Bài tập Vật lí chất rắn-HNUE

giúp các bn sinh viên đễ dàng tiếp cận môn vật lý chất rắn hơn, trường ĐHSP Hà Nội đã viết giáo trình vật lý chất rắn với mong muốn học sinh sẽ dễ nắm bắt hơn

2

BÀI TẬP VẬT LÍ CHẤT RẮN

(TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ)

Hà Nội, 2018

4

Bài 1.2

Hãy vẽ ô sơ cấp, xác định số phối vị trong mạng tinh thể lập phương đơn

giản, lập phương tâm khối, lập phương tâm mặt và lục giác

Bài 1.4

Gallium Arsenide (GaAs) có cấu trúc tương tự kim cương (hình 1.2) Biết Ga biểu diễn bằng hình tròn đặc, còn As được biểu diễn bởi hình tròn rỗng

Bài 1.9

Trong mạng lập phương tâm mặt FCC, nếu chọn các vector cơ sở dọc theo các cạnh của hình lập phương thì các mặt bên có chỉ số Miller là (100) và (001) Hãy tìm chỉ số Miller của các mặt phẳng trên nếu chọn bộ 3 vector cơ sở là các vector kéo từ gốc O(0,0,0) tới tâm của 3 mặt lân cận của hình lập phương (bộ 3

vector này xác định ô sơ cấp của mạng tinh thể FCC)

Bài 1.10

Xác định chỉ số Miller của các đường thẳng và mặt phẳng mạng được biểu diễn trên hình 1.4

Urani có cấu trúc trực thoi với các hằng số mạng a, b, c lần lượt là: 0,286;

0,587 và 0,495 nm Cho biết khối lượng riêng, khối lượng nguyên tử và bán kính nguyên tử Urani lần lượt là: 19,05 g/cm3, 238,03 và 0,1385 nm Hãy tính hệ số lấp đầy của tinh thể Urani

Mạng đảo

Bài 1.17

Hãy xác định ô sơ cấp của mạng đảo, vùng Brillouin thứ nhất và thứ hai của mạng vuông hai chiều

Bài 1.18

Mạng không gian trực thoi được xây dựng từ ba vector cơ sở a 1 =5i, a 2 =2j,

với nhau Hãy tính thể tích của vùng Brillouin thứ nhất

Bài 1.24

Cho rằng năng lượng liên kết giữa hai hạt phụ thuộc vào khoảng cách tâm giữa hai hạt theo hàm thế:

r r r

b) Trong trường hợp liên kết ổn định, khi đó năng lượng hút gấp 8 lần năng lượng đẩy

78

Bài 1.26

Tính hằng số Madelung của mạng một chiều (Hình 1.6), cấu tạo từ các ion dương và âm lần lượt

Hình 1.6: Mạng tinh thể NaCl dạng 1D

Bài 1.27

Tính hằng số Madelung của mạng tinh thể ion NaCl hai chiều như hình 1.7

So sánh các kết quả thu được với hằng số Madelung của mạng tinh thể vô tận (𝛼 = 1,6155)

Hình 1.7: Mạng tinh thể NaCl dạng 2D

Bài 2.4

Khảo sát một sóng dọc u s = ucos(ωt-sKa) lan truyền trong một mạng

tinh thể đơn nguyên tử 1 chiều, khối lượng của các nguyên tử là M, khoảng cách giữa chúng là a, hằng số lực tương tác giữa các nguyên tử lân cận là C

Chứng minh rằng năng lượng toàn phần của sóng là

rằng nhiệt dung riêng của graphite tỉ lệ thuận với T 2 Hãy dùng lí thuyết Debye để giải thích kết quả trên

Cho biết nhiệt độ Debye của vàng là θ = 170 K Giả sử lực tác dụng lên nguyên tử thứ m trong tinh thể một chiều được xác định bởi công thức sau:

Bài 3.2

Theo mô hình electron tự do trong kim loại, biết mật độ electron n, hãy

tính các đại lượng liên quan đến mặt Fermi: vectơ sóng trên mặt Fermi k F, năng lượng Fermi EF, vận tốc trên mặt Fermi vF và nhiệt độ Fermi T F Xét trường hợp của các kim loại sau:

Bài 3.6

Điện trở suất của đồng là 6.107 Ω-1 m-1 Giả thiết mỗi nguyên tử đồng trong tinh thể đóng góp một electron dẫn, hãy tính thời gian hồi phục τ của electron (còn gọi là thời gian trung bình giữa hai va chạm, trong lí thuyết cổ điển)

Bài 3.7

Cho biết số Avogadro: N=6,02.1026 / kmol ; khối lượng riêng của đồng: ρ=8940 kg/m3; nguyên tử lượng của đồng: M=63,5 Hãy xác định hằng số

Hall của đồng

Bài 3.8

Điện trở suất của dây dẫn bằng bạc ở nhiệt độ phòng là ρ =1,54.10-8

Ωm Trong một cm3 bạc có 5,8.1022 electron tự do Tính độ linh động và thời gian hồi phục của electron Tính vận tốc chuyển động có hướng của electron trong dây bạc, biết điện trường trong dây là 1 V/cm

Bài 3.9

Tỉ số điện dẫn suất của bạc và đồng là

76 5

12 6 Cu

Ag

,

,

= σ

2 2

r E r r V m

S ≠ 0 và 𝑉R

S ≠ 0

Bài 4.4

Xét bài toán gần đúng electron liên kết chặt trong tinh thể một chiều với hằng số mạng a Trong trường hợp này hãy giải phương trình sau:

để tính năng lượng của electron trong tinh thể Từ đó vẽ đường cong tán sắc năng lượng Tính gần đúng năng lượng của electron tại lân cận tâm vùng Brillouin, từ đó viết phương trình khối lượng hiệu dụng của mạng tinh thể một chiều liên kết chặt

với c 1 , c 2 là các hệ số và hàm sóng của hai nguyên tử tạo thành gốc được định nghĩa như sau :

Bài 4.7

Chứng minh rằng trong trường hợp một chiều,

Bài 4.8

Xác định tenxơ nghịch đảo khối lượng hiệu dụng cho electron ở gần đáy dải dẫn, nếu sự phụ thuộc của dải dẫn ở đó có dạng:

)

(k

E !

2 2 2

) (k ak x bk y ck z

E ! = + +

a) Điện tích và khối lượng hiệu dụng của lỗ trống

b) Vectơ sóng, chuẩn xung lượng, vận tốc của lỗ trống

c) Năng lượng của lỗ trống

d) Mật độ dòng lỗ trống

Bài 5.2

Mật độ axepto trong bán dẫn là 1018 cm-3 Mức năng lượng của axepto cao hơn đỉnh dải hoá trị 0,5 eV Hãy tính điện dẫn suất của vật liệu ở nhiệt

độ phòng (300 K) và ở nhiệt độ oxy lỏng (90 K) Biết độ linh động của lỗ trống µp= 100 cm2/Vs Bỏ qua sự dẫn điện riêng của bán dẫn

Bài 5.3

Mẫu Ge, có E g = 0,75 eV, được pha Sb hóa trị 5 với nồng độ 1023 m-3 Cho rằng ở nhiệt độ phòng, mọi nguyên tử Sb đều bị ion hoá Hãy xác định mật

độ n e và n p Coi như mật độ electron chỉ được xác định bởi các tâm dono Hãy tính điện trở suất của mẫu bán dẫn ở nhiệt độ phòng, nếu độ linh động µe = 0,38 m2/Vs và µp= 0,18 m2/Vs

Bài 5.4

Trong mẫu bán dẫn Ge, electron có độ linh động µe= 0,38 m2/Vs, lỗ trống có độ linh động µp= 0,16 m2/Vs Biết rằng trong bán dẫn này không quan sát thấy hiệu ứng Hall, hãy xác định tỉ phần dòng điện gây nên bởi lỗ trống

Bài 5.5

Một mẫu bán dẫn Ge loại n có độ dày 1 mm và có tiết diện 1 mm2 Mật

độ electron dẫn là n = 1020 m-3 Mẫu bán dẫn được đặt trong từ trường có

Bài 6.2

Nhôm (Al) là một vật liệu thuận từ Hãy tính độ cảm từ của nhôm nếu

biết: nguyên tử khối A = 27; khối lượng riêng d = 2700 kg/m3 Giả thiết mỗi electron có mômen từ là 1 magneton Bohr: 1 µB= 9,27.10 J /T−24 và mỗi nguyên tử Nhôm có 3 electron đóng góp vào tính thuận từ của vật liệu

Bài 8.4

Muối ăn (NaCl) hấp thụ rất mạnh ánh sáng ở vùng hồng ngoại Cho biết hàm điện môi phức của muối ăn đối với ánh sáng có bước sóng 60µm là: 𝜀 =16,8 + 𝑖 91,4 Tính hệ số hấp thụ và phản xạ của muối ăn với ánh sáng có bước sóng này

Bài 8.5

Hàm điện môi phức của bán dẫn CdTe là 𝜀 = 8,92 + 𝑖 2,29 ở bước sóng

500 nm Tính hệ số hấp thụ và hệ số phản xạ của bán dẫn này ở bước sóng này

Bài 8.6

Detector được sử dụng trong cáp quang có cửa sổ tín hiệu ở 850 nm Detector này thường được chế tạo bằng Si Cho biết hệ số hấp thụ của Si là 1,3 x 105 m-1 ở bước sóng 850 nm Người ta phủ trên bề mặt detector một

30

lớp mỏng chống phản xạ, để cho hệ số phản xạ trên thực tế có thể coi như bằng không Hãy tính chiều dày của lớp bán dẫn Si sao cho detector có khả năng hấp thụ 90% tín hiệu

Bài 8.7

Nước biển có chiết suất là 1,33 Cho biết ở độ sâu 10 m dưới mặt nước biển, ánh sáng đỏ (λ =700 nm), từ trên mặt nước đi vào, bị nước biển hấp thụ 99,8% Hãy xác định hằng số điện môi phức của nước biển đối với ánh sáng đỏ

Bài 8.8

Trong laser rắn YAG: Nd, môi trường hoạt tính hấp thụ photon có bước sóng 850 nm và phát ra photon ở bước sóng 1064 nm Hãy tính:

(i) Năng lượng nhiệt hao phí trong mỗi quá trình bức xạ

(ii) Giả sử tổng công suất hấp thụ là 10 W, hãy tính công suất phát xạ ở

bước sóng 1064 nm, nếu hiệu suất phát xạ là η r = 50% (η r = số nguyên tử phát xạ/số nguyên tử hấp thụ)

Bài 8.9

Chiết suất của một loại thuỷ tinh, trong suốt trong dải ánh sáng khả

kiến, là n= 1,51 Hãy xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của một bản mặt song song, có độ dày d, làm từ thuỷ tinh này

Bài 8.10

GaN và InN là các bán dẫn có dải cấm thẳng với các độ rộng dải cấm lần lượt là 3,4 eV và 1,9 eV Một điot phát quang, làm từ bán dẫn hợp chất GaxIn1-xN, phát ra ánh sáng có bước sóng 500 nm Hãy xác định thành phần

31

Hãy chứng tỏ rằng trong trường hợp này, 𝜀7 𝜔 < 0 và nêu ý nghĩa của điều này

Hãy vẽ phác đồ thị biến thiên của 𝜀H 𝜔 𝑣à 𝜀7(𝜔) theo ω

300 K, bằng cách dùng mô hình giếng có thành cao vô hạn Khối lượng hiệu dụng được nêu trong Bảng 1

Với k= 2 => cosφ= -1/2 => φ= 2π/3 ó trục quay C3

Các yếu tố đối xứng khả dĩ

Lưu ý trong mạng hai chiều thì phép đối xứng tâm tương ứng với phép quay C2 Trong mang trên cả hai mạng đều có trục C2, C4; mạng thứ hai có thêm 4 mặt phản xạ Mạng thứ nhất không có mặt phản xạ do “gốc” của mạng này không có yếu tố đối xứng phản xạ

Các chỉ số Miller

Bài 1.7

Giả sử mặt phẳng mạng cắt các trục toạ độ xyzu tại các điểm có toạ độ là: (n1a1, 0, 0, 0); (0, n2a2, 0, 0); (0, 0, n3 a3, 0); (0, 0, 0, n4a4) Trong đó n1, n2, n3, n4 là các số nguyên Trong hệ lục giác các vectơ có cùng độ lớn: a1 = a2 = a4 =

a

SABC = 1/2 AB.AC sin 120o = 1/2 AB.AC sin 60o SABD = 1/2 AB.AD sin 60o

1:m

Chọn các vectơ không song song thuộc mặt phẳng (h k l) là

2 2 1

a!.(m1a!1 m2a!2

− ) = n1a!1 n2a!2 n3a!3

++ (m1a!1 m2a!2

Trong mạng lập phương tâm mặt FCC, nếu chọn các vector cơ sở dọc theo các cạnh của hình lập phương thì các mặt bên có chỉ số Miller là (100) và (001) Hãy tìm chỉ số Miller của các mặt phẳng trên nếu chọn bộ 3 vector cơ

sở là các vector kéo từ gốc O(0,0,0) tới tâm của 3 mặt lân cận của hình lập

phương (bộ 3 vector này xác định ô sơ cấp của mạng tinh thể FCC)

Bài 1.10

Chỉ số Miller của các đường thẳng: A[-1 1 0], B[1 2 1], C[0 1 2], D[1 -2 1]; và Mặt phẳng A(-1 1 0), B(2 1 1)

Bài 1.12

Sodium (Na) chuyển từ cấu trúc BCC sang HCP tại nhiệt độ 23K Giả sử rằng

khối lượng riêng của Sodium là không đổi và tỉ số c/a là lí tưởng Hãy tính hằng số mạng a của cấu trúc lục giác biết rằng hằng số mạng a’ trong cấu

trúc lập phương tâm khối của Sodium là 𝑎′ = 4.23Å

m m

V V

ρ = = Thể tích của một ô cơ sở là v = a3 = (2,87.10-10)3 = 23,64.10-30 m3

Số ô sơ cấp trong 1 m3 là N = 1/v = 0,042.1030 ô

Số nguyên tử Fe có trong 1 m3 là: 0,084.1030 nguyên tử

Số nguyên tử có trong một ô sơ cấp là: n = = 2 nguyên tử Vậy sắt có cấu trúc lập phương tâm khối

084,0

M M

qa M

qa M

qa M

dq M q

ω

α α ω

α ω

α ω

α ω

+ +

2 2

q

M q

Nhận xét: trong trường hợp mạng một chiều có cùng một loại nguyên tử trong một ô cơ sở thì không tồn tại một vùng tần số bị cấm giữa hai nhánh của phổ dao động So sánh với kết quả của bài toán dao động mạng một chiều có hai loại nguyên tử ta thấy rằng nếu hai nguyên tử giống nhau sẽ xảy

ra suy biến tại biên vùng Brillouin So sánh với bài toán dao động mạng một chiều một loại nguyên tử ta nhận thấy rằng nếu mở rộng ô mạng cơ sở hay thu nhỏ vùng Brillouin thứ nhất cũng sẽ dẫn tới sự suy biến trên

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4

q

47

Thay (2) vào (1) và nhóm các số hạng có cùng hệ số ta có hệ phương trình sau

M

c c c c k

=> e-i2qa = ei2qa = -1

Chuyển động của các nguyên tử tại tâm và biên vùng Briloanh ứng với

1

p mkT

3

15

16 15

2 3

2 3

15

16 ln

15

16 ln

2 3

15 16

Vậy khi T tiến đến 0 K thì nhiệt dung

54

Năng lượng dao động của mạng tinh thể trong trường hợp 3 chiều được tính bằng tích phân ba lớp còn trong trường hợp một chiều được tính như sau:

π

− ω

ω

−

ωπ

=

−

ωπ

=

−

ωπ

=

max

B B

Ldq1e

22

Ldq1e

max 2

2 0

1

B

B

k T B V

k T

e

k T Na

u

e

ω ω

ω

ωω

ωπ

M (tức là bằng giá trị tần số dao động cực đại trong mạng tinh thể tính cho bài toán dao động mạng một chiều một loại nguyên tử):

56

2 2 2

αω

θ

αθ

θα

1 ( )

1

E kT

Bài 3.3

Năng lượng của khí điện tử tự do được xác định như sau:

( ) ( )

0 K: ( ) 1( )

F

F

E o o

E o o

E Z E E f E dE Khi T f E

3 ( )

59

3/ 2 3/ 2

3

Tức là tại 0 K khi các điện tử nằm trong mặt Fermi và có năng lượng từ 0 đến EF thì năng lượng trung bình tính cho một điện tử bằng 3/5 năng lượng cực đại (năng lượng của điện tử tại mặt Fermi)

Bài 3.4

Hàm mật độ trạng thái Z(E) trong trường hợp tinh thể một chiều được tính theo cách sau:

60

( ) ( )

2 2

1

2 1

2 1

1 2 2 1

2( )

m E m

Z E

E m

Z E

ππ

=

Nhận xét: Mật độ trạng thái electron trong trường hợp hai chiều không phụ thuộc vào năng lượng

Bài 3.5

Năng lượng của khí điện tử tự do trong trường hợp một chiều và hai chiều được tính tương tự trường hợp ba chiều:

( ) ( )

0 K: ( ) 1 ( ) .

F

F

E o o

E o o

E Z E E f E dE Khi T f E

2

F

k k n

1/ 2 1/ 2

1

2 ( ) 1

E

o F

n

E n

2

2 2

2.

2 2

2

F F

F

k k n

n m E

k E

m

π

ππ

1 2

F

F

E

F o E

ρ

−

ρ

2 0.39.10

m ne

τ

µ = − Vận tôc của điện tử trong điện trường E là:

Suy ra: ψk( )r =c k e( ) ikr =Ae ikr: là hàm sóng phẳng

0 ( )

0

2 2 0

2

2 0

2 2

0

2 0

4

a k

a

m

2 2 2

4 2

nếu a = b = c thì khối lượng hiệu dụng theo các phương của tinh thể là tương đương nhau

Khối lượng hiệu dụng liên quan đến dạng mặt đẳng năng của tính thể Tensor khối lượng hiệu dụng thể hiện khả năng chuyển động dễ hay khó theo các phương khác nhau Theo phương này khối lượng hiệu dụng có thể dương nhưng theo phương khác thì lại có thể có giá trị âm

Bài 4.9

Các thành phần của ten xơ khối lượng hiệu dụng được xác định bằng cách lấy nghịch đảo của ma trận đã cho Các thành phần khác không của ten

67

Năng lượng được tính từ đáy vùng dẫn E0=0 Thành phần phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất bằng không vì năng lượng đạt cực trị tại đáy vùng dẫn Thành phần phụ thộc vào đạo hàm bậc hai thì được xác định thông qua ten

xơ nghịch đảo của khối lượng hiệu dụng

𝐸 = 1

2ћ7(𝛼TT𝑘T7+ 𝛼UU𝑘U7 + 𝛼VV𝑘VT7 + 2𝛼UV𝑘U𝑘V) Các mặt đẳng năng có dạng ellipsoid

2 2

10

2 *

2.10

5.10 2.10

10 1,6.10 0,03.5.10 4.8.10

µµ

3

(2 )

I

e p

R ne

ζ = − + Thay số vào ta tính được mức Fermi trong bán dẫn InSb ở 27oC là: -1,19 eV

số electron có trong 1 ô sơ cấp có đóng góp vào từ độ, ở đây N=2 vì 1 ô sơ cấp có 2 nguyên tử, mỗi nguyên tử có 1 điện tử, p là số manhêton Bohr của 1

µ

= , trong đó N=2 (mạng lập phương tâm khối), p=7,95 Do đó, thay số, ta có:

BS = µ0MS = 4π.10-7.3,15.106 = 6,96T