TÍNH TƯƠNG TỰ TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ

Ta xét các bài toán sau Bài toán 1.1: Một ôtô xuất phát từ điểm A trên đường cái hình vẽ để trong một khoảng thời gian ngắn nhất, đi đến điểm B nằm trên cánh đồng thảo nguyên, khoảng các

CHUYÊN ĐỀ:

PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG TỰ TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ

Ths Vũ Đức Thọ- PHT trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

MỞ ĐẦU

Nội dung đề tài được trích từ các chuyên đề mà tôi đã dùng để giảng dạy chohọc sinh ôn thi đại học, học sinh các lớp chuyên lý và học sinh các đội tuyển HSG củatỉnh tham dự kì thi HSG quốc gia môn vật lý với mục tiêu là giúp học sinh có thóiquen nhìn nhận các vấn đề tổng quát và tương tự, những thao tác hết sức cần thiết chohọc tập và nghiên cứu Vận dụng phương pháp này có thể giải được khá nhiều các bàitoán thuộc chương trình thi đại học, các bài toán trong chương trình thi HSG Tỉnh,quốc gia, khu vực, quốc tế thuộc các phần khác nhau của vật lý

Phương pháp tương tự hóa là một trong những phương pháp nhận thức khoa họcđược vận dụng vào trong dạy học ở hầu hết các môn học, đặc biệt là trong giảng dạy

và nghiên cứu vật lý Nó thể hiện trước hết ở tính sâu sắc, tính hệ thống của các kiếnthức, tạo điều kiện cho học sinh phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khácnhau ở các phần khác nhau của vật lí Việc sử dụng phương pháp tương tự giúp họcsinh dễ hình dung các hiện tượng, quá trình vật lí không thể quan sát trực tiếp được từ

đó giải các bài toán được dễ dàng hơn

Cấu trúc đề tài bao gồm:

1 Phần mở đầu.

2 Nội dung đề tài.

Chương I: Sự tương tự Quang- Cơ

Chương II: Sự tương tự Điện- Cơ

Chương III: Trường trọng lực hiệu dụng

Chương IV: Sự tương tự trong các bài toán hệ Thấu kính- Gương

3 Kết luận.

CHƯƠNG I: SỰ TƯƠNG TỰ QUANG- CƠ I- Vận dụng nguyên lý Fermat giải các bài toán cơ học.

Cơ sở cơ bản để giải quyết các vấn đề ở chương này là dựa trên nguyên lý Fermat

Nội dung cơ bản của nguyên lý này là: Giữa hai điểm AB, ánh sáng sẽ truyền theo con đường nào hoặc mất ít thời gian nhất, hoặc sẽ truyền theo những con đường mà thời gian truyền là bằng nhau.

Ta xét các bài toán sau

Bài toán 1.1: Một ôtô xuất phát từ điểm A trên đường cái

(hình vẽ) để trong một khoảng thời gian ngắn nhất, đi đến

điểm B nằm trên cánh đồng (thảo nguyên), khoảng cách từ

B đến đường cái bằng l Vận tốc của ôtô khi chạy trên

đường cái lớn là v , khi chạy trên cánh đồng là 1 v 2

Hỏi ôtô phải rời đường cái từ một điểm C cách D một khoảng bằng bao nhiêu

- Như vậy ôtô đi từ A đến B trong khoảng thời gian ngắn

nhất nếu nó đi theo đúng con đường mà ánh sáng sẽ đi

Bài toán 1.2: Trên một bờ vịnh có dạng một chiếc nêm với

góc nhọn α có một người đánh cá sinh sống Ngôi nhà của

so với nó bằng h, còn khoảng cách đến điểm cuối của vịnh (điểm D) bằng l Trên bờ

bên kia của vịnh, ở điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng phân giác của D cóngôi nhà của người bạn anh ta Hãy xác định thời gian tối thiểu t cần thiết cho ngườiđánh cá để anh ta từ nhà mình có thể tới được ngôi nhà của người bạn với điều kiệnngười đánh cá có thể đi trên bờ với vận tốc v và đi thuyền qua vịnh với vận tốc1

v v>

Bài giải

- Trước hết ta để ý thấy rằng vịnh có dạng một

lăng kính Trong vô số con đường mà có thể đi từ A

qua vịnh đến B thì ánh sáng sẽ đi theo con đường

mà thời gian truyền là ngắn nhất

- Như vậy để người đánh cá có thể đi từ A qua

vịnh đến B trong thời gian ngắn nhất, người đó sẽ

phải đi theo con đường mà ánh sáng truyền qua lăng

trường hợp này có góc lệch cực tiểu Vậy r =α / 2

Từ định luật khúc xạ →sini n= sinr n= sin(α / 2) ( )1

−

( ) ( )

v n v

Bài toán 1.3: Hai cánh đồng (thảo nguyên) (P1) và (P2)

ngăn cách nhau bằng một con đường nhỏ Một người

nông dân sống trong ngôi nhà tại A trên cánh đồng (P1),

cách đường một khoảng a (hình vẽ) muốn đi mua một số

đồ dùng tại cửa hàng nằm tại B trên cánh đồng (P2) Cửa

hàng cách đường một khoảng b Người nông dân có thể

đi trên cánh đồng (P1) với vận tốc v 1 và đi trên cánh đồng

(P2) với vận tốc v2 =v n1 / Biết rằng để đi từ A đến B hết

thời gian ngắn nhất người đó phải đi theo hướng hợp với con đường góc γ

1 Xác định khoảng thời gian ngắn nhất đó (bỏ qua thời gian vượt qua đường).

2 Nếu người đó đi thẳng từ A đến B sẽ hết thời gian bao nhiêu.

Bài giải

1 Trước hết ta có nhận xét rằng nếu “cánh đồng

(P1)” là môi trường mà ánh sáng đi với vận tốc v ,1

“cánh đồng (P2)” là môi trường mà ánh sáng có thể

đi với vận tốc v thì trong vô số con đường có thể đi2

từ A đến B, ánh sáng sẽ đi theo con đường mà thời

gian truyền là ngắn nhất

- Như vậy ôtô đi từ A đến B trong khoảng thời gian

ngắn nhất nếu nó đi theo đúng con đường mà ánh

sáng sẽ đi

Bài toán bây giờ đưa trở về tìm thời gian để ánh sáng đi từ A đến B qua mặt phân

cách hai môi trường có chiết suất tỉ đối 2 1

γα

( )

2 2 2

trường biến thiên trong không gian (Thực tế này đã được phát minh về mặt lý thuyết bởi nhà vật lý và toán học lừng danh người Ailen W R Hamilton vào năm 1834 và nó

đã ảnh hưởng đến việc xác lập mối liên hệ giữa quang học và cơ học lượng tử).

Ta xét các ví dụ sau

Bài toán 1.4:

1 Từ mặt đất, Một vật được ném lên với vận tốc ban đầu vur0

lập với phương thẳng đứng một góc α0 Bỏ qua sức cản

không khí Chọn hệ trục xOy như hình vẽ

1.1 Viết phương trình quỹ đạo y = y(x) của vật Xác định

tầm xa và độ cao cực đại mà vật đạt được

1.2 Chứng minh rằng tại một điểm bất kỳ trên quỹ đạo, góc α tạo bởi véc tơ vận

tốc vur

của hạt và phương thẳng đứng thỏa mãn phương trình f y( )sinα = f0sinα0,trong đó ( )f y là một hàm nào đó của tung độ y Tìm hàm số đó.

2 Chiết suất của một khối chất trong suốt, có kích thước lớn, thay

đổi theo độ cao theo quy luật n n= 0 1−γy Trong đó n và 0 γ là

các hằng số đã biết Một tia sáng chiếu tới biên của khối chất tại

điểm A và sau khi khúc xạ tại đó lập một góc α0 với trục Oy

2.1 Xác định quỹ đạo tia sáng trong môi trường và tìm độ cao cực đại mà tia sáng

đi trong khối chất

2.2 Điểm đi ra khỏi khối chất của tia sáng cách A một khoảng bằng bao nhiêu.

1.2 Tại điểm bất kì trên quỹ đạo, vận tốc của vật được phân tích thành hai thành phần

- Theo phương Ox: vật chuyển động thẳng đều với vận tốc v v x= sinα=v0sinα0 (5)

- Theo phương Oy vật chuyển động biến đổi đều với gia tốc g → =v y v c0 osα0−gt

(ta có thể tìm được vận tốc này bằng định luật bảo toàn cơ năng)

Thay (6) vào (5) được: 0 2 0 0

Đây chính là phương trình mà ta cần chứng minh

2 Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh

sáng sẽ truyền theo đường cong Chia môi trường

thành nhiều lớp mỏng song song mặt phẳng Ox

Theo định luật khúc xạ: n y( )sinα =n0sinα0

0 1 sin 0sin 0 1 sin sin 0

- Ta thấy phương trình (8) hoàn toàn trùng hợp với phương trình (7) mô tả quỹ đạo

của chuyển động ném xiên với 2

0

2g v

γ = Như vậy quỹ đạo tia sáng cũng là một đường

Parabol Các điều kiện về độ cao cũng như điểm mà tia sáng ló ra hoàn toàn xác địnhtương tự như phương trình (4)

Bài toán 1.5: Sợi quang học

Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a,

làm bằng vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên đều đặn

từ giá trị n n= 1 trên trục đến n n= 2 (với 1 n n< <2 1) theo công

thức ( ) 2 2

n n y= =n −γ y , trong đó y là khoảng cách từ

điểm có chiết suất n đến trục lõi, γ là hằng số dương Lõi

được bao bọc bởi một lớp vỏ làm bằng vật liệu có chiết suất

1 Viết phương trình quỹ đạo cho đường đi của tia sáng trong sợi quang và xác

định biểu thức tọa độ x của giao điểm đường đi tia sáng với trục Ox

2 Tìm góc tới cực đại αmax, dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõicủa sợi quang

(Trích đề thi APHO năm 2004)

Bài giải

Lời giải của đề thi này có thể tham khảo trong cuốn Chuyên đề bối dưỡng HSG vật lý của tác giả PGS.TS Vũ Thanh Khiết Ở đây tôi sử dụng sự tương tự quang cơ

để đưa ra lời giải khác cho bài toán.

= − ⇒ + = Nếu xem sự tương tự

giữa chiết suất và vận tốc trong cơ học ta sẽ thấy một phương trình tương tự là

y

v A

ϕ

αα

→ quỹ đạo chuyển động của hạt sẽ là đường hình sin.

+ Vận tốc tại điểm M trên quỹ đạo: 2 2

Trở lại bài toán

- Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyền theo đường cong.Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song mặt phẳng Ox Xét tại M(x,y)

Theo định luật khúc xạ: ( )sin ons 1sin 1

γα

γ

−

Vị trí đầu tiên có k=1

απ

1 Một hạt chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính R trong mặt phẳng thẳng đứng

Oxy Tâm I của quỹ đạo có tọa độ (R, 0) Chứng minh rằng tại một điểm bất kỳ trên

quỹ đạo, góc α tạo bởi véc tơ vận tốc của hạt và phương Ox thỏa mãn phương trình

sinα = f x( ), trong đó ( )f x là một hàm nào đó của hoành độ x Tìm hàm số đó.

2 Một chùm sáng hẹp tới đập vuông góc với một bản hai mặt song song bề dày d ở

điểm A (x = 0) Chiết suất của bản biến đổi theo công thức 0

1

n n

2 Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh

sáng sẽ truyền theo đường cong Chia môi trường

thành nhiều lớp mỏng song song mặt phẳng Oy Xét

tại M(x,y) Theo định luật khúc xạ:

trình (1) mô tả quỹ đạo của chuyển động tròn với 1

- Để tìm điểm mà tia sáng ló ra, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Bề dày bản d < R Khi đó tia sáng sẽ ló ra tại B

1.1 Xác định bán kính quỹ đạo r của vệ tinh.0

1.2 Do một tác động nhỏ, tại một thời điểm nào

đó, hướng vectơ vận tốc của vệ tinh thay đổi một góc

nhỏ, nhưng độ lớn vận tốc vẫn không thay đổi Khi đó,

hiển nhiên quỹ đạo vệ tinh sẽ là một elip Hãy xác định

sự phụ thuộc của vận tốc vệ tinh vào khoảng cách r từ

nó đến tâm hành tinh

1.3 Tìm độ biến thiên độ lớn vận tốc v∆ khi khoảng cách đến tâm hành tinhthay đổi một lượng nhỏ ∆r

2 Một khối trụ được làm bằng chất liệu trong suốt,

nhưng chiết suất của nó giảm chậm khi tăng khoảng cách

đến trục của khối trụ theo quy luật n r( )=n0(1−γr),

trong đó n và 0 γ là các hằng số đã biết Hỏi cần phải tạo

ra một chớp sáng ở cách trục khối trụ một khoảng bằng

bao nhiêu để một số tia sáng có thể lan truyền theo vòng

tròn xung quanh một tâm nằm trên trục hình trụ

Bài giải:

1.1 Khi vệ tinh chuyển động tròn quanh hành tinh, lực hấp dẫn đóng vai trò lực

hướng tâm Ta có

2 0 0

Trong đó M, m là khối lượng hành tinh và vệ tinh

- Gia tốc rơi tự do trên bề mặt hành tinh xác định bởi g G M2

0 0

gR v

0 0

2 Từ sự tương tự quang- cơ (tỉ lệ chiết suất tương tự như tỉ lệ tốc độ), ta thấy để một

số tia sáng có thể lan truyền theo vòng tròn xung quanh một tâm nằm trên trục hình

Chú ý rằng phương trình (9) có thể tìm được từ nguyên lý Fermat ::

Theo nguyên lý Fermat, thời gian để ánh sáng đi theo một vòng tròn quanh một tâm nằm trên trục hình trụ theo các bán kính r và r+∆r là như nhau

có thể cùng hoặc ngược chiều với rur

còn gur

luôn trái chiều với rur

Với ΦE là điện thông gửi qua mặt cầu

E là cường độ điện trường do điện tích

q nằm trong mặt cầu gây ra tại những

điểm trên mặt cầu

Với Φg là “thông lượng trường hấp dẫn”

gửi qua mặt cầu g là cường độ trường hấp

dẫn do khối lượng m nằm trong mặt cầu

gây ra tại những điểm trên mặt cầu

- Thế năng tương tác tĩnh điện giữa hai

điện tích q q cách nhau khoảng r là:1, 2

1 2

W k q q

r

=

- Thế năng tương hấp dẫn giữa hai chất

điểm có khối lượng m m cách nhau1, 2

khoảng r là: W G m m1 2

r

=−

Ta xét các bài toán sau

Bài toán 2.1: Coi trái đất như một quả cầu đồng chất tâm O, bán kính R, khối lượng

M Gia tốc rơi tự do ở bề mặt trái đất là g Bỏ qua ảnh hưởng sự tự quay của trái0

đất

1 Tìm gia tốc rơi tự do tại điểm N cách tâm trái đất khoảng r Vẽ đồ thị sự phụ

thuộc của g theo r

2 Người ta nối hai thành phố A, B bằng một đường hầm thẳng, chỗ sâu nhất

cách mặt đất khoảng d Hãy nghiên cứu chuyển động của một chiếc xe trong đườnghầm nếu nó được thả từ A không vận tốc ban đầu Tìm thời gian để xe đi hết đườnghầm và vận tốc cực đại mà xe đạt được Bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môitrường

Bài giải

Áp dụng sự tương tự này ta có thể giải bài toán như sau:

1 Do tính đối xứng cầu, gur

luôn hướng vào tâm O

Lấy mặt Gauss là mặt cầu tâm O trùng tâm trái đất,

3 3

ππ

Đồ thị sự phụ thuộc của g theo r như hình vẽ

2 Chọn trục Ix dọc theo AB, gốc I tại trung điểm

AB Xét khi xe ở điểm N, cách tâm khoảng r

trình dao động đều hòa của xe giữa A và B với chu kỳ

Bài toán 2.2: Ở chân một quả núi hình bán cầu, có chiều cao h, bằng vật liệu có khối

lượng riêng µ, người ta thấy con lắc bị lệch so với phương thẳng đứng một góc nhỏ

α Trái đất được coi như một thiên thể có tính đối xứng cầu Nếu h = 1600 m,

- Cường độ trường hấp dẫn (gia tốc trọng trường) do

trái đất tác dụng lên là guur0

có phương thẳng đứng

- Cường độ trường hấp dẫn (gia tốc trọng trường)

do quả núi tác dụng lên quả cầu là uurg n

có phươngnằm ngang và g n<<g0.

Góc lệch dây treo sẽ là α≈tanα=g n / g0 (1)

- Nếu quả núi là hình cầu sẽ gây ra tại vị trí đặt quả cầu một gia tốc trọng trường gur

Do tính chất đối xứng, cường độ trường hấp dẫn do ngọn núi nửa hình cầu gây ra tại

nơi đặt quả cầu là 2

2 3

n g

g = = πµGh

Thay vào (1) ta tìm được: 5( )

0

2

6,16.103

Gh

rad g

πµ

Dựa vào hiện tượng này, nhà thiên văn học người Anh Maskelyne lần đầu tiên đã ước lượng được giá trị của hằng số hấp dẫn G năm 1774, tức là trước khi Cavendish dùng cân xoắn đo được G 24 năm

Bài toán 2.3: Giả sử trong không gian giữa các vì sao có một đám mây khí hình cầu,

được tạo bởi các hạt coi như các chất điểm Các hạt của đám mây đứng yên và phân

bố đều và có khối lượng riêng là ρ Một hạt khối lượng m bắt đầu chuyển động theo

phương bán kính về phía tâm của đám mây Chứng minh rằng, nếu bỏ qua ảnh hưởngcủa tất cả các lực khác thì thời gian để một hạt chuyển động đến tâm của đám mâykhông phụ thuộc vào khoảng cách ban đầu của hạt Tìm thời gian đó

(Dựa theo đề thi chọn học sinh vào đội tuyển dự thi APHO năm 2005)

Bài giải

- Dựa vào sự tương tự giữa trường hấp dẫn và trường

tĩnh điện, ta có thể thấy sự tương tác hấp dẫn của các

hạt trong bài toán tương tự như tương tác của các hạt

mang điện tích phân bố đều

- Ta đưa vào đại lượng A(r) tạm gọi là thế của trường

hấp dẫn (tương tự như điện thế do hệ điện tích gây

ur Khi đó thế năng tương tác hấp dẫn giữa

đám mây và hạt khối lượng m là W = m.A(r) (tương tự như thế năng tương tác của điện tích điểm W = q.V(r) )

- Tìm A(r): Áp dụng định lý Oxtrogratxki – Gauss có

luôn hướng vào tâm nên urg r( )

ngược hướng với d rr Khi đó

( ) ( ) ( ) 2

23

Bây giờ ta xét chất điểm khối lượng m ban đầu cách tâm đám mây khoảng R và

có vận tốc bằng 0 Khi cách đám mây khoảng r có vận tốc v Theo định luật bảo toàn

Thay v r v r= '; '= ", đơn giản được: " 4 0

G

πρ

∆ = = không phụ thuộc vào khoảng cáchđến O

II- Sự tương tự giữa chuyển động của hạt mang điện trong trường điện từ và chuyển động của một điểm trên vành bánh xe.

Bài toán 2.4: Có hai trường đều Eur và Bur vuông góc nhau

Ta chọn hệ trục tọa độ OXYZ sao cho trục OY hướng theo

E

ur

còn trục OZ hướng theo Bur Một hạt nhỏ khối lượng m,

mang điện tích q (q > 0) được thả từ O không vận tốc ban

đầu (hình vẽ) Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực trong quá

trình hạt chuyển động Hãy xác định:

1 Phương trình chuyển động của hạt

2 Động năng cực đại của hạt.

3 Khoảng cách giữa hai điểm gần nhất trên quỹ đạo mà tại đó vận tốc của hạtbằng 0

4 Quy luật biến đổi của vận tốc theo thời gian

Bài giải

1 Xét chuyển động của hạt trong hệ quy chiếu chuyển

động với vận tốc V1 = E/B không đổi song song với trục

OX Với vận tốc V1 như trên, lực Lorenzt f = qV1B cân

bằng với lực điện qE Trong hệ này có thể xem hạt chỉ chịu

tác dụng của lực Lorenzt ứng với thành phần vận tốc –V1

Vì lực Lorenzt tác dụng lên hạt luôn vuông góc với vận tốc

của hạt nên hạt sẽ chuyển động tròn đều với vận tốc V1

2 Quỹ đạo của hạt là đường Xiclôit Chuyển động của hạt giống như chuyển động