CHƯƠNG I (HH): Phép biến hình

PBH biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho MMuuuuur r'=vđược gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr.. PBH biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’sao cho I là trung

CHƯƠNG I:

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MP TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:

 ĐN phép biến hình: xem SGK

 Một số phép biến hình thường gặp:

I/ Phép tịnh tiến:

1 ĐN: Trong mp cho vectơ vr

PBH biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho MMuuuuur r'=vđược gọi

là phép tịnh tiến theo vectơ vr

Kí hiệu: T vr ; vr

gọi là vectơ tịnh tiến

2 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép tịnh tiến theo vectơ vr=( , )a b thì ta có :

 = + ''= +

x x a

y y b

II/ Phép đối xứng tâm:

1 ĐN: Trong mp cho điểm I PBH biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành

điểm M’sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I

Kí hiệu: ĐI; I gọi là tâm đối xứng

2 Biểu thức tọa độ của phépđối xứng tâm:

Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng tâm I(x0,y0) thì ta có :

 = − ' 2' 2= −

I I

I

*ĐB: Phép đối xứng tâm O(0,0) thì  = − ''= −

III/ Phép đối xứng trục:

1 ĐN: Trong mp cho đt d PBH biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M

không thuộc d thành điểm M’sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng trục d Kí hiệu: Đd;

d gọi là trục đối xứng

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

*Phép đối xứng trục Ox: M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có :

 = − ''=

x x

*Phép đối xứng trục Oy: M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép đối xứng trục Oy, ta có :

 = ''= −

y y

M

d I

IV/ Phép quay tâm O góc α:

ĐN: Cho điểm O và góc lượng giác α PBH biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành

điểm M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác (OM OMuuuur uuuuur; ') =α ,được gọi là phép quay tâm O góc quay α Kí hiệu: Q(O, α)

V/Phép vị tự tâm I(x 0 ,y 0 ) tỉ số k (k≠0) :

1 ĐN: Cho điểm I và số thực k≠0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

'

IM =k IM

uuuur uuur

được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k Kí hiệu: V(I,k)

2 Biểu thức tọa độ của phép vị tự:

Nếu M’(x’,y’) là ảnh của M(x,y) qua phép vị tự tâm I(x0,y0) tỉ số k , ta có :

 = + − ''= + −(1(1 ))

I I

VI/ Phép dời hình:

1.ĐN: Phép dời hình là PBH bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ.

*Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.

*PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình là 1 phép dời hình.

2 Tính chất: Xem SGK

VII/ Phép đồng dạng tỉ số k:

1.ĐN: Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) nếu F biến 2 điểm bất kỳ M,N thành 2

điểm M’,N’ sao cho M’N’=kMN

*Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1; Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

*Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số k’ ta được 1 phép đồng dạng tỉ số k.k’

2.Tính chất: Xem SGK

B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN:

Dạng 1: Tìm ảnh hoặc tạo ảnh của điểm M(x,y) qua phép biến hình

*Tìm ảnh của điểm M(x M ;y M ) qua các phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục

Oy, phép vị tự :

-Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua một trong các phép biến hình trên

-Áp dụng các công thức xác định ảnh (nêu trong phần kiến thức cơ bản) đối với các phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy, phép vị tự tìm được tọa độ M’

VD: Tìm ảnh củađiểm A(-2,3) qua phép tịnh tiến theo vectơ vr=(3; 5)−

Giải:

Gọi A’(x’;y’) là ảnh của A(-2;3) qua PTT T vr, ta có :  = + = − + = ⇒

 = + = + − = −



x x a

*Tìm ảnh của 1 điểm qua phép đối xứng trục d:ax by c+ + =0

Để tìm ảnh của điểm M(xM,yM) qua phép đối xứng trục d ta thực hiện các bước sau:

- Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(xM,yM) qua phép đối xứng trục d ,viết pt đt MM’:

đt MM’ đi qua M và vuông góc d nên pt đt MM’có dạng: –b(x – xM)+a(y – yM)=0

α

M' O

M

IM'=k.IM (k<0) IM'=k.IM (k>0)

I

M

I

- Tìm tọa độ giao điểm I của d và đt MM’: tọa độ I là nghiệm hpt(I) 0

ax by c

+ + =



− − + − =

 Giải hpt(I) tìm được tọa độ I

- I là trung điểm MM’, dođó:  = −

 = −



' 2 ' 2

VD: Tìm ảnh củađiểm M(-2,3) qua phép đối xứng trục d: 5x+2y+10=0

Giải:

-Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M(-2,3) qua phép đối xứng trục d: x+2y-10=0

⇒ đt MM’ đi qua M và vuông góc d nên pt đt MM’có dạng: –2(x +2)+(y – 3)=0⇔ -2x +y -7 = 0

-Gọi I =MM’∩d⇒tọa độ I là nghiệm hpt: 2 10 0

x y

x y



− + − =

24 5 13 5

x y

 = −





 = −



⇒ 24; 13

I− − 

-Ta lại có I là trung điểm đoạn thẳng MM’ ⇒





Dạng 2: *Tìm ảnh của đường thẳng d: Ax+By+C=0qua phép tịnh tiến T vr với v r (a,b):

(Tương tự cho các phép biến hình:đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy,vị tự V( , )I k )

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x ;y) qua phép tịnh tiến T vr với vr(a,b), ta có  = + ⇒  = −

 = +  = −

Lấy M(x,y)∈d ⇔Ax By C+ + =0

⇔A x a( '− +) B y b( '− + =) C 0

⇔Ax By Aa Bb C'+ '− − + =0

⇔M'∈d Ax By Aa Bb C' : + − − + =0

Vậy ảnh của đt d qua phép tịnh tiến T vr là đt ' :d Ax By Aa Bb C+ − − + =0

VD: Cho đt d: 2x-3y +5=0 và vectơ vr= −( 5;1) Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ vr Giải:

Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến T vr , ta có:  = −

 = +



y y

= +



⇒  = −



' 5 ' 1

x x

y y

Lấy M(x,y)∈d ⇔2x− + =3y 5 0

⇔2( ' 5) 3( ' 1) 5 0x + − y − + =

⇔2 ' 3 ' 18 0x − y + =

⇔M x y'( '; ')∈d' : 2x− + =3y 18 0 Vậy ảnh của đt d qua ptt T vr là đt d’:2x− + =3y 18 0

*Tìm tạo ảnh của đường thẳng d’: ax+by+c=0qua phép tịnh tiến T vr với v r (a,b):

(Tương tự cho các phép biến hình:đối xứng tâm, đối xứng trục Ox, trục Oy,vị tự V( , )I k )

Gọi d là tạo ảnh của d’ qua phép tịnh tiến T vr

Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến T vr với vr(a,b), ta có:  = +

 = +



' '

y y b

Lấy M’(x’,y’)∈d’⇔Ax By C'+ '+ =0

⇔A x a( + +) B y b( + + =) C 0

⇔Ax By Aa Bb C+ + + + =0

⇔ ∈M d Ax By Aa Bb C: + + + + =0

VD: Cho biết đt d’: 4x - y +5=0 là ảnh của đt d qua phép đối xứng trục Ox.Tìm pt đt d

Giải:

Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có:  =

 = −



' '

Lấy M’(x’,y’)∈d’⇔4 'x y− + =' 5 0

⇔4x− − + =( y) 5 0 ⇔4x y+ + =5 0 ⇔M x y( ; )∈d: 4x y+ + =5 0 Vậy pt của đt d là :4x y+ + =5 0

*Tìm ảnh của đường thẳng d: ax+by+c=0qua phép đối xứng trục ∆:

Lấy 2 điểm M,N thuộc d, tìm ảnh của 2 điểm M,N qua phép đối xứng trục ∆, giả sử là M’ và N’ Suy ra ảnh của đt d qua phép đ/x trục ∆ là đt d’ đi qua 2 điểm M’,N’ Viết pt đt d’( đi qua M và nhận MNuuuurlàm vectơ chỉ phương)

Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-a)2+(y-b)2=R2 qua phép dời hình f:

(Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục)

Phương pháp: -xác định tâm của (C) là I(a,b), bán kính của (C) là R.

-Tìm ảnh I’(a’,b’) của I qua phép dời hình f -Ảnh của (C)qua phép f dời hình f là đ/tròn (C’) tâm I’(a’,b’) bán kính R’=R có pt là:

(x-a’)2+(y-b’)2=R2

Tương tự cho các phép vị tự V( , )I k , nhưng chú ý bán kính của đ/tròn ảnh (C’) là R’= |k|.R

Chú ý: -Đường tròn (C): x2+y2–2ax–2by +c=0 có tâm I(a,b) bán kính R= a b c2+ −2

-Đường tròn (C) có tâm I(a,b), bán kính R có pt: (x-a)2 + (y-b)2 = R2

VD:Tìm ảnh của đ/tròn (C): x2 + y2 – 4x +2y – 4 = 0 qua phép vị tự tâm I(1;5) tỉ số k=2

Giải:

-Từ pt (C) suy ra (C) có tâm J(2;-1), bán kính R=3

- Gọi J’(x’;y’) là ảnh của J qua pvt V( , )I k ⇒ = + − = + − =

 = + − = − + − = −



I I

-Vậy ảnh của đ/tròn (C) là đ/tròn (C’)có tâm J’(3;-7) bán kính R’=2R=6, pt (C’)là: (x-3)2+(y+7)2=36

C.BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hai điểm A(-3,1), B(4,5) ,đường thẳng d: 4x-7y+12=0 và đường tròn (C): (x-3)2+(y+10)2=5

a/Xác định ảnh của A,B,d và (C) qua phép tịnh tiến T vr với Vur= −( 9,8)

b/d và (C) qua phép tịnh tiến TuuurAB

Bài 2: Cho hai điểm M(-1,-2), N(3,16) ,đường thẳng d: x +12y+10=0 và đường tròn (C): x2+y2+4x-5y-5=0 a/ Xác định ảnh của N,d và (C) qua phép đối xứng tâm M

b/ Xác định ảnh của M, N,d và (C) qua phép đối xứng trục Ox,Oy

c/ Xác định ảnh của M, Nvà (C) qua phép đối xứng trục d.Suy ra ảnh của đường thẳng MN qua phép đối xứng trục d

d/ Xác định ảnh của N,d và (C) qua phép vị tự tâm M, tỉ số k=2

Bài 3: Cho hai điểm P(-1,-2), Q(3,16) ,đường thẳng d: -x +y-20=0 và đường tròn (C): x2 + y2- 4x -5 = 0

a/ Xác định ảnh của P,d và (C) qua phép đối xứng tâm O

b/ Xác định ảnh của Q,d và (C) qua phép đối xứng trục Ox,Oy

c/ Xác định ảnh của (C) qua phép đối xứng trục∆:7x+9y+25=0

d/ Xác định ảnh của d và (C) qua phép tịnh tiến T PQuuur

e/ Xác định ảnh của P,d và (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k= -5

Bài 4: Cho hai điểm C(-1,-2), D(3,-16) ,đường thẳng d1: 3x -9y+2=0 và đường tròn (C’): x2+y2-10y-5=0

a/ Biết C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm D Tìm tọa độ điểm A

b/ Biết điểm D là ảnh của B qua phép phép đối xứng trục Ox, tìm tọa độ B

c/ Biết đt d1 là ảnh của d qua phép đối xứng trụcOy Viết pt đường thẳng d

d/ Biết d1 là ảnh của d2 qua phép tịnh tiến T CDuuur.Viết pt đường thẳng d2

e/ Biết (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm D, tỉ số k= -1.Viết pt đường tròn (C)

Bài 5: Cho ba điểm A(12,-2), B(-3,6), C(3,24) đường thẳng d’: -6x +2y-1=0 và đường tròn (O’): x2+y2=36 a/ Biết A là ảnh của D qua phép đối xứng tâm B Tìm tọa độ điểm D

b/ Biết điểm E là ảnh của B qua phép tịnh tiến TuuurAC, tìm tọa độ E

c/ Biết đt d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trụcOx Viết pt đường thẳng d

d/ Biết đt d’ là ảnh của d0 qua phép đối xứng trụcOy.Viết pt đường thẳng d0

e/ Biết (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm A, tỉ số k= 10.Viết pt đường tròn (O)

Bài 6: Cho hai điểm M(10,-2), N(-3,-4) ,đường thẳng d1: 3x +9y-22=0 và

đường tròn (C): x2+y2-16x+20y+16 =0

a/ Xác định ảnh của M,N,d1 và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm I(1,-7) tỉ số k= -6

b/ Xác định ảnh của M,d1 và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm N tỉ số k= 9

b/ Xác định ảnh của M,d1 và (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

O tỉ số k= -7 và phép tịnh tiến theo vectơ MNuuuur

d/ Xác định ảnh của d1 và (C) qua phép đối xứng trục∆:8x-6y-5=0