giáo trình Vật Lý Chất Rắn Nguyễn Thế Khôi

GS tiến sĩ Nguyễn Thế Khôi là giảng viên nhiều năm tại bô môn Vật Lý chất rắn của khoa vật lý trường DHSP Hà Nội. Thầy nhiều năm là trưởng đoàn kỳ thi Olympic Vật Lý Quốc Tế cấp THPT. giáo trình VLCR được thầy viết năm 1990 và xuất bản năm 1992 gồm các chương - mạng tinh thể. - dao động vật rắn. - khí electroon - bán dẫn - điện môi. - siêu dẫn

n g u y ễ n t h ế k h ô i — NGUYỄN HỪU MỈNH

Vát Lỉ

c h ổ t t ầ n

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1992

NGUYỄN THẾ KHÔI - NGUYấN HÚU MÌNH

NCiUYUN HỮU MINII

Vệt Lí chât rắn/NGƯYẼN TIỈ!^ KHỎI NGUYỄN Hữu MÌNH — H GIÁO DỤC,

1992 — 336 t r ; 20,5 cm (sách ỉ)ại học Sư phạm)

S3l (075)

LCX? NÓI

TĩX>ng ctiôc céch mạ:iS khoa học cong nỊTÌiè hií)n nay ngành vật lí chất rắn đóng mệ)t '''«'21 tm đẠc biệt q^iian trọng Vệt ìi ch^ĩ ràtì đa ĩạo Tĩi nhừng vật liệu cho các Iigãnh kì thuật mủi nhọn uhư đ»>-rs tư dư hi?.n.h 'või trụ, năng lượĩ\g Dgxiyên tứ v.v

T^Dng nhừtvg nồm gàn đày xuát hàng ioạt cong trinh vè sièii •'^ẩn nKitt, độ cao

iảm cho vị trí ng^^nh vật H chiit rắn càng thếĩTi nói bật.

Vàt lí chất ráii là r;»òt khoa học; h^'t sức ix«ng iớn bao nhíèu bệ ir>òn như :

vật ỉv bân dẫn điện, vật ií kim ìoại và ĩíỢp kim vât lí các chất điên ĩr.ới, vật lí vè

các c^iất sất đièn và sát từ V v Mổi bò môn đèu có nnũYỉp ìí hấp đản và có nbiYhg dụng hết sức phong phí:

C u ố n s á c h víit lí c h ấ t r á n n à y c iìi t r i n h \>i\y n h ử h g CẲÌI t n i c v:ỉ n h ử n g t í n h c h ấ t

cơ biiĩi chung nhât của cììắt rár như cấu truc tinh thè của vât rắn, dao động ciia

nụ»ng tinh thè, tữih chất rihiệi, tinh < hất đièn, tinh chất từ và tmb chất siêu dÃn Sách bay chiitmg ; nàm f hưfừ\p ơảu do PTS Ngviyển Thế Khỏi bièn soạn và hai chưi:íĩig cuối do GS, PTS N^v4n Hifu Minh trìnii bày.

Ti^ng chương "'rinh chất tư cua vặt rốn" íchưtmg B) và chươiìg "Siêu dẩn" (chương?)

đưỢc trình bày vởi rihửng miVc đồ khác nhai! và cỏ nhửng pKân đè cao Sình viên có thê bõ qua mục trf'*ng chương 6 mÀ chỉ nắm c«^c công thức xác định mô men ttí,

bỏ qtia các mục §4, ^5 trong chương 7.

Nl^ửng sinh viên gỉoi, học vièn í»au đại học, CBGD cikt oãc tniừng cao đâng và

Đ iỉSP càn đọc nhửng ir>ục đả bo qua nói trẽn đè Kiểu sồu vè nội dung cuốn sách

Chúng tôi coi rằng tn ftc khi đọv Síkh nàv sinh viên đả được học vật li thống kè và

cơ học ỉượng tứ theo chưrmg trình vật H ỉí thuyết của Bộ Giáo Dục và đào tạo cho các trường DHSP Nhửnc pỉìàn I>àng cao trong chưttng 6 và chương 7 có lièn quan đến học lượng tử nằm ngoài chưftng trình vật ỉí JỈÍ thuyết ctia Bò đả được trinh

b à y t r o n g s á c h n à v m ộ t c á c h n g ắ n và f ù v a u

Cuốn sách chu vếu cho sinh viên khoa vàt lí các trương ĐHSP nhưhg cũng

có thè làm tài liệu tham khao chíĩ sinh viế>n các tníờng Đại học khác như ĐHTH, ĐHBK có học vằt lí chất rán Vì kinh nghiệm còn ít, đí^u ki^n làm việc và thời gian còr\ hạn chế nèn chắc chán sách này còn nhỉêu thiếu sót Chúng tôi mong bạn đọc góp ý phê bình đè cuốn sách ngàv một hoàn thiện hưTi.

Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS, tiến sl NgU3ế n Châu chu nhiệm khoa Vàt li 0'niờng ĐHTH Hà Nôi đ ả g ó p n h iè u ý k iế n c h o c u ố n s á c h này v à SIỒI

chỡ& những điểm chifã chính xác ờ các chương I đến V trong sách; cám ơft GS pTS

Nguyền Xuân Chánh ’/iện trường Viên Vật lí kỉ thuât đã góp nhỉêu ý kiến cho sách

và cảm ơn đòng chí Lê Hùng đà bièn tâp rất chu đáo và góp nhiêu ý kiến làm cho cuốn sách điíỢc tốt hơn.

TẬP THỂ TÁC GIẢ

CHƯƠNŨ 1

§1 CÁC LOẠI LIKN KỄT TRONG VẬI KẮN

ở các vật rắri kết tinh, các nguyên tử hoặc phàn từ xếp đặt một cách có trậ t tự, tuân hoàn trong không eian Các vật rắn có tính chất khác nhau, chinh là vì trong mỗi loai, sự phân bố của êlectrôn

và hạt nhân của các nguyên tử có những đặc điểm riêng Do đổ để khảo sát tinh thể vật rắn, ta phải nghiên CIÍU một hè số rất lớn nguyèn tử và êlectròn Chảng hạn, vơi tinh thể chi một loại nguyên tử, thì với N nguyên tử, ta phải xét một hê N hạt nhân và

NZ êlectrôn, trong đó z là số thứ tự của nguyên tó trong bảng tuần hoàn Mendêlêép Việc xét hệ bao ^)m N bạt nhân và NZ êlectrôn ỉà rất phức tạp và không cần thiết, vì ràng các êỉectrôn ỉấp đầy ỏ những lớp sâu (chảng hạn các lớp K, chúng liên kết chặt chẽ với các hạt nhân của nguyên tử và tạo thành ỉõi nguyên tử Trong tinh thể,

sự phân bố của những ềle<;tròn này không khác mấy so vỏị ở các

nguyên tử tự do Chỉ những êỉectrỗn hóa tri là những êlectrồn ỏ lớp

ngoài, mới bị phân bố khác nhỉèu so với ỏ các nguyèn tử cô lập Những êlectrôn này thường là êlectrôn s,p và d Như vậy, ta có thể coi như mạng tinh thể được tạo thành từ các lõi nguyên tử mang điện dương, nằm ô các nút mạng các êlectrôn hóa trị, mằ sự phân

bố của chúng phụ thuộc vào ỉiên kết tĩX)ng tinh thể Bài toán bây giờ đưỢc rú t vê xét riìột hê N Ịỏi ngiiyên tử và n.N électrôn hoá trị, trong đó n là hóa trị của nga vè n tố tạo thành tinh thể

Trong mục này, ta sê tim hiểu nguyên nhân giữ cho các lỗi ngituyèn

tử và các êlectrôn hóa trị năm cân bằng tixmg tinh thể, đó là các

liên kết trong tinh thể Tính chất của một vật rắn phụ thuộc rấí

nhĩêu vào bản chất của liên kết

Có thể nói ngay răng liên kết trong tinh thể hầu jmhư hoàn toàn được bảo đảm bởi lực tương tác tĩnh điện giữa các êlectrôn mang điện âm và các hạt nhân nguyèn tử mang điện dương Trong tửng trường hợp, lực này được thể hiện dưới các dạng khác nhau, chẳiìg hạn lực tươrig tác trao đổi, lực Vỉựì đe Vanxơ, liên kết đông hóa trị, liên kết ion, liên kết kim ỉoại V V Căn cứ vào các dạng iiên kết,

người ta ohân loại vật rắn thành các loại : tinh thể ion, tinh fhổ

đông hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể C5Ó liên kết hiđrô

ỉ Tinh thể ion

a) Tinh thể ion được tạo thành bởí các ion dưdng và âm năm xen

kẽ với nhau Bản chất của lièn kết ion là lực tưcíng tác tĩnh điện

giữa các ion mang điện trái dấu.

Tinh thể muối của các kim loại kiêm hũặc kíèm thổ vói halogien

là tinh thể ion, chẳng hạn tinh thổ muối ăn íNaCl) ỉiti ĩlorua (LiF), cêsi clorua (CsCl) chúng được tạo thành từ các ion dương kim loại

hình thành từ các nguyên tử trung hòa khi một êlectròn chuyển từ nguyèn tử kim loại sang nguyên tử halogien Thí dụ cấu tạo các lớp

êlectrồn của nguyên tử liti là Is^ 2s của flo là ls^2s^2p^ còn cấu tạo

của các ion tương ứng trong tinh thể là : Li*^: Is^, F~: Is^ 2s^ 2p^

Có thể nhận xét thấy râng các ion này có lớp vồ êlectrôB ngoài cùng đặc trưng cho các nguyên tử khí trơ, vì chúng chứa đầy òlectrôn

(He : Is^; Ar : Is^ 2s^ 2p^) Giốĩig như ồ các nguyên tử khí trơ, sự

phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu

Tuy vậy trong tinh thể sự đối xứng này có bị biến dạng đôi chút

ô chỗ các nguyên tử lân cận Icê sát vào nhau

Dùng hình ảnh vè các lỏi nguyên tử và êlectrôn hóa trị* ta nỏi ỉầng xác suất tìm thấy êlectrôn hóa trị ià cực dại ở xung quanh íon

âm (thi đụ ion F “ ) và như

tà n g không ỏ xung quanh ion

đẩy giữa chúng Có nhỉêu nguyêo

nhàn gày nèn iực đẩy giữa các

các nguyên tử khí trơ Với các nguyên tử này, có thể coi rầng sự

phân bố điện tích của êlectròn bèn trong nguyên tử bị giới hạn trong niột quả càu cứng Do sự giới hạn vê không gian, theo nguyên lí bất định Haizenbec (Heisenberg) động năng của èlectrôn táng lên Sự tống năng lượng khi quả càu bị nén ứng với lực dẩy và oố tác dụng chống lại sự nén Chính sự giới hạn điện tích êlectrôn trong quả <àui cứng là một thành phần của lực đẩy giữa các nguyên tử trong tinh thể

ỉ ^ n g góp qiian trọng hơn vào lực đẩy là do sự phủ nhau của các

đám mây êleciròn của hai nguyên tử đặt nhau Khoảng cách giữa các nguyên tử càng giảm, các dám mây èlectrôn càng phủ nhau nhiêu và năng lượng tĩnh điện của hệ biến đổi đi ớ những khoảng

cách đủ nhỏ, năng lượng tương tác do sự phủ của các đám mây êlectrôn gây nên là năng lượng đẩv

1) Gia sừ èlcclrôn bi đinh xứ irong khu vực có kích thước Ax (trưừng hợp môt chỉeu) Theo

nguyên lí bất đinh Haizenbec, sư không xhc đinh xung ỉưong ĩà A(mv) ^ , với%fe

Đối với các nguyên tử có lớp vỏ ếlectrôn đây, thì nâng lượng tưđng tác luôn là năng lượng đẩy với mọi khoảng cách (trong khoảng từ

0,5Ầ đến 5Ầ) mà chủ yếu là do tác dụng của nguyên lí Paoli (Pauly)

Nói một cách đơn giản, theo nguyên lí này, hai êlectrôn không thể cùng có tất cả các số ỉượng tử giống nhau Như vậy hai êlectrôn không thể ỏ cùng một trạng thái lượng tử Khi các đám mây êlectrôn của hai nguyên tử A và B phủ nhau, thì èlectrôn của nguyên tử B

có xu hướng chiếm một pHần các trạng thái trong nguyên tử A đả

bị các êléctrôn của nguyèn tử này chiếm, và ngược lại Vì rằng nguyên

lí Paoli không cho phép nhĩều êlectrôn chiếm cùng một trạng thái, nên hai đám mây êlectrôn chỉ có thể phủ nhau nếu các êlectrôn chuyển một phần lên các trạng thái lượng tử còn trống, có năng lượng C8K5 hđn Kết quả là sự phủ nhau của các đám mây êlectrôn làm tăng năng Iượng toàn pKân của hệ, hay nổi khác đi, nó làm xuất

hiện lực dẩy.

Dựa vào các kết quả thực nghiệm, người ta thấy có thể mô tả

th ế n&ng đấy giữa các nguyên tử khí trơ bằng biểu thức :

Ri2trong đó B là một hằng số dương, còn R là khoảng cách giữa các hạt nhân nguyên tử

Trong hhỉèu trường hỢp, có thể sử dụng biểu thức thực nghiêm khác cho ỉực đẩy dưới dạng hàm mũ :

R

trong dó A là một ỈÀng số dưdng, còn p là một đại iượng đặc trứng

cho kích thước của khu vực có tương tác

c) Các tinh thể ion dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp dẫn điện tốt ỏ nhiệt độ cao Các hạt tải điện trong trường hỢp đó là các ion.

Tinh thể ion hấp thụ mạnh các bức xạ trong dồi Kông ngoại

Hình ỉ 2

2 Tinh thể cộng hỏa trị

a ) Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp êlectrôn có

spẾn đối song Đó là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa các ng\iyên tử trung hòa

Tinh thể kim cương { ^ m các nguyên

tủ cacbon), và các tinh thể Ge, Si có

cấu trúc giống kim cương là thí dụ vê

tÌHih thể cộng hóa trị Troĩìg các tinh

th ể này, mỗi nguyêĩi tử nằm ở tâm một ^

tứ diên đưỢc tạo thàilh từ bốn nguyên

tử nó nhất (h.1.2) Giữa hai iõi

ngtuyên tử cạnh nhau, có một mối liên

kết: (*ộiìg hóa trị do hai êlectrôn từ hai nguyên tử tạo thành Hai êlactrôn này có spin đối song, Chúng định xứ chủ yếu trong khoảng khíông gian giữa hai lõi nguyên tử Vì vậy, Hên kết cộng hóa trị có tínih phương hướng rõ, khác với liên kết ion trong đó êiectrôn hóa trị chủ yếu định xứ quanh các ion

Theo nguyên lí Paoii như đả nói ở trên, các nguyên tử có lớp vỏ êle<ctrôn đây thì đẩy nhau Nguyên tử c, Ge, Si còn thiếu 4 êlectrôn mớíi tạo thành lớp vỏ đây, nên nguyên tử của các nguyên tố này lại

có thể hút nhau do sự phủ của các lớp vỏ êlectrôn

Thí dụ đơn giản nhất vê liên kết cộng hóa trị là liên kết giữa hainguiyèn tử hidrô trong phân tử H2 Tùy theo sự định hướng spịn của hai, êlectrôn trong hai nguyên tử, mà lực liên kết giữa hai nguyên

tử này có độ lớn khác nhau

Nếu hai êlectrôn có spin đối song, hai nguyên tử liên kết rấ t mạmh, tạo thành phân tử hiđrô tìên vững Nếu hai êlectrôn có spin somg song, theo nguyên lí Paoli, khi có sự phủ nhau của các đám mâ\y êlectrôn, giữa hai nguyên tử xuất hiên lực đẩy

Phần nâng lượng tương tác tĩnh điện giữa các êlectrôn có giá trị phiụ thuộc vào sự định hướng tương đối của spin như vừa xét gọi là

nõmg lượng trao đổi Lực tương tác ứng với nó là lực tương tác troo

đ ổ i

b) Các tinh thể cộng hóa trị có độ cứng cao và dấn điện kém ở

nhiêt độ thấp

c) Nếu CX3Ì tinh thể cộng hóa trị và tinh thể ion là các trườiìg hợp giới hạn, thì giữa chủng còn có hàng loạt tinh thể trong đó liên kết có tính chất trung gian

Bảng sau đây eho ta một số trường hỢp điển hình Từ đó, ti\ thấy

NaCl có thể coi là tinh thế ion (mức đô ion 0,94), SiC và GaAs có

tính cộng hóa trị rõ (mức độ ion 0,18 và 0,32)

Các nguyên tử có vo êlectròn giống với vò đấy (như Na, Cl)

có xu hướng tạo thành liên kết ion Các nguyên tử nhóm III, IV và

V của bảng tuần hoàn có xu hướng tạo thành liên kết cộng hóa trị (như In, c, Ge, Si, As)

Sự phân bố không gian của êlectrôn hóa trị phụ thuộc mức độ

ion của liên kết Chảng hạn, ở tinh thể InSb, niật độ êlectrôn ỏ

nguyên tử Sb lớn hơn ỏ nguyên tử In Còn ở tinh thể ZnS,êlectrôn hóa trị chủ yếu tập trung quanh nguyên tử s.

3 Tỉnh thể kim Inại

a) Trong tinh thể kim loạd, êlectrôn hóa trị không định xứ ở các

nguyên tử mà phân bổ trong tinh thể và ]à chung cho cả tinh th ể

(èlectròn bị “tập thể hóa") Những êỉcctrôn này có thể chuyển động

tự do trong tinh thể nên được gọi là èlectròn tự do Mật độ êlectrôn

tự do tương đốỉ Ìớiì, cùng bậc với mật độ nguyên tử (cỡ 1 0 ^

vì tru ng binh mỗi nguyên tử đóng góp một vài êlectrôn tự do cho

tinh thể Chứiig tạo thành đáni mày (hay khí) êlectrôn trong tính thể Cỉií ah 3ự íiSơniỉ, tác gi đa đám mâ v èlecti^ôn mang ãìộĩì âm vổi

các íon dương đưcic sắp xếp đèu đặn tạo nên lực iiên kết các nguyèn

4 T inh thể khí trơ và tinh thể phân tử

a> Tinh thể khí trơ được C!ấu tạo từ các nguyên r.ử khí trơ Những nguyên tử này có lổp êỉectrôn ngoài cùng hoàn toàn đày ơ nguvên

tử tự do, phàn bố èlectrôn có dạng đối xứng dầu Trong tinh thể, sự

phân l»ố êlectrôn không eỏ thav đổỉ iớn Lực ỉiên kết trong tính thể

Wìí trơ là lực Van, đe Vanxư, Đó là ioại lực tương tác giữa các nguyẻn

tử trung hòa vh có tác đumg ơ kh^yầng cách ìồn Bản chất của lực Van đe Vanxơ chỉ có thể hiểu được một cách chính xác trên cơ sở

cơ học lượng tử Tuy nhiên, có thể giải thích một cách sơ lược sự

xuất hièn của nó Nếu vị trí trung bình của hạt nhân nguyên tử ỉuôn trím g với tâm của đám mây èỉectrôn hìrh câu bao quanh hạt nhân,

thì không thể có tương tác giữa CÁC nguyôn từ trung hòa Đó là vì

ở bên ngoài nguyên tử, điện thế tĩnh điẹn gây bỏị đám mây êlectròn

hoàn tc?àn bù trừ điện thế gây bởi hạt nhàn Như vậỵ, không cố sự iiên kết giữa các nguyòn tử khí tvơ và không có được trạng thái rốn của khí trơ l\iy nbièn, troĩìg thực tế có tồn tại các tinh thể khí trơ

Sở dĩ như vậy là vi các êỉectrồn ỉuôn chuyển động tương đối đối vổi

hạt nhân, ngay cả khỉ chứng ở trạng thái năng lượng thấp nhất Kết

quả là vị tri tức thời của tâm đám niây êiectrôn có thể không trùĩig

với hạt nhân nguyên tử Khi dó mòãien ìưỡng cực của nguyên tử trở

nên khác không Mòĩiien iưỡng cực tức thòi này gây ra điện trường

ờ tâm ngxiyên tử nỏ, làn) cho nguyên tử này bị phân cực, tức

giữa các mômen lưỡng cực cua các nguyèn tử Lực này là lực hút

và có giá trị nhò Nó đóng vai trò lực liên kết các nguyên tử tĩx>ng tinh thể khí trơ

Lực Van de Vanxơ củng là lực Hèn kết chủ yếu trong các tinh thể phân tử, tức là các tinh thể mà ở các nút mạng có các phân tử trung hòa Hiđrô, Clc, C0-; và nhỉêu hỢp chất hữu cơ, khi hóa I^ắn tạo thành tinh thể phân tử

b) Tinh thể khí trơ và tinh thể phàn tử có nhiệt độ nóng chảy thấp và dế bị nén

5 Tinh thể c 6 liên kết hiđrỏ

Nguyên tử hiđrò trung hòa có một êlectròn TĩX)ng một số trường hỢp, nguyên tử hiđrô có thể liên kết tòng một lực hút đáng kể với hai nguyên tử khác, tạo thành lièn kết hiđrô giữa chúng Có thể hình dung

sự hình thành phân tử nhờ liên kết hiđrô như sau : êlectrôn của nguyèn

tử hiđrô liên kết với một nguyên tử, còn lại proton thì liên kết với nguyên tử thứ hai Kết quả là nguyên tử hiđrô liên kết với hai nguyên

tử, mặc dù êlectrôn của nó chỉ có thể tham gia vào một liên kết cộng

hóa trị.

Liên kết hiđrô là dạng tương tác quan trọng nhất giữa các phân

tử H2O Cùng với lực hút tĩnh điện giữa các mômen lưỡng cực, nó gây nên những tính chất kì lạ, đặc biệt của nước và nước đá Liên kết hiđrô đóng vai trò quan trọng tĩDng các hợp chất có chứa hiđrô cùng với các nguyên tố á kim như F,0,N,C,C1 và s Nó gày nên sự kết hợp

các phân tử, sự pôlinie hóa, nó tồn tại và đóng vai trò quan trọ n g trong các tinh thể hữu cxí, các chất anbumin và các cơ thể sống.

552 MẠNG TINH THỂ

1 Mạng không gian

Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đêu đặn, tùần hoàn tĩT>ng không gian tạo thành mạng tinh thể Ta

bắt đần bàng việc khảo sát tinh thể lí tưỏng, là tinh thể trang đó

sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn tm n tiìân hoàn Tinh thể

lí tưởng phải hoàn toàn đòng nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đêu chứa những loại nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau Tinh thể

ií tưông phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có m ặt giới hạn ỉàm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàrx của các nguyèn từ, phân tử Sau này, ta sẽ nghiên cứu đến các tinh thể thực có một số tính chất khác với tinh thể lí tưởng

Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy kiật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp ở các tinh thể dơn giản như tinh thể đông, bạc, tinh thể kim loại kiêm, mối ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử, ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiêu nguyên tử, phân tử

Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gôm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc

Tinh thể lí tương có thể coi như các nguyên tử phân bố

tro n g m ạ n g khòng gian

Mạng không J?ian được xây dựng từ ba vectơ ai, a2, gọi là ba

vectơ tịnh tiến cơ sở Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể

từ một điểm tùy ý có bán kinh vẻcíơ r ta t h ^ nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r ’ :

tĩX)ng đó ĩìị, ĨÌ2, là các số nguyên tùy ý,

Tập hợp các điểm có bán kính vectơ ? (sau này gọi là điểm r^)

xác định theo (1-3) với các giá trị khác nhau của n u H2, 113 lập thành

mạng không gian Các điểm đó gọi là nủt của niạng không gian.

Ba vectơ cơ sở a 1, a2, a:^ (có khi kí hiệu ìầ % h ,c ) cũng đông thời

xác định các trục của hệ tọa độ trong tinh thể Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc

Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp

Uình ỈJ

Sự lựa chọn ba vectơ cơ sỏ,

và đo đó lựa chọn ô sơ câp khống phải là duy nhất Hình 1.3 cho ta thấy một vài thí cỉụ

vê cách chọn các vectđ cơ ỔỞ

và ô sơ cấp tm ng mạng hai chỉêu

Ngoài ra, trong nhỉêu tníờng

hỢp, còn có thể xây dựng ô sơ

cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm Ô như vậy gọi là ô Vicnơ-Daixơ (W ignet-Seitz) Các ô này dược giới hạn bởi các mật phẲng trung trực của các đoạn thẩng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lấn cận Dể dàng thấy rằng theo các cách xảy dựng khác nhau, ô sơ cấp có thể tích khồng đổi trên hình 14 là ô Vicnơ-Daixơ trong mạng hai chỉèu

/ỉình ì 4

1. Các chỉ số Milơ (Miller)

Trong mạng khòng gian, dường thẳng đi qua vô số các nút mạng được gọi là đư ờng th ẳ n g m ạng Có thể chứng minh được răng nếu một đường thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đường thảng mạng

Mặt phảng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phằng mạng, Mặt

ịphẲng chứa ba nút mạng là mặt phàng mạng

Đê xác định đường thảng mạng và mặt phẳng mạng, ta sử dụngIhệ tọa độ xyz có các trục dựa t.rèn ba vectơ cơ sỏ ai, a2, a8- Gốc o

- Viết tọa độ của các giao

điểm của mặt phảng mạng với

cáv tĩiỊc tọa độ theiO đơn vị ai,

a2, ĩi% tức là ni, ĨÌ2, na

Vậy chỉ số Milơ của mặt phảng đó là { 4 3 6)

Các niặt phảng mạng song song nhau có cùng chỉ số Mỉlơ Vì vậy chỉ số Milơ (h k i) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các

m ặt phảng song song với nhau

Nếu mặt phẳng mạng song song vói một trục tọa độ, thì coi như

nó trục đó ở vô cực, và chỉ số Milơ tương ứng với trục đó tòng 0 Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ò điểm có tọa độ âm, thì chỉ số Milơ tương ứng có dấu âm, và được kí hiệu ỈẰng dấu bên trên chỉ số đó (thí dụ (h k D).

Hì nh 1.6 trình bày các chỉ

số Milơ của một

số mặt phẳng quan trọng nhất trong mạng lập phương.

Các mặt bên của ô lập phưdng

có chỉ số (100);

( 0 1 0 ) ; ( 0 0 1 ) ; (100); (010);

(OOĨ) Mặt chéo

chính có chỉ số

(111) Mặt chéo song song với trục z có chỉ số

số Milơ của mặt phẩtig mạng được xác định theo phướng pháp chung

v^à được kí hiệu k i 1) Có thế c! ứng minh ràng các chỉ số h,k và

i không độc lập nhau, mà liên hệ với nhau tòng biểu thức

Chinh vì vậy, khòng nhất

thiết phải dùng tìiỊC u và chí

sô i Tuy nhièn, việc đưa thèm

chúng vào cho phép kí hiệu

CỐ (ìhứa số các chữ số ỉ và 0 khác nhau, nèn không thể đưỢc kí hiệu

chung dưới dạng Ịh k lj Nhưng nếu sử dụngj.hêm trục u thì củng

CÁÌ mặt phẳng đó có cẦc chỉ số (1 0 10) và (1 1 0 0)» do đó chúng

được kí hiộu chung là CÁC mặt phÀng l l 0 Ị o |.

Phương song song với một vectơ nào đó được xác định bhng bộ

ba số nguyên nhỏ nhất tỉ !è với ba thành phân của vectơ đó trên các

trục' tọa độ, tính theo đơn vị ỉầ), a-;, a;^ Các số này được đặt trong ngoặc vuỏng : [h k 1] Thí dụ một có tọa độ trên các tnic là

số phương trong mạng lập phưííng

Rièng với mạng ỉập phương, phương

[h k 1] vaiòng g(')c vớỉ niăt phẢng

có cùng chi ổố (h k 1) Tuy nhiên-

với các mạng khác thì nói chưn^

không phỉú như vậy

1

2

3 2 ; 1 : 6 Do đó

Họ các phương tương đương nhau vê tính chất đối xứKg được kí hiệu tò n g chỉ số đặt t ĩ X ) n g dấu ngoặc nhọn : < h k 1 > Chảng hạn, các phương song song với các cạnh của hình lập phương có chỉ số

< 100 >

3, Các tính chất đối xứng cùa mạng không gian

Đặc điểm cơ bản của mạng khòng gian là tính chất đối xứng c:ủa

nó Đỉêu này thế hiện ở chỗ mạiií bất biến đối với một số phép bÌPiì đổi, hay nói cíìch khác, mạng lại t iàing với chính nó khi ta thực* hiện một số phép biến đổi

Mạng không gian có tính đối xihig (inh tiến Thật vậy, ta hãy

thực hiộn một phép dịch chuyển toàn bộ mạng khòng giin di iDỘt

vectơ R, gợi là vectơ tin k tiến:

R = ìĩị aị + 112 + 11;^ a'^ ( 1 * 5 )Sau phép dịch chuyển này, một nút niạiìg nào đó đếr chiếm vị trí của một nút mạng khác Toàn bộ mạng khòng có gì thay đổi.ĩliii nút mạng bất ki đưực nối với nhau bhng vr^ctờ tịnh tirn (1-5), trong đó chú ý rang m , ns là nhửng số ngiỉyèn Nếu ta lấy điôiìi

gốc ỏ niôt nút mạng, thì R là vectơ vj trí của các nút mạng, gợi là

vectơ mọng,

Mạng không gian có tính đối xthig với pháp quợ}' quanh một số

trục xác định Để minh họa đỉôu này, ta hây xét mạng vuôiìg hai

chỉèu (h 1.10) Có :hể coi nó

như hình chiếu của Trạng không

gian ti^ên mặt phc^ng, nghĩa là phía trên và phía dư^i của mặt phắng hình vẽ, ta có naững niạiìg

viiòng giống hệt như vặy Khi la

quav mạng một góc — (hay ~

vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phảng, đi qi:a một n it

mạng (hoặc một tvoĩìg các đi^ìi

o

i[

ỉĩình ì.9

có đánh dấu X trên hình 1.9), thì mạng lại trùn g với chính nổ Trục quay như vậy gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4.

Mạng không gian chi' có thể có trạc quay bậc n = 2, 3, 4 và 6

^ T

ouay mạng một góc mạng lại trù n g với chính nó Không

n

tòn tại các mạng có trục quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn

Mạng không gian có tính đối Xỉùig nghịch đảo.

Phép nghịch đao ìà phép biến đối, tix)ng đó vectơ vị trí đổi dấu :

r biến thành - r Như vậy, mạng không gian có tấni đối xihig, Tất

nhiên, mạng vuông t.mi hình 1.9 hất biến vói phép nghịch đảo và

rjó tâm dối xứng.

Mạng không gian có thể đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng Phép nghịch đảo chính ìà ịịộm một phép quay gỏc Jĩ và

phàn xạ qua mặt phảng \oìòng góc với tiạic quay và đi qua tâm đối

xứng (h 1.10) ơ ảky o là tãni đối xứng, m là m ặt phảng phản xạ,

c là trục quay góc 7f

Các phép biến đổi đối xứne^

vừa nói ỏ trên, gồm các phép

quay, phản xạ và nghịch đao có

thể' cù n g tòn tại ở một m ạng

khỏng gian Tuy nhiên thực tế,

mối niiạng không gian chỉ đốỉ

gian, ngưòi ta chia chúng ra

thành 7 hệ, ứiìg với 7 loại ò sơ cấp khác nhaUj đó là các hệ : tam

tà, đơn tà, thoi, tứ giác, tam giác, lục giác và lậpjphươĩig Mỗi hệđược đặc tn ín g bởi quan hệ giữa các vectơ cơ sở ai, a2, a3 và các

ỉỉình ì 10

góc ư, y3, y giữa các vectơ đó, như được

vẽ trên hình 1.11

a) H ê ta m tà : các vectơ Qữ sở ai, H2, a:^ có độ dài khác nhau, các góc a, ịi, ỵ,

khác nhau Hê chỉ đối xứng với phép nghịch đảo

d ) H ê t ứ g iá c : ai = a2 a3 ; a = /3 = y = 90^

Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông Hai phương m

và a2 tương đương nhau Phương của a:i phân biệt với hai phương trên có khi gọi là phương c

Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c, bốn trục bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phảng phản xạ

đ ) Hê tam giác (hay hê lăng trụ thoi) : aj = a2 = ; a = /ị =:

y < Ì2QP ; ^ 90° Hê có m ột trục quay bậc 3, 3 trục bậc 2, cắt nhau

dưới góc 60^ và 3 mặt phảng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2

e) H ệ lụ c g iác : ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hlnhthoi, có góc 60® Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng thuộc

hê lục giác, người ta thường ghép thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đạt

lệch nhau 120^, để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, đáy lục giác, có

nút mạng ở tâm hai dáy Ô này có ai = a2 a3 (as gọi là c) ;

a = = 90^, ỵ = 120^

Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc

30*^, một mặt phảng phản xạ \oiông góc với trục bậc 6 và sáu m ặt phảng chứa trục bậc 6 và niột tn.ic bậc 2.

và niột số yếu tố đối xứng khác nửa.

Với một mạng không gian nhất định, có thể có nhỉêu cách lựa chợn hệ trục tọa độ, cũng tức là lựa chọn ô sơ cấp Bao giờ ngiídi

tn củng chọn ò sơ (ắp sao cho nó có tính đối xứng cao nhất có thể

được Ò sơ cấp như vậy khòng nhất thiết chỉ chứa nút mạng ở các đỉnh của nó, mà có thế ỏ ljẻn trong thế tích (ò tâm khối) hoặc ỏ các

niặt [yèn (ò tâm mặt), và như vậy khỏng nhất thiết mỗi ô chỉ chứa

niột nứt m ạng.

%

Ta hãy lấy thí dụ vê ò mạng ỉập phương tảm mặt (h 1.12) Ta

cỏ thế C'họn ô rấp có dạiìg lạng trụ thoi, với góc giữa các vectd

cơ sỏ là 60^ Tuy nhièn với aích chon ta làni mất các trục quay bậc 4 ỉà đặc tm n g cho tính đối xứng của mạng lập phương Khi nói

vê hê lục giác, ta đá thấy là đê tho

hiện rỏ tính dối xứng của hệ, ta chọn

ô sơ cấp dưới dạng hình tni lục giác,

tòng cách ghép 3 hình trụ thai lại

Với cách lựa chọn ỏ sơ ciíp như vậv

tĩX)ng 7 hệ tinh thể có tất cả 14 loại

ô Chúng tạo thành 14 mạng Brave

(Bravais) Các ô mạng được vẽ trên

lự c ỹỉác

Hình ỈA3

hoỉặc Tìiỗi nút mạng Chẳng hạn, có thể đặt các nguyên tử sao

chiQ ở trạ n g thái cân tòng, hạt nhân của chúng nằm ở các nút mạng

khòng gian Còn tix)ng tinh thể hiđrô (ở thể rần), tại mỗi nút mạng

là một phân tỏ H2 Trong các tinh thế phân tử, ở mỗi nút mạng là

m ột phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trám nguyên tử Nguyèn

tử hoặc nhóm nguyên tu như vậy gọi là gốc Do đó có thể viết một cá*ch tượng tiưng : riiạng không gian 4 gốc - cấu tiiíc tinh thể Vì

lí do đó, cấu trúc tirh thế có thể có những yếu tó đối xứng mà mạng

không gian khỏng có, đó ià các trục xoán ốc, và một phảtig trượt,

Nếu kết hỢp đông thòi phép quay thòng thường với phép tịnh tiến song song với trục quay, thì ta được trục xoắn ốc Trên hình 1.14

là tĩ*ục xoổti ốe bậc 4, với bước tịnh tiốn là - khoảng cách a giữa

4haii nút mạng (còn gọi là hăng số mạng a)

Mặt phảng tniợt xuất hiên từ sự kf't hỢp đòng thời phép phản xạ gurơng và phép tịnh tiến song song với mặt phẳng phản xạ Để bảo

tOỉàn tín h đối xứng tịnh tiến, bướí' tịnh tiốn chỉ có thể là m ột nửa

hằtng số mạng (h 1.15)

6 Một số cấu trúc tinh thể đan giản

a) Mô hình đơn giản và củng tương đối phù hỢp với cấu trúc

Tĩt)ng trường hỢp các nguyên tử tạo thành tinh thể có đối xứng câu, chẳng hạn như các nguyên tử khí trơ có lớp êlectrôn hóa trị đây, ta có thể mong đợi răng sự xếp dặt của các nguyên tử trong tinh thể được mò tả tốt bằng mô hình xếp chặt Mô hình này cũng

có thể áp dụng cho các tinh thể mà liên kết giữa các nguyên tử không có tính phương hướng rõ, thí dụ như liên kết kim loại Thật vậy, các kim loại hóa trị một như đông, bạc có cấu trúc tinh thể kiểu xếp chặt

Có nhiêu cách xếp chặt các quả càu, nhưng mỗi quả càu luôn có

12 quả khác ở sát bên cạnh Ta nói rằng trong cấu trúc này, số phối

vị là 12 Ta íân lượt xếp các quả câu thành từng lớp Lớp thứ nhất hiển nhiên có đối xứng lục giác (h.1.16) Mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác, ơ lớp thứ hai, các quả cầu đưỢc đặt vào những chỗ lõm

ở giữa 3 quả cầu của lớp thứ nhất Tuy nhiên, ở lớp này khòng th ê xếp các quả cầu vào tât cả các chỗ lõm, mà chỉ lấp được một nửa số các chỗ đó Ta gọi hai loại chỗ lõm đó tà n g chữ B và c (h 1.17), cũíiìg

như hai cách xếp lớp này gọi ỉà B vh c.

Ta hãy xét cấu tiiJC (ABC) Đó chính là cấu trúc lập phương tảm mặt (h.1.18) Đường chéc) chính của hình lập phương là trục quay

bạc 3 Tinh thể của các khí trơ Ne, Ar, v.v và nhỉêu kim ioại hóa

trị 1 tTOiig đó tắt cà các kim loại quý như Ag, Au, P t có cầu trúc

lập phương tám măt

Cấu tiức ÍAB) phức tạp hơn, ĩììặc rỉi\\ưởng có vẻ đơn giản Đó

là cấu trúc lục giác; ô sơ cấp của ciíu t.ì’úc iục giác xếp chặt có dạng

hình lăng trụ đứng, đáy hình thoi có cạnh ai = a2 = a, góc \2 if\

Như vậy gốc gôm một ngiiyên tử ở đỉnh của ô, m ột nguyên tử ở

l)ên trong ô Tinh thể magìè CX) tỉ sò - = 1,623 nên thuộc loại cấu

a

ctrúc lục giác xếp chặt lí tưởng Kẽm có tỉ số - = 1,86, hơi lớn

a

hơn trường hỢp lí tưởng, nhưng củng có thể coi như có cấu trúc lục

giác xếp chặt Một số tinh thè có cấu trúc này là :

b) Một số kim loại như Na, Li, K kết tinh theo cấu trúc lập phương tâm khối (h 1.20) Ngoài nguyên tử năm ỏ đỉnh hình lập phương có tọa độ (0, 0, 0), còn có một nguyên

phối vi trong trưdng hỢp này là 8.

c) Cấu trúc của cêsi clorua đượo trình

bày tren hình 1.21, thuộc dạng lập phương

tâm khối, Có điêu khác là nguyên tử ở tâm

khác với nguyên tử ỏ đỉnh

Vì vậy mạng không gian là mạng lộp phương đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một phân tử CsCl Gốc một iổn Cs^ có tọa

các ion Cs^ , một mạng chỉ gòni các ion Cl” Hai mạng nồy đặt lệch nhau theo phương đường chéo chính của hình lập phương một khoảng băng nửa đường chéo này.

d ) Tinh thể NaCl có cấu trúc lập phương

(h.1.22) ơ các đỉnh của hình lập phương

và ỏ tám các mặt của hình iảp phương là

nhiỉng ion cùng loại Còn ion ỉoại kia thì

nầm ờ tnang điểm các cạnh và ở ưim hinh

lập phương, xung quanh mỗi ion có 6 ion

trái dấu nhất Mạng Brave của NaCỈ

là mạng lập phương tâm mặt Gốc gò nì

hai jon và c r đặt cách nhau một

nửa dường chéo chính của hinh lạp phvíơng

Cấu trúc của tinh thể NaCl gôm hai

mạng lập phương tâm mặt đặt ỉệnh nhau theo phương đường chéo

của hình lập phương một khoảng tà n g nửa đường chéo.

Các hỢp chất bán dẫn PhS, PbSe và PbTe kết tinh theo cấu trú c

củi NaCi

đ) Kim cương cỏ cẨu íiãic tinh

thể điỂn hình cho tinh thể cộng

hóa trị Mạng tinh thể gôm hai

mẹng con lập phướng tâm mát, đạt

lệch nhau theo phương đường chéo

chính của ô lập phương một khoảng

tò ng 1/4 đường chéo Củng có thế

coi đó là m ạn g lập phương târn

mặt, có gốc ^ l ì i hai nguyên tư ò

e) Dạng kết tinh lập phưdng của ZnS có cấu trúc giống Iihií kim cương Sự khác nhau giữa hai cấu trúc này là ở chỗ trong mạng iập phương ZnS, mỗi mạng

C‘0n lập phương tâm m ặt chứa một nguyên tử kim loại (hoặc

Zn, hoặc S) Hai mạng ion cúng đặt lệch nhau 1/4 độ dài dưdng chéo chính của hình lập phương, theo phương đường chéo íh.1.24)

tử khác nhau (Zn và S) Vì vậy mạng không có đối xứng nghịch đâo

Đa số các hợp chất bán dẫn và kết tinh theo cấutrúc ZnS lập phương như : InSb, GaAs, HgTe, CdTe, SiC, ZnSe .f) Dạng kết tinh lục giác của ZnS được trình bày trèn hình 1.25 Dạng lục giác, cũng như dạng lập phương, có liên kết tứ diện Mạng tinh thể 2 mạng cx)n xếp chặt, mỗi mạng chứa một loại ngiiyèn

tử Hai mạng lệch nhau dọc theo ti^ục c một khoảng u.c Trong

và mạng lục giác đêu có liên kết

tứ diện, nhưng trong hai trường hợp, các tứ diên xếp đặt khác nhau, dẩn đến hai cấu trúc tinh thể khác nhau

cấu trúc lục giác giống ZnS, chẳng hạn CdS, CdSe, ZnO, ZnTe

7 Mạng đảo

a ) Mạng không gian được xây dựng từ 3 vectơ cơ sở a i, B2, a:v

Ta định nghĩa mạng đảo là m ạng điíỢc xây dựng từ ba vectơ bi, h2

và b;^ đưỢc xác định như sau :

Các vectơ bi, b2, b:^ là cắc vectơ cơ sở của mạng đao.

Vị trí các nút của mạng đảo được xác định bơi vectơ m ọ n g đào

có dạng :

G == ĩììị hi 4- ni9 b‘2 -f ni;^ b:^ (1 - 7)

với m i, m2, ni;^ là những số nguyên.

b) Sau đây là một số tính chất của vectơ mạng đảo

- bi vuông góc với iì2 và a;^ ; vuông góc với a3 và ai ; b:s

vuòng góc với ai và

- Hình hộp được dựng nên từ 3 vectơ cơ sở của mạng đảo bi,

b2, b;^, tức là ô sơ cơp cùa m ọ n g đâo, có th ể tích :

Chú ý răng [ b2 A h:ị] là vectơ có phương vuông góc với m ặt phẳng

chứa b2 và có m ô đun băng diện tích hình bình hành d ự n g ĩìén

từ b2 và h,ị Do đó tích hỗn hợp (1 - 10) cho ta tích của diện tíchhình bình hành với hình chiếu của bi lên phương \aiông góc với mặtphăng chứa b2 và b:^, tức là tích Í1 - 10) tòng trị sô thể tích v’ của hình hộp

Tương tự, ta có thể tích ô sơ cấp mạng không gian (tức mạng

fb2 A b:^] = — j |a i { [a;i ail H2 ) -“ a2 ( [a3 A ai] ai)

Số hạng thứ hai ỏ vế phải bhng không Do dó

[1^2 Ab3] = 2n \ 1 a i ([a ^ A a il a2) = 1 /jT J —- a i (1 - 12)-»

của mạng thuận như ở h ỉ.4) Tn>ng mạng đảo, ô này được gọi ỉà

vùng Brỉỉoơnh (Briỉlouin) thứ nhất Nó được giới hạn tòi các mặt

phẳng tru n g tiạíc của cảc vectơ mạng đao nối n ú t đ an g x ét với các

minh được là nó vuòng góc với híú

vectơ không song song với nhau và

cùng nKm tren mặt phảng Ta chọn

hai vectơ đó chẳng hạn, là

n ia i ri2a2 và KịãA ri2í^2

Nhân vô hướng vectơ G (h,k,l)

với hai vectơ này và áp dụng í 1-9),

ỉỉìnễi 1.26

Chứng m inh

~6

Trên hình 1.27 biốu diến một sò mặt phấng mạng song song nhau thuộc họ mặt phẳng (h

k 1) Từ định lí 1, ta có vectơ G (h, k, 1) vuông góc với các niặt phảng đó

ỉỉìnỉì ì 27

Từ o, ta vẽ vectơ mạng R của một nút mạng nhni trèn một p (h, k, 1) Hình chiếu của

nó lên phương vectơ G chính là đoạn OH Mọi vectd mạng có điểm cuối nkm trên mặt phẳng mạng p (h, k, 1) đêu có hình chiếu lon phương G là đoạn OH :

Rg = OH = R

G( h, k, 1)

ở đầy — — là vectơ đơn vị theo phương ổ (h, k, 1) cũng

Như vậy, mặt phàng p (h, k, 1) cách gốc o một số nguyên lân

2»7r

Thay đổi số nguyèn n đi một đơn vị, thi Rg tăng lên

Mạt phảng Q (h, k, 1) nằm ỉcê sát với p (h, k, 1) như

G (h, k, 1)

G (h, k, 1)

trên hình 1 27 ứng với hình chiếu Rg =

I G (h, k, 1)Vậy khoảng cách giữa hai mặt phồng (h k l) liên tiếp nhau là :

ỉ)ể minh họa việc xây dựng mạng đảo, ta xét thí dụ mạng thuận

là mạng lập phương tâm niặt (h.l.28a) Các m ặt phẳng mạng thuận

vuông góc với các trục tọa độ X, y và z cách nhau một khoảng d =

Do đó vectơ mạng đảo G ứng vồr các mặt phẩng này song song

2

với các trục X, y, z và có độ đài G =

liUìh Ĩ.2H

Các m ặt phẳng (111) vuông góc với dường chéo chính và cá(’h

nhau d = —-— Do đó vectơ mạng đảo ứng với họ mặt phảng chèo

này cũng hướng theo đường chéo chính và có độ dài G = 2 j ĩ

như lí th u yết vê vùng n ăn g lượng, lí thuyết vê dao động của m ạng

tinh thể, hiện tượng nhiễu xạ trong tinh thể v.v

1.3 Tím chỉ sõ M iỉa của các mạt phẲng mang trong tinh Ihề lập phưong.

1.7 Ị lay xây dựng mạng đào cùa mạng lap phương đnn giản va lâp phương lầm khối,

ihco phưang pháp hình học như à thí du irong Kai.

-*■ /V

1.8 MỘI mang không gian hệ thoi dược xây dựng từ ba vcctơ cơ s ả ai = 5 X : 32 = 2yj

33 ~ z Irong đó X y, z Ta các VCCICĨ đ (rn vi theo phưímg cùa ba trục X, y, z vuông góc nhíìu.

o

(*ác độ tfai tính theo đan vi A.

Ị ỉây xác đinh ô so cấp cùa mạng dào va vliĩìg Brilonnh thứ nhất.

CHƯƠNO lỉ

DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THE

ỉịl Lí TIIUYKT CỔ ĐIỂN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TIN lí TIlỂ

l Năng lưimg dao động

Trong tinh thể, các nguyên tử, phân tử không nằm cố định ở các nứt mạng hoặc ở các v j trí xác định, mà luôn thực hiện các dao động nhô quanh các vị trí cân băng Ta hãy xét tinh thể N ô S(í cấp, mỗi ô sơ cấp cổ một nguyên tử có khối lượng M Năng lượng dao dộng của tất cả các nguyên tử tm ng mạng tinh thể là :

N

K = - M Ỉ r

là động năng của các nguỹên tử dao động, Tn là dô lệch của nguyí^n

tử khỏi nút thứ n ứng với vectơ mạng R^, là vận tốc của nguyên

có hình chiếu trên các trục là ; a = 1, 2, 3 ứng với X, y, z

Trong (2 - 6), Uo = ư (Rị, R2, Rn) là giá trị thế năng khi mọi hạt

đêu ở vị trí cân bằng (tức là nằm ở các nút mạng, và mợi Tn = 0)

Chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ỏ vỊ trí cân bhng Ta giới hạn khai triển

ỏ số hạng bậc 2, tức là xét ỏ phép gàn đúng đĩêu hòa.

Khi mọi nguyên tử đêu nằm ơ vị trí càn băng, thế năng của hệ

là cực tiểu Do đó các đạo hàm hạng nhất của thế năng u ở vị trí

cân bằng băng không : = 0

T b ế năng được xác định sai kém một hầng số.

Nê-U ta lấy gốc thê' năng là giá trị Uo, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó Biểu thức (2 - 6) trô thành :

T hế nàng, theo (2-7), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ đòi, đó lằ

số hạìig đỉêu hòa

Biết hàm thế nàng ư, có thể xác định đưỢc lực tác dụng Thành phần /3 của lực tác dụng lên nguyên tử thứ m là :

Hệ số này đặc trư ng cho lực

tương; tác giữa hai nguyên tử thứ n và thứ‘m Nó không phụ thuộc

vào vi trí cụ thể cùa từng nguyên tử mà vào khoảng cách giữa hai

hạt khi chúng cùng ở vị trí cân băng, tức là vào Rn^ Ta cóthể viết :

Để biết đưỢc chuyển động của m ọi nguyên tử, ta càn phải giải

m ột h ê các phương trình vi phân liên hê với nhau (dạng 2 -1 0 ) có s ố phươmg trìn h rất lớn (3N phương trinh !)

Trước khi giải quyết bài toán tổng quát, ta xét một vài trưừng

đàn hồi là thuần túy dọc hoặc thuần túy ngang Đỉêu đó xảy ra khi

xét sự lan truỳên của sóng đàn Hòi theo một số phương có tính đối xứng cao như < 100>, < 111 >, < 1 10> Trong sóng dọc, các nguyèn

tử dịch chuyển song song với phương truỳên sóng, còn tĩDiìg sóng

ngang, cá c nguyên tử dịch chuyển vuông góc với phương truỳên sóng

Trong các trường hỢp này, các nguyên tử nkm trên cùng m ặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truỳên sóng thì dao động giống nhau

(h.2-2) Vì thế, thay cho việc nghiên cứu chuyển động của mọi nguyên

lù tioiig tinh thể, ta chỉ cân xét trôn mỗi mặt phẳng tỉnh thể một nguyên tử Bài toán được quy vè tmòng hợp mạng tinh tnể một chiêu

Dể cho đơn giản, giả thiết với dãy nguyên tử một chiêu, ta chỉ xót sóng ngang, và coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử I^ân nó nhất Các nguyên tử cách đêu nhau một khoảng a nèn ò mạng có kích thước là a Ta viết lại phương

trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số a ,fỉ, vi

đã giả thiết chỉ xét dao động vuống góc với dáy nguyên tử Khi đó,

chuyển động ìk M Vm - - ớr(rm ” rm+i) ocÌTm - r m- l ) (2 - 12)

hay

Nghiêm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên tử và sự ỉan truỳèn của dao động dọc theo tinh thể Ta tìm nghiêm dưới dạng sóng :

Ta có thế chọn gốc 0 sao cho Rm = a.m (h2.3) thì

Từ dó ta tìm được biểu thức cho tòn số góc cùa dao độnr ;

(2 - H )

(2 - D )

Biểu thức (2-19), cho ta sự

phụ thuộc của £ân số gốc ƠJ vào

q và được gọi là hê thức tổn

$ầĩ của dao độn^, q là độ lớn

của vectxí sóng q, Vectơ này có

cùng phương chĩêu với hướng

lãn truỳên của sóng.

Biểu diên w theo q như ỏ

(2-19), ta được hình 2.4 ỉỉìn h 2.4