CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

Các bài toán về đồ thị đạo hàm trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 là một dạng toán tương đối lạ với học sinh trường THPT. Đây là dạng toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao, yêu cầu học sinh có kĩ năng tổng hợp, đánh giá , phán đoán để tìm ra phương án giải quyết. Với mong muốn cải thiện năng lực nhận thức, giúp học sinh dần tự tin, có định hướng khi đứng trước một bài toán mà các em vẫn nghĩ là khó, tôi đã tập hợp một số dạng bài tập về đồ thị đạo hàm nhằm làm tư liệu giảng dạy.

4 Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết 3

PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN

NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

III Một số bài tập tương tự 9

PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ

III Một số bài tập tương tự 19

PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI VỀ GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

III Một số bài tập tương tự 28

PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 32

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn chuyên đề

Các bài toán về đồ thị đạo hàm trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 là một dạngtoán tương đối lạ với học sinh trường THPT Đây là dạng toán thuộc mức độ vận dụng và vậndụng cao, yêu cầu học sinh có kĩ năng tổng hợp, đánh giá , phán đoán để tìm ra phương án giảiquyết

Với mong muốn cải thiện năng lực nhận thức, giúp học sinh dần tự tin, có định hướng khiđứng trước một bài toán mà các em vẫn nghĩ là khó, tôi đã tập hợp một số dạng bài tập về đồ thịđạo hàm nhằm làm tư liệu giảng dạy

Phạm vi của chuyên đề là một số bài toán về đồ thị đạo hàm

b) Đối tượng áp dụng chuyên đề

Tôi đã nghiên cứu và hoàn thiện chuyên đề từ tháng 8 năm 2019 đến tháng 10 năm 2019

và đang áp dụng trong giảng dạy chuyên đề cho học sinh trường Trung học phổ thông Phạm Công Bình

4 Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết

Đối với HS của chúng tôi, các em thường không có định hướng hoặc không phát hiện ra

ý đồ của đề bài ra trong các bài toán mà đề bài cho đồ thị của đạo hàm chứ không phải là đồ thịcủa hàm số như hay gặp, một số khác thương nhầm lẫn đó là đồ thị của hàm số, bên cạnh đó, là

kĩ năng chuyển từ đồ thị đạo hàm sang bảng biến thiên của các em còn lúng túng,

Để phần nào cải thiện kĩ năng làm bài cho HS; tôi đã sưu tầm, biên soạn thành bộ tài liệugiảng dạy trong 9 tiết với các dạng bài tập từ dễ đến khó, sau các bài tập ví dụ là các bài tậptương tự để học sinh rèn luyện Nội dung bao gồm một số dạng bài về đồ thị đạo hàm trong một

số bài về tính đơn điệu, cực trị và giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN

CỦA HÀM SỐ

I Lý thuyết

1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảnghoặc một đoạn

 Hàm số y= f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu "x x1, 2Î K x, 1< Þx2 f x( )1 <f x( )2 .

 Hàm số y= f x( )nghịch biến (giảm) trên K nếu "x x1, 2Î K x, 1< Þx2 f x( )1 > f x( )2 .

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x ¢ ³ ( ) 0, " Î x K

 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x ¢ £ " Î ( ) 0, x K

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu f x ¢ > " Î ( ) 0, x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K

 Nếu f x ¢ < " Î ( ) 0, x Kthì hàm số nghịch biến trên khoảng K

 Nếu f x ¢ = " Î ( ) 0, x Kthì hàm số không đổi trên khoảng K

 Chú ý.

 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y= f x( )liên tụctrên đoạn [a b ; ]và có đạo hàm f x ¢ > " Î ( ) 0, x Ktrên khoảng (a b ; )thì hàm số đồngbiến trên đoạn [a b ; ].

 Nếu f x ¢ ³ ( ) 0, " Î x K( hoặc f x ¢ £ " Î ( ) 0, x K) và f x ¢ = ( ) 0chỉ tại một số điểm

hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K(hoặc nghịch biến trên khoảng K )

II Một số dạng bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên ¡ Hàm số y = f x ¢ ( ) có đồ thị

như hình vẽ dưới đây:

Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f x ( )?

ê = ë

- Mặt khác: Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) nằm phía trên trục Ox ứng với( 1;0 ) ( 1; )

x Î - È +¥ ; đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) nằm phía dưới trục Ox ứng với( ;1 ) ( 0;2 )

trên khoảng (- ¥ ;1 ) ( È 0;2 )

Vậy bảng biến thiên của hàm số y = f x ( ) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+) Hàm số y = f x ( ) đồng biến trên các khoảng (- 1;0 )và (2;+¥ )

+) Hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên các khoảng (- ¥ - ; 1 ) và (0;2 ).

Bài tập 2: Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như

=-¢ = Û

ê = ë

+ Mặt khác: f x ¢ > ( ) 0 trên khoảng (- 2;1 )và (1;+¥ )

( ) 0

f x ¢ < trên khoảng (- ¥ - ; 2 ) +Vậy bảng biến thiên của hàm số y = f x ( ) như sau:

Tương tự như bài tập 1; từ đồ thị của hàm số y = f x ¢ ( ) ta có hàm số y = f x ( )+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 2; +¥ ).

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ - ; 2 ).

Trong các bài tập trên, để xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = f x ( )thì học sinh

cần có kĩ năng đánh giá về dấu của f x ¢ ( ) dựa vào đồ thị của nó Đối với những bài yêu cầu

xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm y = f u ( ) dựa vào đồ thị củay = f x ¢ ( ) thì học sinh

cần nhớ đến công thức đạo hàm của hàm hợp Ta xét các bài tập sau đây.

Bài tập 3: (Trích đề thi thử THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số y = f x ( ) có

đạo hàm liên tục trên ¡ , biết rằng hàm số y = f x ' ( ) có đồ thị như hình dưới

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( 2 - x ) + 2019

Bảng xét dấu y ' =- f ' 2 ( - x ):

-4 2

Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f x ( 2- 1) nghịch biến trên khoảng ( )0;1 .

Qua các bài tập trên , ta có nhận xét như sau:

Bài toán đề cập tới chủ đề tính đơn điệu của hàm hợp không chứa tham số Nội dung bài toán:“Biết đồ thị hàm số y=f x¢( ) xét tính đơn điệu của hàm số

( ) ( ( ) ) ( )

Hướng giải bài toán: Ta cần sử dụng các tính chất sau:

* Tính chất về điều kiện để một hàm số đơn điệu trên 1 khoảng K

a Nếu y=g x¢( ) =u x f u x¢( ). ¢( ( ) ) ³ 0," Îx K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y=g x( ) =f u x( ( ) ) đồng biến trên K

b Nếu y=g x¢( ) =u x f u x¢( ) ¢( ( ) ) £ 0, " Îx K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y=g x( ) =f u x( ( ) ) nghịch biến trên K

c Nếu y=g x¢( ) =u x f u x¢( ) ¢( ( ) ) +h x¢( ) ³ 0, " Îx K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y=g x( ) =f u x( ( ) ) +h x( ) đồng biến trên K

d Nếu y=g x¢( ) =u x f u x¢( ) ¢( ( ) )+h x¢( ) £ 0, " Îx K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y=g x( ) =f u x( ( ) ) +h x( ) nghịch biến trên K

Ngoài ra, trong một số dạng bài, ta cần sử dụng: Tính chất về sự so sánh giá trị của hai hàm số trên một khoảng K: Nếu trên khoảng K mà đồ thị hàm số y=f x( ) nằm phía trên đồ thị y=g x( )thì f x( ) >g x( )," Îx K

Ta xét bài tập áp dụng tính chất trên:

Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3- 2019) Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục

trên ¡ và đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình bên Tìm khoảng đồng biến của hàm số

= - 1 + 2- 2

Bài giải: Ta có y=f x( - 1)+x2- 2x

Khi đó y¢=f x¢( - 1)+2x- 2 Hàm số đồng biến khi y¢³ 0

Bài tập 2: Cho hàm số f x ( ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số f x ' ( ) là đường cong trong

hình bên Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Bài tập 3: (Trích đề thi thử chuyên Hưng Yên Lần 3-2019) Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm

trên ¡ , thỏa mãn f ( ) - 1 = f ( ) 3 = 0 và đồ thị của hàm số y = f x ¢ ( ) có dạng nhưhình dưới đây Tìm khoảng nghịch biến của hàm số ( ( ) )2

f(x)=-X^3+3X^2+X-3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

Bài tập 4: (Trích đề thi thử Sở Bắc Ninh 2019) Cho y = f x ( ) là hàm đa thức bậc 4, có đồ thị

hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ Tìm khoảng đồng biến của hàm số

y

x O

Bài tập 5: (Trích đề thi thử lần 5 2019-báo THTT) Cho hàm số bậc bốn y = f x ( ) có đồ thị

hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ bên Hàm số g x ( ) = f x ( 2+ - x 1 ) đồng biến trênkhoảng nào ?

Bài tập 6: (Trích đề thi thử Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R và có đồ

thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ dưới.

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f x ( ) - x2+ 2 x

Hướng dẫn giải bài tập tương tự

Bài tập 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên ¡ , thỏa mãn f ( ) - 1 = f ( ) 3 = 0 và đồ thị

của hàm số y = f x ¢ ( ) có dạng như hình dưới đây Tìm khoảng nghịch biến của hàm

x y

Giải: Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y = f x ( ):

Bài tập 4: Cho y = f x ( ) là hàm đa thức bậc 4, có đồ thị hàm số y = f x ¢ ( )như hình vẽ Tìm

khoảng đồng biến của hàm số y = f ( 5 2 - x ) + 4 x2- 10 x

3

1

2 1

y

x O

Ngoài phương pháp như đã làm ở trên, ta có thể làm theo cách khác như sau:

Từ đồ thị của y = f x ¢ ( ) ta suy ra y = f x ¢ ( ) có hai điểm cực trị A ( ) ( 0;1 , B 2;5 )

3

b a

a b

ì = ïï ïí

ïïî

1 3

b a

ì = ïï

ê = ê

Ta có bảng xét dấu của g x ¢ ( )

Bài tập 5: Cho hàm số bậc bốn y = f x ( ) có đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ bên Hàm

số g x ( ) = f x ( 2+ - x 1 ) đồng biến trên khoảng

Giải: Ngoài cách giải như các BT nêu trên, ta có thể làm theo cách khác như sau:

Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( )( )2

f x ¢ = a x + x - với a>0

Bài tập 6: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ :

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f x ( ) - x2 + 2 x

f x ¢ và đường thẳng ( ) : D y = 2 x - 2 (như nhình vẽ dưới).

Dựa vào đồ thị ta thấy ( )

ê = ë

Dấu của g x ¢ ( ) trên khoảng ( ; )a b được xác định như sau:

Nếu trên khoảng ( ; )a b đồ thị hàm f x ¢ ( ) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng( ) : D y = 2 x - 2 thì g x ¢ ³ ( ) 0 " Î x ( ; ) a b

Nếu trên khoảng ( ; )a b đồ thị hàm f x ¢ ( ) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng

( ) : D y = 2 x - 2 thì g x ¢ £ " Î ( ) 0 x ( ; ) a b Dựa vào đồ thị ta thấy trên ( 1;1)- đồ thị hàm f x ¢ ( ) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng ( ) : D y = 2 x - 2 nên

PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ

I lý thuyết

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0Î K Ta nói:

 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a b ; ) chứa x0 sao cho

( a b ; ) Ì Kvà f x ( ) > f x ( )0 , " Î x ( a b ; \ ) { } x0 Khi đó f x ( )0 được gọi là giá trị cực

tiểu của hàm số f .

 x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a b ; ) chứa x0 sao cho

( a b ; ) Ì Kvà f x ( ) < f x ( )0 , " Î x ( a b ; \ ) { } x0 Khi đó f x ( )0 được gọi là giá trị cực

đại của hàm số f .

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực

trị phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm

số.

 Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm ( x f x0; ( )0 ) được gọi là điểm cực trị của đồ

thị hàm số f .

* Nhận xét:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x ( )0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

hàm số f trên tập D; f x ( )0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một

khoảng (a b ; ) nào đó chứa x0hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn

tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f x ( )0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên

khoảng (a b ; )

 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tậpK Hàm số có thể

không có cực trị trên một tập cho trước

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f x ( )đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu y = f x ( ) có đạo hàmtại điểm x0 thì f x ¢ ( )0 = 0.

Chú ý:

 Đạo hàm f x ¢ ( )có thể bằng 0 tại điểm x0nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm

0

x

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặctại đó hàm số không có đạo hàm

 Nếu f x ¢ < ( ) 0 trên khoảng (x0- h x ; 0) và f x ¢ > ( ) 0 trên khoảng (x x0; 0+ h ) thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x ( )

4 Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x ¢ ( )

 Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1;2; ) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm

số liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x ¢ ( ) Nếu f x ¢ ( ) đổi dấu khi đi qua

i

x thì hàm số đạt cực trị tại xi.

Định lí 3:

Giả sử y = f x ( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x0- h x ; 0+ h ) với h>0. Khi đó:

 Nếu f x ¢ ( )0 = 0, f ¢¢ ( ) x0 < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.

 Nếu f x ¢ ( )0 = 0, f ¢¢ ( ) x0 > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x ¢ ( )

 Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1;2; ) của phương trình f x ¢ = ( ) 0.

 Bước 3: Tính f ¢¢ ( ) x và tính f ¢¢ ( ) xi .

 Nếu f ¢¢ ( ) xi < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi.

 Nếu f ¢¢ ( ) xi > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài tập 1: Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên ¡ có đồ thị của hàm y = f x ¢ ( )

như hình vẽ đưới đây Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f x ( )

Bài giải: Từ đồ thị của hàm số đã cho nhận thấy dấu của đạo hàm như bảng biến thiên của hàm

Bài tập 3: (Trích đề thi thử sở GD-ĐT Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = f x ( ) là hàm đa thức

có f ( - 2 ) < 0 và đồ thị hàm số y = f x'( ) như hình vẽ bên dưới

Số cực trị của hàm số g x ( ) = f x ( ) là bao nhiêu?

Bài giải: Vì y = f x ( )là hàm đa thức nên xlim®+¥ y =±¥ và xlim®- ¥ y =±¥

Từ đồ thị hàm số y = f x'( ) và f ( - 2 ) < 0, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x ( ) = f x ( ) có 3 cực trị

Bài tập 4: (Trích đề thi thử ĐHSP HN 2019) Cho hàm số y = f x ( ) xác định và liên tục trên

¡ có đồ thị đạo hàm y = f x ¢ ( ) như hình bên

Tìm điểm cực đại của hàm số y = f x ( ) - x2- x

Bài giải: Ta có: y ¢ = f x ¢ ( ) ( - 2 x + 1 )y ¢ = Û 0 f x ¢ ( ) = 2 x + 1.

Từ đồ thị ta thấy x=0 là nghiệm đơn của phương trình y¢ = 0

Ta có bảng biến thiên trên (- ¥ ;2 ):

Từ bảng biến thiên  hàm số đạt cực đại tại x=0

Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3-2019) Cho hàm số f x ( ) có đồ thị hàm số

( )

'

y = f x được cho như hình vẽ bên Hàm số ( ) 1 2 ( )

0 2

ê = ë

( Nhận xét: x=2 là nghiệm bội lẻ, x=0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn tuy nhiên không ảnh hưởng đáp số bài toán)

Suy ra hàm số y = g x ( ) có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng ( - 2;3 ).

Các bài tập tương tự:

Bài tập 1: Hàm số yf x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên

y = f'(x)

x y

x4

x1

O

x2 x3

Tìm số điểm cự đại, cực tiểu của hàm số yf x 

Bài tập 2: (Trích đề thi thử THPT Ngô Quyền-Hà Nội 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm

liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) 5 - x là bao nhiêu

Bài tập 3:Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như

hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) + 2 x là bao nhiêu?

Bài tập 4: (Trích đề thi thử THPT Lê Xoay lần 1-2019) Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có

đạo hàm trên [0;6 ] Đồ thị của hàm số y = f x ¢ ( ) trên đoạn [0;6 ] được cho bởi hìnhbên dưới Hỏi hàm số ( ) 2

y = ë é f x ù û có tối đa bao nhiêu cực trị?

Bài tập 5: Cho hàm số y = f x ( ) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f x ' ( ) Hỏi đồ thịcủa hàm số ( ) ( ) ( )2

g x = f x - x - có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn giải bài tập tương tự

Bài tập 1: Hàm số yf x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.Tìm số điểm cực

đại, cực tiểu của hàm số yf x 

y = f'(x)

x y

x4

x1

O

x2 x3

Bài giải: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x , ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên K, hàm số yf x  có điểm cực đại là x2 và điểm cực tiểu là x1,

Bài tập 2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như

hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) 5 - x là bao nhiêu?

Bài giải: Ta có y = f x ( ) 5 - x Suy ra y ¢ = f x ¢ ( ) 5 - .

Số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) 5 - x là số nghiệm bội lẻ của phương trình

Bài tập 3: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như

hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) + 2 x là bao nhiêu?

x

é ê

+ g x ¢ > ( ) 0 Û f x ¢ ( ) >- 2

1

x x

Bài tập 4: Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có đạo hàm trên [ 0;6 ] Đồ thị của hàm số

( )

y = f x ¢ trên đoạn [0;6 ] được cho bởi hình bên dưới Hỏi hàm số y = ë é f x ( ) ù û2 có

tối đa bao nhiêu cực trị?

Do đó, phương trình y¢ = 0 có tối đa 7 nghiệm phân biệt và đều là nghiệm đơn

Vậy hàm số y = ë é f x ( ) ù û2 có tối đa 7 cực trị.

Bài tập 5: Cho hàm số y = f x ( ) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f x ' ( ) Hỏi đồ thị

1 0

∞

h(x) h'(x) x

Đồ thị hàm số g x ( ) có nhiều điểm cực trị nhất khi h x ( ) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h x ( ) cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm

số g x ( ) có tối đa 11 điểm cực trị.

PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I Lý thuyết

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f x ( ) trên D nếu:

2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính f x ¢ ( ) và tìm các điểm x x1, , ,2 xnÎ D mà tại đó f x ¢ = ( ) 0 hoặc hàm

số không có đạo hàm

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1: