Bài tập nghiên cứu khoa học Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình một ẩn quy về bậc hai

Song quỏ trỡnh giải toỏn của cỏc em lại bị mắc phải một số sai lầm, dẫn đến kết quả học toỏn khụng cao.. Là một sinh viờn đang thực tập, mong muốn phần nào giỳp cỏc em học sinh nhận ra c

Trang 1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong nhà trường THPT, phần lớn học sinh đều mong muốn mỡnh cú một kiến thức toỏn vững chắc Bởi vỡ cú thể núi Toỏn học là một trong những cụng cụ chủ yếu, nền tảng giỳp cỏc em học tốt cỏc mụn học khỏc Nú cú khả năng giỳp cỏc em phỏt triển năng lực và phẩm chất trớ tuệ như: Tư duy, tớnh chớnh xỏc, suy luận logic chặt chẽ

Xuất phỏt từ thực tế qua tiếp xỳc với cỏc em học sinh trong đợt thực tập này, bản thõn em nhận thấy tuy cỏc em tiếp thu nhanh cỏc kiến thức Toỏn học cụ thể là cỏc kiến thức về đại số Song quỏ trỡnh giải toỏn của cỏc em lại bị mắc phải một số sai lầm, dẫn đến kết quả học toỏn khụng cao

Là một sinh viờn đang thực tập, mong muốn phần nào giỳp cỏc em học sinh nhận

ra cỏc lỗi cơ bản thường gặp của mỡnh trong khi giải toỏn đại số Em mạnh dạn đi

sõu vào nghiờn cứu đề tài: “ Một số sai lầm thường gặp khi giải ph-ơng trình, bất ph-ơng trình một ẩn quy về bậc hai”

2 Mục đớch nghiờn cứu:

Nhằm giỳp học sinh nhận ra cỏc sai lầm thường gặp của mỡnh trong quỏ trỡnh giải toỏn đại số, giỳp cỏc em học tốt mụn toỏn và cú sự say mờ giải toỏn hơn nữa

3 Đối tượng, phạm vi nghiờn cứu:

+ Đối tượng nghiờn cứu: Một số bài toỏn đại số

+ Phạm vi nghiờn cứu: Cỏc bài toỏn khụng vượt quỏ chương trỡnh lớp 11

4 Nhiệm vụ nghiờn cứu:

Nờu và phõn tớch một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong khi giải toỏn đại

số Đề xuất cỏch sửa sai lầm mà học sinh mắc phải đú

5 Cỏc phương phỏp nghiờn cứu:

+ Phương phỏp quan sỏt, phỏng vấn về trỡnh độ nhận thức về kỹ năng giải toỏn của học sinh

+ Phương phỏp tổng kết kinh nghiệm, rỳt kinh nghiệm ở những lớp trước với những khú khăn, thuận lợi khi giải toỏn

Trang 2

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Toán học là một môn khoa học quan trọng nhất trong các bậc phổ thông, nó ảnh hưởng và phục vụ nhiều cho các môn học khác Vì thế việc phát triển tìm tòi ra các sai lầm của các học sinh lớp 10 trong việc giải toán đại số là cần thiết và quan trọng giúp các em có phương pháp học tốt hơn cho môn Toán nói riêng và các môn khác nói chung

II NỘI DUNG CHÍNH:

Đề tài gồm 02 phần:

A Sai lầm khi giải phương trình đại số

B Sai lầm khi giải bất phương trình đại số

Trong mỗi phần em sẽ đưa ra một sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong giải toán đại số dưới dạng các bài toán ví dụ Kèm theo đó là các lời giải đúng cho các ví dụ đó

Phân tích nội dung các phần:

A SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ:

Trong khi giải các phương trình học sinh thường hay mắc phải một số sai lầm như quy tắc biến đổi phương trình tương đương Đặt thừa, hay thiếu các điều kiện của phương trình dẫn đến sai lầm không thể giải được Bên cạnh đó còn một số sai lầm do hậu quả của việc biến đổi các biểu thức không đúng khi giải những phương trình đại số

Khi làm các phép biến đổi ta dễ vi phạm các tiêu chuẩn của các phép biến đổi tương đương Do đó khi giải phương trình ta có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc làm mất nghiệm Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa

1 DẠNG 1: ( ) 0

( )

f x

g x  hoặc ( ) ( )f x g x 0

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Giải phương trình: 22 6 0

x x

  (*) + Sai lầm thường gặp:

Trang 3

(*)  2 3

2

x





 + Nguyên nhân sai lầm:

Với x  2 thì mẫu thức 2

2x  3x  2 0 nên x  2 là nghiệm ngoại lai

+ Lời giải đúng là:

(*)

2

3 2

1 2

x x

x

  

  



   

  

 



Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x 3

Bài 2: Giải phương trình: 2

x x   x (*) + Sai lầm thường gặp:

(*)

2

2 2

3

2

x x

x

x x

x





+ Nguyên nhân sai lầm:

Với x  2 thì căn thức x 2 vô nghĩa nên x  2 là nghiệm ngoại lai

+ Lời giải đúng:

(*) 2

2

3 2

x x

x

x x

x



            









Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 2 và x 3

Kết luận:

( )

0

( )

f x

g x





 ;

 

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x

x D g x

f x g x

g x

x D f x

  

 



  



 



Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải phương trình: 3 1 24 0

x



Trang 4

(x 1) x   x 2 2x 2 Bài 4: Giải phương trình: 2

(x 2) x  4x  3 0

2 DẠNG 2: f x( )   g x( )

x  x  x (*) + Sai lầm thường gặp:

4

x





 + Nguyên nhân sai lầm:

Với: x 3 thì căn thức 3x 10 vô nghĩa

Nên: x 3 là nghiệm ngoại lai

(*)

10 3

x

  

Vậy phương trình có 1 nghiệm: x 4

Bài 2: Giải phương trình: 3x   7 4 x (*)

+ Sai lầm thường gặp:

2

x











Với 11 85

2

x 

thì 4  x 0 mà vế phải của (*) 0 nên phương trình (*)

không nhận 11 85

2

 làm nghiệm

4

2

x











 



 2.2 Kết luận:

 ( )  ( ) ( ) ( ) 

f x g x









Trang 5

2.3 Bài tập đề nghị:

x  x  x Bài 2: Giải phương trình: 2

3x  24x 22  2x 1 Bài 3: Giải phương trình: 2

2x  x 3 x  6x 3

3 Dạng 3: A B. ; A

B

(x 4) (x 5)  x 4 (*) + Sai lầm thường gặp:

(*)

2

4

6

x

 



             

 



 + Nguyên nhân sai lầm:

Phương trình nhận x  4 là nghiệm, nghĩa là cách giải trên đã làm mất đi

nghiệm x  4

4

x

 





 Bài 2: Giải phương trình: 2 3

3

x



 (*) + Sai lầm thường gặp:

(*) 2 ( 3)( 3) ( 5) 3 2 ( 3) ( 3) ( 5) 3

2

5

x x



Phương trình có nghiệm x  3 nghĩa là cách giải trên đã làm mất đi nghiệm

3

x 

Trang 6

3 0 3

x x



 





  



0

3

x

  



  





         



            



 









 



với với

Kết luận:

.

 









Nếu A, B >0 Nếu A, B 0

; Nếu A, B 0

Nếu A, B <0 Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải phương trình: x  1 4  x (x 1)(4 x)  5

(x 1)(x 2) x  3x 4 Bài 3: Giải phương trình: 2 2

2

x





4 Dạng 4: 3 f x( )  3 g x( )  3 h x( )

x  x  x (*) + Sai lầm thường gặp:

2x 3 3 x 1. x 2 2x 3 2x 3

        (***)

1 2 3 2

x x x



 



 









Phép thế biến đổi từ (**) sang (***) là phép biến đổi hệ quả khơng phải là phép biến đổi tương đương

Trang 7

     

         

1

3 2

x



 









Thử lại vào phương trình thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

3 1

2 ; x=2 ; x=

x

Bài 2: Giải phương trình: 3 3

2x  1 x  1 1 (1)

       

3 3

1

0

x







Phép thế 3 3

2x  1 x  1 1 là phép biến đổi hệ quả không phải là phép biến đổi tương đương nên xuất hiện nghiệm ngoại lai: x 0

       

3 3

1

0

x







Thử lại thấy x 1là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có một nghiệm là: x 1

+ Nhận xét: Phương trình (1) có thể giải theo cách khác như sau:

Đặt:

3 3

1





Mặt khác theo hệ phương trình ta có u v 1 ta có hệ sau:

Thử lại thấy x 1 là nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là x 1

Bài tập đề nghị:

2x  1 x  5 3x 4

Trang 8

Bài 2: Giải phương trình: 3 2 3 2 3

4x  20x 25  (x 12)  (2x 5)(x 12)

B SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Những sai lầm khi giải bất phương trình thường mắc phải đó là quy tắc biến đổi bất phương trình tương đương Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến những sai lầm thậm trí sai đến mức không giải tiếp được nữa Một số sai lầm còn do phép biến đổi biểu thức không đúng

Ta xét một số sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải trong một số ví dụ

cụ thể sau:

1 Dạng 1: ( ) 1 1

f x a

g x  b f x  g x

Bài 1: Giải bất phương trình: 2 1 1

x

x x

  

  (*)

(*)

2

    

Với x  ( 4;3) thì 2

12 0

x  x  và khi nhân cả hai vế với biểu thức này thì dấu của bất phương trình nhận được đổi ngược lại

(*)

2

3

5

x





  

 Bài 2: Giải bất phương trình: 1 1

3 4 6 (* )

(*) ( 3) 4 6 0 33

3 2

3

x







  



 



Với ( 3; )3

2

x  thì x  3 4x 6 và bất phương trình nghiệm đúng

Cách giải trên đã làm mất nghiệm

Trang 9

(*)

3

2

x









1.2 Kết luận:

0

g x  b g x  b f x  g x  f x g x 

x x

   



4

x

 



 Bài 3: Giải phương trình: 2 1 1

2 Dạng 2: f x( ) g x( ) hoặc f x( ) g x( )

Bài 1: Giải bất phương trình: 2

2x  6x   1 x 2 (1) + Sai lầm thường gặp:

2

3

1

x





(1)

2

x

 



 

  

2

3

x

 

   

x   x (*) + Sai lầm thường gặp:

(*)

2

4

3

x

  



 





+ Nguyên nhân sai lầm: ta chưa chú ý đến điều kiện để bình phương hai vế là hai vế phải không âm nên xuất hiện nghiệm x  4 là nghiệm ngoại lai

Trang 10

  2

2

4

x

 









2.2 Kết luận:

2 2

f x

g x

f x g x









 Bài tập đề nghị:

x  x x

x  x  x Bài 3: Giải bất phương trình: 2

x    x x Bài 4: Giải bất phương trình: 2x  1 2x 3

( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) 0

f x g x  f x g x 

Bài 1: Giải bất phương trình: 2 2

(2 3 1) 0 (* )

x x  x 

(*) 2

1

2

x







 



Với x 0 thì 2 2

x x  x  nên (*) thỏa mãn Vậy cách giải trên đã làm mất nghiệm của phương trình

1 0

1

2

x x

x







     





Bài 2: Giải bất phương trình: 2 4 2

(2x 1) 4x 3 (3x  8x  2) 0 (* )

3

x  x    x ( em xem lại)

Trang 11

Với 1

2

x hoặc 3

4

x 

thì (*) thỏa mãn Cách giải trên đã làm mất nghiệm của phương trình

(*)

2

2 1

1 3

2

3 4

x x

x











   













Vậy nghiệm của bất phương trình là: 1

2

x ; 3

4

x

; 2 1

3  x

Kết luận:

2

( ) 0 ; ( ) ( ) 0

g x

 Bài tập đề nghị:

(x 1) (x  7x 12)  0

(x  5x 6) (x 4)  0

4 Dạng 4: g x( ). f x( )  0 hoặc g x( ). f x( )  0

(x  3 ) 2x x  3x  2 0 + Sai lầm thường gặp:

(*)

2

0

x

x x

x

x x

 





  

 



Với x 2 thì (*) có nghiệm đúng Cách giải trên đã làm mất nghiệm

Trang 12

(*)

2

1 2

3 0

x

x x

  









  



  

 

 Bài 2: Giải bất phương trình: 2

(2x 5) 2x  5x  2 0 (*) + Sai lầm thường gặp:

(*)

2

2 1

2

5 2

x

x x

x

 





 

Với x 2 hoặc 1

2

x thì (*) có nghiệm đúng Nên cách giải trên đã làm mất nghiệm

(*)

2 2

2

2 1

2 2

2

2 1

2

x x

x

x x

 













  

 

 4.2 Kết luận:

(x 2) x  5x  6 0 Bài 2: Giải bất phương trình: 2

(x  3x 2) 2x  7 0

(3x  2 ) 18x x  5 0

Trang 13

KẾT LUẬN

Qua đề tài nghiờn cứu này, em muốn giỳp cỏc em học sinh nhận ra một số sai lầm thường gặp trong khi giải phương trỡnh, bất phương trỡnh Mà trong bộ mụn

Toỏn phương trỡnh và bất phương trỡnh là một phần rất quan trọng Vỡ vậy, đề tài: ” Một số sai lầm th-ờng gặp khi giải ph-ơng trình, bất phương trình một ẩn quy về bậc hai “ là cần thiết, cú ý nghĩa lý luận và thực tiễn sõu sắc

Để học tập tốt mụn Toỏn, bờn cạnh việc học lý thuyết Học sinh cần phải biết vận dụng để làm bài tập Trong quỏ trỡnh làm bài tập cỏc em học sinh sẽ gặp nhiều sai lầm Việc chỉnh sửa cho học sinh những sai lầm là một cụng việc rất cần thiết của người giỏo viờn Qua bài tập nhỏ này, em mong cú thể giỳp ớch được phần nào cỏc

em học sinh cú kỹ năng giải Toỏn núi riờng và hứng thỳ trong học tập bộ mụn Toỏn núi chung Từ đú cỏc em sẽ rốn luyện được sự cẩn thận, chớnh xỏc trong cụng việc

Do khả năng bản thõn và do thời gian cú hạn nờn bài tập nghiờn cứu này khú trỏnh khỏi những thiếu sút Rất mong được thầy cụ giỏo và cỏc bạn đúng gúp thờm

Trang 14

Em xin trân thành cảm ơn Thầy Đinh Cao Long - Giáo viên dạy môn Toán của

trường THPT Xuân Hòa - Phúc Yên Đã chỉ bảo, hướng dẫn em trong thời gian em

thực tập tại trường Thầy đã có những nhận xét quý báu giúp em hoàn thành bài tập nghiên cứu này!

Xuân Hòa, Ngày… tháng… năm 2011 Giáo sinh thực tập

Phan Văn Lộc

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đại số 10 ( Tác giả: Vũ Tuấn )

2 Phương pháp dạy học môn Toán tập 1, 2 ( Tác giả: Nguyễn Bá Kim )

3 Sai lầm thường gặp khi giải Toán ( Tác giả: Trần Phương )

4 Sai lầm phổ biến khi giải Toán ( Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận )

Trang 15

MỤC LỤC

Nội Dung Trang

Phần mở đầu 1

Nội dung 2

I CƠ SỞ LÝ LUẬN 2

II NỘI DUNG CHÍNH 2

A SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2

1 Dạng 1 2

2 Dạng 2 3

3 Dạng 3 4

4 Dạng 4 5

Trang 16

B SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 7

1 Dạng 1 7

2 Dạng 2 8

3 Dạng 3 9

4 Dạng 4 10

C PHẦN KẾT LUẬN 13

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	490 KB