7) trong đó L h là toán tử tuyến tính đưa không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 2 Lược đồ sai phân (2.7) là ổn định nếu

i) (2.7) cú nghiệm duy nhất với mọi vế phải f h

ii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và vế phải

Định lý Lax Nếu lược đồ (2.7) ổn định và xấp xỉ (bậc k) bài toỏn (2.6) thỡ

nghiệm của (2.7) hội tụ (bậc k) tới nghiệm của (2.6)

Ta đi xét một phương pháp khảo sát sự ổn định của lược đồ sai phân sau:

Ph ương pháp phổ Newmann

Phương pháp này cho điều kiện cần để lược đồ sai phân ổn định theo giá

trị ban đầu Ta gọi phổ của bài toán sai phân là tập hợp cỏc giỏ trị λ = λ α ( , )h sao

cho nghiệm của phương trỡnh sai phõn thuần nhất tương ứng có dạng

j , [ ( , )]k ,0 i

2

2

, ( 0, 1, ; 0, , 1),

τ τ

r> theo Neumann thỡ lược

đồ sai phân không ổn định

19

Như vậy

u h h ≤ ϕ h + T f h h , hay lược đồ sai phân là ổn định

2.1.4 Phương pháp ADI (Alternating Direction Implicit)

Ta xột bài toỏn sau

( ) trên (0, ), ( , , 0) ( , ) trên ,

Chia miền thời gian t∈(0, +∞) thành cỏc khoảng ∆t, 2∆t, 3∆t…, miền lưới

hỡnh chữ nhật Ω có kích thước a b× được trỡnh bày trờn Ta chia miền Ω với

các bước chia ∆x và ∆y như sau

u + tại j: 1→J – 1, k: 1→K – 1 Để tính tại biên ta cần sử dụng các điều

kiện biên cho nú

σ

=   +  

∆ ∆   ∆  , hay

21

Phương trỡnh trờn được viết dưới dạng ma trận như sau

3KJ Như vậy thời gian tính toán

sẽ rất lớn Vỡ thế ta cần xây dựng phương pháp tốt hơn

22

Ta sẽ xét phương pháp ADI (alternating direction implicit) Phương pháp

ADI là một lược đồ dự đoán - hiệu chỉnh Trong đó toán tử sai phân là ẩn trong

cả bước dự đoán và bước hiệu chỉnh Với phương pháp này thỡ sai số do tớnh

toán sẽ giảm xuống rất nhiều so với phương pháp hiện

Theo đó, bước dự đoán sẽ bao gồm phương pháp Euler lùi theo hướng x

và Euler tiến theo hướng y với bước thời gian

2

1 2 1,

u + trờn cỏc hàng k = 1…K – 1 Mụ hỡnh tớnh toỏn cho cỏc bước

này như sau:

23

Hỡnh 2.5 Mụ hỡnh tớnh toỏn bước dự đoán

Bước hiệu chỉnh sẽ hoàn thành hoàn chỉnh thuật toán, sử dụng Euler tiến

theo hướng x và lùi theo hướng y với bước thời gian

1 , 1

1/2 2

/ 2 / 2

Giải quyết hệ này tương tự như đối với bước dự đoán Mô hỡnh tớnh toỏn cho

bước hiệu chỉnh như sau

24

Hỡnh 2.6 Sơ đồ bước hiệu chỉnh

Như vậy thay bằng nhảy trực tiếp từ bước thứ n → n+1 ta sẽ đi từ bước n

→ n+1/2 → n+1 Và với việc áp dụng thuật toán Thomas cho cả hai bước ta sẽ

tính được độ phức tạp của phương pháp này là khoảng 5JK, nhỏ hơn nhiều so

với con số (5 3

3KJ ) của phương pháp Crank – Nicolson

2.2 Một số thuật toỏn liờn quan

2.2.1 Thuật toỏn Thomas

Thuật toán Thomas được sử dụng để giải hệ phương trỡnh đại số trong đó

vế trái là một ma trận chéo, thưa Với việc áp dụng thuật toán này cho trường

hợp đặc biệt trong bài của ta sẽ giảm độ phức tạp tính toán xuống rất nhiều so

với sử dụng các thuật toán cho trường hợp tổng quát như thuật toán Gauss,

Phõn tớch A = LU, trong đó cả L và U là ma trận thưa có 2 đường chéo khác 0,

hệ (2.13) sẽ tương đương với (LU)x = b

Ta đi giải (2.14) với ma trận L là một ma trận hai đường chéo, giải ma trận này

hết sức đơn giản, sau đó thay w vừa tỡm được ở (2.14) vào (2.15) ta lặp lại bước

giải ma trận hai đường chéo sẽ thu được nghiệm cần tỡm

3

1 1

1 1

U

β β β

c

α α α

i i i

α β α

26

Hỡnh 2.7 Sơ đồ khối thuật toán Thomas

2.2.2 Thuật toán Newton giải hệ phương trỡnh đại số tuyến tính

có giao điểm với trục hoành tại x1=x0− f x( ) / '( ).0 f x0

Ta xây dựng được công thức truy hồi như sau

( )

1

( ) '

Set Lw = x and find w

Set Ux=w and find x End

Algorithm is not applicable

27

Hỡnh 2.8 Phương pháp Newton Đánh giá sai số

Giả sử || ''( ) ||f x ≤M1 và | '( ) |f x ≥M2∀ ∈x [ , ],a b

2 1

Sơ đồ khối thuật toán Newton

Hỡnh 2.9 Sơ đồ khối thuật toán Newton

Chương này ta sẽ áp dụng những kiến thức và thuật toán được trỡnh bày

trong Chương 2 để giải số mô hỡnh (1.1)

( )

0 ( ,0) ( ), ( , 0) ( ), ( , 0) ( )

u

w v u fu t

v

fu hv t

w

t w n

Ta tiến hành giải bài toán theo hai bước, bước dự đoán và bước hiệu

chỉnh Bước dự đoán sử dụng phương pháp Euler lùi theo hướng x và Euler tiến

theo hướng y, bước hiệu chỉnh sử dụng phương pháp Euler tiến theo hướng x và

Euler lùi theo hướng y

Lược đồ sai phân của bước dự đoán:

(3 3) ( / 2 )

n m

h t u

30

1 2

2

.

n n

Sử dụng công thức truy hồi (3.9), ta sẽ tính được u n+12, thay kết quả vừa tính

được vào (3.4) ta sẽ tính được v n+12 Với v n+12 vừa tính được ta thay vào phương

2 0,

δ α

+ +

Ta nhận thấy A là ma trận chéo, thưa, do đó hệ AW k =B k sẽ dễ dàng giải được

bằng cách sử dụng thuật toán Thomas

L ưu ý: Tại mỗi điểm trên biên, hàm w thoả món điều kiện Newmann w 0

n

∂

=

∂ , nên công thức sai phân tại đó sẽ là

Hỡnh 3.1 Điểm biên của lưới rời rạc

Để giải hệ phương trỡnh ở bước dự đoán, ta sẽ làm như sau:

i) Trong phương trỡnh (3.1) lấy giỏ trị 12

0

n

w + ban đầu là n

w

ii) Thay giá trị đó vào (3.7) để giải được u n+12 và v n+12

iii) Thay v n+12 vừa tính được đó vào (3.3) ta tính được 12

w + Dóy {w n+12 }m sẽ hội tụ dần đến giá trị w n+12 cần tỡm

Sơ đồ khối tính toán của bước một như sau