Giải bài tập Giải tích 1

Trong quá trình đánhmáy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D nói thể thôi chứ saithì mặc xác chứ lấy đâu time

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

-LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58

( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )

Hà Nội, 9/2013

LỜI NÓI ĐẦU

Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 nàythì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :-( Trong quá trình đánhmáy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =))mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thôi chứ saithì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v) Trong này cònmột số bài mình chưa làm được :-( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa:D Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, học lạimôn này có được điểm "F " =))

Chúc các bạn học tốt !

Chương 1HÀM MỘT BIẾN SỐ1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục

⇒ y ∈ −π

2,

π2

2(1 − x)2

c y = 12 (ex+ e−x) , (x > 0)

D = [0, +∞)

Chứng minh Giả sử

trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ Khi đó

f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2)(1) + (2) ta được

⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx

⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx

f (x) không tuần hoàn

c f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x

Ta có

sin x tuần hoàn chu kỳ 2π

sin 2x tuần hoàn chu kỳ π

sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π3

Suy ra f (x) tuần hoàn chu kỳ là BCNN của 2π, π,2π3 là 2π

100x 99 −2 50x 49 −2 = 9848 = 4924

b lim

x→a

(x n −a n )−na n−1 (x−a)

(x−a)2 , n ∈ Nlim

x→a

(x n −a n )−na n−1 (x−a)

(x−a)2L

√ x+1

√ x+1 = lim

x→+∞

√ x

√(x 3 +x 2 −1)2+x √3

= mα + βn

x + 1 − sin√

x

=

2 sin

√ x+1− √

x

√ x+1+ √

x 2

≤ 2

e 1

− 23

eR1

x2ln xdx

= −e33 − 23

eR1

1 − 13

3R1

sin2x cos x(1/cos 2 x)2dx

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Tích phân trở thành

t =

rx

1 1−t 2

dt

√ 1−t 2

0

cos ϕdϕcos2ϕ |cos ϕ| =

π/3Z

0

dϕcos2ϕ = tan ϕ|

= n1cosnx sin nx

π/2

π/2R0cosn−1x sin x sin nxdx

= 12In−1 − 12

π/2R0cosn−1x cos (n + 1) xdx

f (cos x)dxπ/2

R

0

f (sin x)dx = −

0Rπ/2

f (cos x)dx

2f (sin x)dxĐặt x = π − t, ta có

f (sin x) dx

9 Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b] Khi đó f2(x), g2(x) và

f (x).g(x) cũng khả tích trên [a, b] Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)

bRa

f (x)g(x)dx

!2

≤

bRa

f2(x)dx

! bRa

f gdx + β2

bRa

f2dx

! bRa

f2dx

! bRa

g2dx

!

2.3 Tích phân suy rộng

10 Xét dự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân saua.

−∞

xexdx = −

0Z

0

cos xdx = lim

A→+∞sin x|A0 = lim

A→+∞sin A

Vì không tồn tại lim

A→+∞sin A suy ra phân kỳ





aZ

0

dx(x2 + 1)2 +

+∞

Z

a

dx(x2 + 1)2

Ta có tan x−x1 có bậc 3 so với x1 do đó tích phân

1R0

1 tan x−xdx phân kỳ

√x

x ∼ √1

x, x → 0suy ra vô cùng lớn

√ x

x do đó tích phân1

Xét y = e−x2 có y0 = −2xe−x2, nên y0 < 0 khi x > 0 Do đó hàm y nghịch

biến khi x > 0 Suy ra e−x2 < 1 khi x > 0 hay e−x2x2 < x12 Mặt khác

+∞R1

Tích phân

+∞

Ra

f (x)dx hội tụ nhưng f (x) không nhất thiết phải dần đến

0 khi x → +∞ Chẳng hạn: Xét tích phân

+∞

Rasin(x2)dx

Đặt x2 = t > 0 ⇒ dx = dt

2 √

t, ta có

x → +∞, hay f (x) = sin(x2) không có giới hạn khi x → +∞.

13 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, b] và lim

x→+∞f (x) = A 6= 0 Hỏi

+∞

R0

f (x)dx

có hội tụ không?

2.4 Ứng dụng của tích phân

14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0

S =

1Z

0(2x − x) dx +

√ 2Z

√4x − x2 −√2x
dx

= 2

h(2−x) 2

√4x − x2 + 42 arcsin2−x2

i

2 0

− √223x√

x 2 0

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ3.1 Hàm nhiều biến số

1 Tìm miền xác định của các hàm số sau

n2

= 0 → 0Lấy xn = 0, yn = n1 → 0 khi n → ∞

Khi đó f (xn, yn) = −

1 n2 1 n2

= −1 → −1Vậy không tồn tại giới hạn f (x, y) khi x → 0, y → 0

Hàm f (x, y) = x arctan yx
2 liên tục tại mọi x 6= 0 Ta có

f (x, y) = x

 y−y33!+o(y 3)−yx−x33!+o(x 3)

x 2 +y 2

= xy(x

2 −y 2)3!(x 2 +y 2 ) + xo(y

2 −x 2)sin y−y(x2+y2)cos x+2xy sin x

(x 2 +y 2 )2

fx0(x, y) = (y

2 −x 2)sin x−y(x2+y2)cos y+2xy sin y

(x 2 +y 2 )2

Vậy fx0(x, y), fy0(x, y) liên tục trên R2 \ (0, 0).

5 Giả sử z = yf (x2− y2), ở đây f là hàm số khả vi Chứng minh rằng đối

với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn

x 2 y 2 + x2 y2

yx



sinxy cos yxd

yx

x+y x−y

trong đó ∆x = 0, 02, ∆y = 0, 05.

fx0(x, y) = 2x

33

√(x 2 +y 2 )2, fy0(x, y) = 2y

33

√(x 2 +y 2 )2

b x + y + z = e2, tính zx0, zy0

F = ez − x − y − z = 0

Fx0 = −1, Fy0 = −1, Fz0 = ez − 1

⇒ zx0 = zy 0 = ez1−1

⇒ zx0 = yz−xz2 −xy2, zy0 = xz−yz2 −xy2

10 Cho u = x+zy+z, tính ux0, uy0 biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác địnhbởi phương trình

(zez + ez) zx0 = xex+ ex ⇒ zx0 = e

x(x + 1)

ez(z + 1)tương tự

zy0 = e

y(x + 1)

ez(z + 1)Suy ra

Lấy đạo hàm theo x 2 vế các phương trình trên ta được

(x 2 +y 2 )3

zxy00 = 2xy(x

2 +y 2)(x 2 +y 2 )4 = 2xy

Tại M (0, 0) thì B2 − AC = −4 < 0 vậy M (0, 0) là điểm cực trị và

A(M ) = 2 > 0 suy ra M (0, 0) là điểm cực tiểu và zmin = −1

L (x, y, λ) = 1x + 1y + λ

1

x 2 + y12 − a12

, a > 0Tìm điểm tới hạn

2 + 34a 3 √ 2



dx2 = dx2 = dx2

a 3 √

2 > 0 ⇒ M1 là cực tiểuTại M2 √

2a,√2a
, λ = −√ a

2 :

d2L = 4



1 2a 3 √

2 − 34a 3 √ 2



dx2 = dx2 = − dx2

a 3 √

2 < 0 ⇒ M2 là điểm cực đại

b z = xy với điều kiện x + y = 1

Do x + y = 1 ⇒ y = 1 − x Bài toán đưa về tìm cực trị hàm một biến

Trên x + y = 6 có z = 2x3− 12x2 khi x ∈ [0, 6] thì z đạt giá trị max bằng

0 tại x = 0, x = 6 và min bằng -64 tại x = 4 Vậy zmax = 4 tại x = (2, 1)

, 0 ≤ y ≤ π

2 tại (π3,π3) và zmin = 0 tại (0, 0)

 (10 0)

= (1 + x)

1< /small>

√ 1? ??x

 (10 0)

+ 10 0

1< /small>

√ 1? ??x

(−x+2)n +1< /sup>...

q 1+ √

1 x

r 1+

L

= limx? ?1< /small>

ln x +1? ? ?1< /small>

ln x +1? ??x1< /sup>... x +1? ??x1< /sup>

L

= limx? ?1< /small>

1 x 1< /small>

x2)? ?1+ 1< /small>

2 x2 −o3( 1< /small>