Bài tập nghiên cứu khoa học

Tìm tập hợp các trung điểm M của các dây cung AB có độ dài bằng l của đường tròn’’ Khi giải bài toán trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây: + Khái niệm về đườn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

KHOA TOÁN

===============

BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

DẠY HỌC DỰ ĐOÁN TRONG GIẢI TOÁN TÌM TẬP HỢP

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Nam Lớp: Toán K4 – Bắc Giang

Giáo viên hướng dẫn: Th.S NGUYỄN VĂN HÀ

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I) Vai trò, ý nghĩa của dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông

Củng cố các kiến thức cơ bản trong hình học cho học sinh:

- Toán tìm tập hợp là một dạng toán tổng hợp, có nội dung phong phú chứa đựng nhiều nội dung kiến thức cơ bản của hình học Khi giải dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các kiến thức cơ bản có liên quan đến bài toán và phải biết cách vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo Vì vậy qua việc giải các bài toán tìm tập hợp sẽ củng cố nhiều kiến thức cơ bản toán học cho học sinh

- Ví dụ:

Xét bài toán: ‘‘ Cho một đường tròn (O, R) và một số l > 0 Tìm tập hợp các trung điểm M của các dây cung AB có độ dài bằng l của đường tròn’’

Khi giải bài toán trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây:

+ Khái niệm về đường tròn, đường kính và dây cung

+ Tính chất về mối quan hệ giữa đường kính và dây cung của một đường tròn

+ Định lý Pi-ta-go về tam giác vuông

Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh:

- Qua những bài toán tìm tập hợp giúp học sinh nắm vững các loại mệnh đề thuận, mệnh đề đảo, mệnh đề phản và mệnh đề phản đảo Đối với những bài toán

có mệnh đề thuận phức tạp đòi hỏi học sinh phải hiểu được cấu trúc lôgic của mệnh đề này mới có thể thành lập được mệnh đề đảo của nó Đồng thời khi chứng minh mệnh đề thuận hoặc mệnh đề đảo của bài toán tìm tập hợp đòi hỏi học sinh phải biết cách sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, … vào việc tìm đường lối chứng minh toán học Do vậy qua dạng toán tìm tập hợp rèn luyện và phát triển tư duy lôgic cho học sinh

- Toán tìm tập hợp là dạng toán tìm kiếm, trong đó yêu cầu phải chứng minh không thể hiện ở trong kết luận của đề toán Để giải dạng toán này học sinh phải

có khả năng độc lập, sáng tạo: Học sinh cần phải biết vận dụng các phép suy luận nghe có lý như đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, … vào việc dự đoán tập hợp cần tìm hoặc mở rộng bài toán từ phẳng ra không gian

Rèn luyện và phát triển kĩ năng vận dụng cho học sinh:

Toán tìm tập hợp là dạng toán tổng hợp, trong đó bao gồm cả toán tính toán, toán dựng hình và toán chứng minh Trong toán tìm tập hợp luôn phải chứng minh hai mệnh đề thuận, đảo hoặc cặp mệnh đề khác tương đương; đồng thời phải biết xác định được hình dạng của tập hợp cần tìm, tức là dựng được nó Do vậy qua toán tìm tập hợp các dạng toán điển hình trong hình học của học sinh được rèn luyện, củng cố và phát triển

Bồi dưỡng quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh:

Qua dạng toán tìm tập hợp bồi dưỡng cho học sinh quan điểm động, nhờ đó học sinh có “ con mắt hình học’’ khi quan sát, nghiên cứu các hiện tượng trong đời sống hàng ngày Họ sẽ nhận thức được rằng mọi sự vật, hiện tượng trong thực tiễn đều biến đổi theo một quy luật nào đó Họ sẽ nhìn nhận và suy nghĩ các vấn đề một cách sinh động, phù hợp với điều kiện từng nơi, từng lúc

Toán tìm tập hợp là dạng toán khó trong hình học Qua việc giải dạng toán này sẽ rèn luyện cho học sinh nhiều phẩm chất, đức tính cần thiết của người lao động mới

II) Nội dung của toán tìm tập hợp ở trường phổ thông

Triển khai nội dung về các bài toán tìm tập hợp cơ bản: (Các qũy tích

cơ bản)

Lớp 7:

- Qũy tích đường phân giác của một góc: Tập hợp những điểm cách đều hai cạnh của một góc

- Qũy tích đường đường trung trực của một đoạn thẳng: Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng

Lớp 8:

- Qũy tích đường thẳng song song cách đều: Tập hợp những điểm cách đều một đường thẳng cố định cho trước một khoảng cho trước

Lớp 9:

- Qũy tích đường tròn:

Tập hợp những điểm cách đều một điểm cố định cho trước một khoảng cho trước, hoặc tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc vuông

- Quỹ tích cung chứa góc: Tập hợp những điểm luôn nhìn hai đầu của một đoạn thẳng cố định cho trước dưới một góc không đổi

Lớp 10:

- Một số bài tập liên quan đến quỹ tích trục đẳng phương của hai đường tròn, liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác, hoặc liên quan đến hệ thức lượng trong đường tròn

Lớp 11:

- Bao gồm một số qũy tích cơ bản: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng; Mặt phẳng phân giác của một nhị diện; Mặt cầu

- Một số bài tập tìm tập hợp liên quan đến các phép biến hình trong hình học phẳng

Nhận xét:

- Toán tìm tập hợp là dạng toán quan trọng trong chương trình toán phổ thông Tuy nhiên, đây là dạng toán khó đối với đa số học sinh, do đó trong chương trình còn chưa chú ý nhiều:

+ Trong hình học phẳng: Bao gồm những bài toán tìm tập hợp cơ bản nhất

và một số rất ít các bài toán vận dụng các bài toán cơ bản này Khi giải các bài toán tìm tập hợp không có yêu cầu chứng minh phần đảo

+ Trong hình học không gian: Không có điều kiện để nghiên cứu sâu dạng toán quỹ tích như trong hình học phẳng, mà chỉ giới thiệu một vài bài toán quỹ tích cơ bản nhất mở rộng tương tự với hình học phẳng

- Những khó khăn đặt ra trước học sinh khi giải các bài toán dạng này:

+ Trước đây học sinh chỉ quen với các yếu tố cố định, yếu tố không đổi và chưa quen nghiên cứu các bài toán hình học có yếu tố thay đổi, biến thiên

+ Học sinh thường có tư tưởng sợ loại toán này: Không biết cách dự đoán tập hợp càn tìm, không biết thành lập mệnh đề đảo của bài toán quỹ tích có mệnh

đề thuận phức tạp

III) Dạy cho học sinh dự đoán tập hợp cần tìm:

Ý nghĩa, vai trò của việc dự đoán tập hợp cần tìm:

Việc dự đoán tập hợp cần tìm không yêu cầu phải có trong lời giải của bài toán tìm tập hợp, nhưng nó lại đóng vai trò rất quan trọng trong việc tiếp cận để tìm ra lời giải của nó

Muốn giải được bài toán tìm tập hợp thì yêu cầu cơ bản trước tiên là học

dự đoán tập hợp cần tìm

Do vậy học sinh cần phải có kinh nghiệm trong việc dự đoán và biết cách dự đoán một cách nhanh chóng, chính xác được tập hợp cần tìm thì từ đó có thể tiếp

Một số phương pháp dự đoán tập hợp cần tìm:

a) Dự đoán dựa vào thực nghiệm:

+ Ta theo dõi các phần tử chuyển động sinh ra tập hợp cần tìm Thông

thường ta chú ý đến các vị trí đặc biệt của phần tử chuyển động trong bài toán tìm tập hợp

Các vị trí đặc biệt ở đây thường là các vị trí biên của hình gốc, các vị trí xác định trên hình gốc (Hình gốc là hình tạo bởi các yếu tố cố định trong bài toán tìm tập hợp)

+ Trong dự đoán bằng thực nghiệm cần chú ý tìm ra ba điểm thuộc tập hợp cần tìm:

Nếu ba điểm tìm được đó thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc loại thẳng có thể là đường thẳng hoặc đoạn thẳng

Nếu ba điểm tìm được đó không thẳng hàng thì dự đoán tập hợp cần tìm là thuộc loại tròn có thể là đường tròn hoặc cung tròn

Ví dụ:

‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB.”

Ví dụ:

cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.”

b) Dự đoán dựa vào điểm vô tận:

+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó

trong hình gốc có thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận thuộc tập hợp cần tìm Khi tập hợp cần tìm chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp cần tìm thuộc loại thẳng

+ Nếu khoảng cách từ điểm cần tìm tập hợp đến một điểm cố định nào đó

trong hình gốc không thể tăng lên một cách vô cùng lớn thì ta nói điểm vô tận không thuộc tập hợp cần tìm Khi tập hợp cần tìm không chứa điểm vô tận thì có thể dự đoán tập hợp cần tìm thuộc loại tròn

Ví dụ:

‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước Tìm tập

Hd:

không thuộc tập hợp cần tìm, nên dự đoán tập hợp cần tìm là loại tròn

c) Dự đoán dựa vào tính đối xứng của hình gốc:

Từ một điểm nào đó thuộc tập cần tìm và dựa vào tính đối xứng của hình gốc ta có thể suy ra những điểm khác thuộc tập hợp cần tìm Nhờ đó giúp học sinh củng cố niềm tin vào việc dự đoán đúng tập hợp cần tìm

Ví dụ:

Hd:

Cát tuyến đi qua tâm O: Tâm O

thuộc tập cần tìm

Cát tuyến ở vị trí tiếp tuyến:

Tiếp điểm T, T’ thuộc tập cần tìm

Dễ thấy ba điểm T, O, T’ không

thẳng hàng nên có thể dự đoán tập

cần tìm là cung tròn đường kính PO

Hd:

M Ox: M  A  Ox sao cho

khoảng cách từ A tới Oy là k

M Oy: M  B  Oy sao cho

khoảng cách từ B tới Ox là k

Dễ thấy ba điểm A, M, B thẳng

hàng nên có thể dự đoán tập cần tìm

là đoạn thẳng AB

O

y

A B

x

M

P Q

T’

P

A

B T

I

O

‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước Tìm tập

d) Dự đoán dựa vào phép suy luận nghe có lý:

Để có dự đoán đúng, nhiều khi ta sử dụng các phép suy luận nghe có lý để đưa bài toán tìm tập hợp đã cho về bài toán đặc biệt hoặc bài toán tương tự đơn giản hơn đã biết cách giải Từ kết quả của bài toán có liên quan ta có thể nhanh chóng đưa ra dự đoán về tập hợp cần tìm của bài toán đã cho

Ví dụ:

‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước Tìm tập

Hd:

đường tròn đường kính AB

Do đó có thể dự đoán bài toán đã cho có tập hợp cần tìm là đường tròn tâm nằm trên AB và tâm là trung điểm của AB

Lưu ý sư phạm:

Trong dự đoán tập hợp cần tìm của bài toán tìm tập hợp, chúng ta cần chú ý kết hợp nhiều phương pháp dự đoán khác nhau để có thể có kết quả dự đoán nhanh chóng và chính xác tập hợp cần tìm

IV) Dạy cho học sinh nắm được bản chất của dạng toán tìm tập hợp:

Bài toán:‘‘Tìm tập hợp các phần tử M có tinh chất  nào đó - M()”

- Làm cho học sinh thấy được tính chất đa dạng phong phú của các phần tử chuyển động hoặc tập hợp cần tìm trong các bài toán tìm tập hợp:

+ Phần tử chuyển động có thể là điểm chuyển động, đoạn thẳng chuyển động, đường thẳng chuyển động, cung tròn hoặc đường tròn chuyển động

Ví dụ:

‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đường tròn Một cát tuyến quay quanh P cắt đường tròn ở hai điểm A, B Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB”

+ Tập hợp cần tìm có thể là tập rỗng, có thể là tập hữu hạn các phần tử, có thể là tập vô hạn các phần tử, có thể là một đường liên tục hoặc một đường rời rạc

Ví dụ:

O

P

Q

Hd:

Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB,

ta thấy điểm O cũng cố định

Dễ thấy nếu M thuộc tập cần tìm thì suy ra: N

đối xứng của M qua trung trực của AB; P đối xứng

của M qua O; Q đối xứng của M qua AB cũng

thuộc tập hợp cần tìm

Ta thấy M, N, P, Q không thẳng hàng nên có

thể dự đoán tập cần tìm là loại tròn có tâm là trung

điểm của đoạn thẳng AB

‘‘Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng cách đều ba đỉnh của tam giác”- Ta có tập hợp cần tìm là 4 điểm rời rạc

‘‘Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng cách đều ba điểm thẳng hàng cho trước”- Ta có tập hợp cần tìm là tập rỗng

- Học sinh cần phải hiểu đúng thực chất của việc giải bài toán tìm tập hợp là tại sao phải chứng minh hai phần thuận, đảo rồi mới được kết luận tập hợp cần tìm là hình gì?

tìm tập hợp H0 ?

cần tìm các phần tử M có tính chất 

cặp hai mệnh đề thuận, mệnh đề đảo sau:

H

Mệnh đề đảo: H  H0 :  M  H  M  H 0   M  H  M: M()

+ Trong chứng minh của bài toán tìm tập hợp ta phải dùng cặp mệnh đề thuận-đảo, nhưng ta cũng có thể dùng cặp mệnh đề khác tương đương:

mối quan hệ giữa các loại mệnh đề thuận, đảo, phản, phản đảo như sau:

Như vậy ta thấy có bốn khả năng dùng các cặp mệnh đề tương đương trong chứng minh của bài toán tìm tập hợp:

Sử dụng cặp mệnh đề thuận và mệnh đề đảo

Sử dụng cặp mệnh đề thuận và mệnh đề phản thuận

Sử dụng cặp mệnh đề đảo và mệnh đề phản đảo

Sử dụng cặp mệnh đề phản thuận và mệnh đề phản đảo

Lưu ý sư phạm:

Vấn đề đặt ra trong từng bài toán của dạng toán tìm tập hợp cụ thể ta nên lựa chọn cặp mệnh đề nào cho thích hợp

Trong khi giải bài toán tìm tập hợp cần lưu ý rằng chỉ sau khi chứng minh xong cả hai phần thuận, phần đảo hoặc cặp mệnh đề khác tương đương thì mới

A  B (Thuận) (Đảo)B  A

(Phản) (Phản đảo)

1

4

được kết luận rằng: Tập hợp các phần tử M có tính chất  là hình H

Ví dụ:

cho tổng khoảng cách từ điểm M tới hai cạnh của góc là một số k > 0 không đổi.”

Hd:

Trong phần dự đoán ở trên ta đã dự đoán tập cần tìm là đoạn thẳng AB

Mệnh đề đảo: Với M  AB, MP  Ox và MQ  Oy Chứng minh rằng MP +

MQ = k (Ta có thể dễ dàng chứng minh được bằng phương pháp diện tích mệnh

đề đảo này)

Mệnh đề phản đảo: Với M  AB, MP  Ox và MQ  Oy Chứng minh rằng

MP + MQ  k

(Kéo dài OM cắt AB tại M’, hạ M’P’  Ox và M’Q’  Oy Theo phần đảo ở

 MP + MQ < M’P’ + M’Q’ = k)

do tính chất liên tục của tập hợp cần tìm

Ta cũng có thể dùng phép biến đổi tương đưa bài toán tìm tập hợp đã cho về các tập hợp cần tìm cơ bản đã biết

Ví dụ:

‘‘Cho hai điểm A, B cố định và một số k > 0 không đổi cho trước Tìm tập

Hd:

Gọi I là trung điểm của AB, dễ thấy I cố định và ta có biến đổi tương đương như sau:

MA2 + MB2 = k2 

2

2 AB 2

2.MI + = k

2



2 2

2 2.k AB

MI =

4

−

- Không đổi

Vì điểm I cố định nên suy ra tập hợp những điểm M là đường tròn tâm I, với

R = 2.k - AB

V) Dạy học chứng minh phần đảo của bài toán tìm tập hợp

O

y

A B

x

M’

P’

Q’

P M Q

Học sinh cần nhận thức rằng mệnh đề đảo của bài toán tìm tập hợp là mệnh

đề đảo toàn bộ:

+ Nếu mệnh đề thuận đơn giản phần tử cần tìm tập hợp chỉ gồm một tính chất nào đó:

Dạng mệnh đề thuận: A B thì mệnh đề đảo là B A

+ Nếu mệnh đề thuận bao gồm một vài tính chất nào đó:

Dạng mệnh đề thuận: A 1 ∧ A A 2 ∧ ∧ n ⇒ B (1) thì mệnh đề đảo toàn bộ

của nó là: B ⇒ A 1 ∧ A A (2) 2 ∧ ∧ n

Trong thực tế lời giải của bài toán tìm tập hợp ta thường thành lập mệnh đề đảo toàn bộ như sau:

(B ⇒ A ) (B 1 ∧ ⇒ A ) (B 2 ∧ ∧ ⇒ A ) (B n 1− ∧ ⇒ A ) (3) n

1 2 n 1 1 n-1 n

(B ⇒ A ) (B ∧ ⇒ A ) (B ∧ ∧ ⇒ A ) (B A− ∧ ∧ ∧ ∧ A ⇒ A ) (4)

Ta sẽ chứng tỏ mệnh đề (3) ở trên chính là mệnh đề đảo toàn bộ của mệnh

đề thuận (1), tức là ta chứng minh rằng (3)  (2):

(3)  (B A ) (B A ) (B A ) (B A ) ∨ 1 ∧ ∨ 2 ∧ ∧ ∨ n 1− ∧ ∨ n

 B (A ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A ) n

 B ⇒ (A 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A ) n

Ta sẽ chứng tỏ mệnh đề (4) ở trên chính là mệnh đề đảo toàn bộ của mệnh

đề thuận (1), tức là ta chứng minh rằng (4)  (2):

(4)  (B A ) (B A ) (B A ) (B A ∨ 1 ∧ ∨ 2 ∧ ∧ ∨ n 1− ∧ ∧ 1 ∧ ∧ A A ) n-1 ∨ n

 (B A ) (B A ) (B A ) ((B A ∨ 1 ∧ ∨ 2 ∧ ∧ ∨ n 1− ∧ ∨ 1 ∧ A ) A ) ∧ n-1 ∨ n

 (B (A ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A )) (B (A ∧ n 1− ∧ ∨ 1 ∧ A ) A ) ∧ n-1 ∨ n

 B ((A ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A ) ((A ∧ n 1− ∧ 1 ∧ A ) A )) ∧ n-1 ∨ n

 B (A ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A 1 ∧ A ) (A ∧ n-1 ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A )) n

 B (A ∨ 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A ) n  B ⇒ (A 1 ∧ A 2 ∧ A ∧ n 1− ∧ A ) n

Cần phải hình thành cho học sinh kĩ năng thành lập mệnh đề đảo của bài toán có mệnh đề thuận thỏa mãn một vài tính chất:

Ví dụ:

‘‘Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định không trùng tâm

điểm A, B Tìm tập hợp trung điểm I của dây cung AB.”

Hd:

trung điểm của dây cung AB

IO R

4

= − và IP AB

2

=

IO IP R + IO

4

IO IP R + = R

4 4

Mà P, O cố định nên theo quỹ tích cơ bản

tập hợp I thuộc đường tròn

A B P

+ Mệnh đề đảo: Lấy I bất kì thuộc đường tròn IP2 + IO2 = R2 Qua I dựng đường thẳng vuông góc với OI cắt đường tròn tại A, B Ta chứng minh rằng

$ o

APB = 90

IO R

4

IO R = R IO = IO =

Vậy ta suy ra ΔAPB là tam giác vuông tại P

Ví dụ:

của MN ”

2

k

PA = PB =

+ Mệnh đề đảo:

Lấy điểm I bất kì tại đoạn thẳng AB Kẻ IJ // Px cắt Py tại J Lấy điểm N 

Ví dụ:

Trong mặt phẳng cho ABC (AB < AC) Hai điểm M, N chuyển động trên hai cạnh AB, AC sao cho BM = CN Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN

P

B

N

I J

x

y F

C

Hd:

+ Mệnh đề thuận:

MN và chứng minh rằng I thuộc đoạn

thẳng AB

B

A

C

D

E

F

I

K

J x

Hd:

M ≡ B: N ≡ C, I ≡ E - điểm giữa

của BC

M ≡ A: N ≡ D  AC sao cho CD =

AB, I ≡ F - điểm giữa của AD

Dự đoán tập cần tìm là EF

C.m.r EF // Ax - Phân giác của góc

A

(Gọi J là điểm giữa của MC và chứng

minh rằng ∆AKF, ∆JIE cân và đồng

dạng)

)