Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thường quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất. Các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc đọc được các thông tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị của chúng. Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị. Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cách biến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thị của hàm số đã cho. Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin về hàm số dựa vào đồ thị đã cho. Từ đó các em giải được các bài toán về điểm cực trị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai thác các thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan. Qua thực tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bài toán theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận, làm quen và thành thạo các dạng toán này. Đề tài này dựa trên cơ sở của chuyên đề “ Áp dụng đồ thị vào bài toán xét sự biến thiên và cực trị của hàm số ” của chính tác giả, đã tham gia báo cáo chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 20192020 và đã được hội đồng thẩm định cấp tỉnh lựa chọn vào nhóm 8 chuyên đề được tham gia báo cáo cấp tỉnh. Trên cơ sở những ghóp ý quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo trong các cuộc hội thảo cấp trường, cấp cụm và cấp tỉnh tôi đã có tiếp thu và đã chỉnh sửa, đề xuất thêm các bài tập tự luyện cho học sinh rèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị. Xin trân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp đã có những ý kiến ghóp ý cho đề tài trong thời gian qua. Do còn hạn chế thời gian chuẩn bị cho đề tài cũng như năng lực chuyên môn nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày. Kính mong các Thầy, Cô đọc và góp ý để báo cáo này được hoàn chỉnh hơn.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Đồ thị hàm số là một khái niệm thể hiện hình ảnh trực quan của hàm số,thông qua đồ thị hàm số mà chúng ta nhận ra được một số tính chất: Tính đồngbiến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm

số, nghiệm (số nghiệm) của một phương trình hay bất phương trình liên quan,

Trong thời gian gần đây, khi hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang thitrắc nghiệm khách quan thì các bài toán liên quan đến đồ thị rất được chú ý vàthường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi HSG ở các tỉnh trên cả nước.Các bài toán có yếu tố đồ thị xuất hiện ở nhiều dạng toán khác nhau như: Sựbiến thiên của hàm số, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất củahàm số, nghiệm của phương trình – bất phương trình, tích phân – diện tích hìnhphẳng, Phạm vi của đề tài này chỉ đề cập đến hai dạng toán đó là bài toán về

sự biến thiên và bài toán về cực trị của hàm số

Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thườngquen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầmtay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất Các em gặp rất nhiều khó khăntrong việc đọc được các thông tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị

của chúng Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số

dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em

học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị.Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cáchbiến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thịcủa hàm số đã cho Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin vềhàm số dựa vào đồ thị đã cho Từ đó các em giải được các bài toán về điểm cựctrị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai tháccác thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan Qua thực

tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bàitoán theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán này Đề tài này dựa trên cơ sở của chuyên

đề “ Áp dụng đồ thị vào bài toán xét sự biến thiên và cực trị của hàm số ” của

chính tác giả, đã tham gia báo cáo chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học2019-2020 và đã được hội đồng thẩm định cấp tỉnh lựa chọn vào nhóm 8 chuyên

đề được tham gia báo cáo cấp tỉnh Trên cơ sở những ghóp ý quý báu của cácThầy giáo, Cô giáo trong các cuộc hội thảo cấp trường, cấp cụm và cấp tỉnh tôi

đã có tiếp thu và đã chỉnh sửa, đề xuất thêm các bài tập tự luyện cho học sinhrèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị Xin trân thànhcảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp đã có những ý kiến ghóp ýcho đề tài trong thời gian qua

Do còn hạn chế thời gian chuẩn bị cho đề tài cũng như năng lực chuyênmôn nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thứctrình bày Kính mong các Thầy, Cô đọc và góp ý để báo cáo này được hoànchỉnh hơn

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

* Đối tượng nghiên cứu:

Một số dạng toán về các phép biến đổi đồ thị thường gặp, các bài toánnhận dạng, đọc thông tin và xử lý thông tin về hàm số khi biết đồ thị của hàm sốliên quan Áp dụng đồ thị vào các bài toán về cực trị, tính đơn điệu của hàm sốthường gặp trong chương trình THPT

* Phạm vi nghiên cứu:

Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phùhợp với nội dung chương trình thi THPT Quốc gia môn toán trung học phổthông.

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đề xuất, tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự từ

dễ đến khó một cách hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách tự nhiên,không gặp nghiều khó khăn và theo một hệ thống Từ đó tạo được hứng thú chohọc sinh khi gặp dạng toán này

- Đưa ra một số nhận xét, đánh giá chủ quan có hệ thống về cách tiếp cậnlời giải trong các dạng toán cơ bản, điển hình

1.5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu

- Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán

- Thực nghiệm sư phạm qua công tác giảng dạy học sinh đại trà, công tác bồi dưỡng ôn luyện thi THPT QG của cá nhân tôi trong thời gian 3 năm học, từnăm 2017 – 2018 đến năm học 2019 – 2020

Với mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu đã nêu ở trên, đề tài “

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

” chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp như phần phạm vi đề tài

đã nêu ra Vì lý do còn hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy, đềtài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót trong cấu trúc cũng như nội dung.Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho nhận xét, góp ý đề

đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

2 TÊN SÁNG KIẾN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

3 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: ………

4 CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU

- Sáng kiến được tác giả áp dụng lần đầu: Tháng 06 năm 2018

- Sau mỗi năm sáng kiến đã được tác giả bổ sung, chỉnh sửa để đáp ứngvới yêu cầu giảng dạy của giáo viên cũng như yêu cầu học tập của học sinh

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

PHẦN 1 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN.

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Vai trò của hoạt động giải bài tập toán

Trong quá trình dạy học nói chung, cũng như dạy học môn Toán nói riêng,việc phát triển tư duy cho học sinh là một trong những khâu quan trọng vàxuyên suốt trong nội dung, chương trình giảng dạy Người giáo viên không chỉtruyền thụ những tri thức dưới dạng sẵn có mà cần phải quan tâm nhiều đến việcdạy phương pháp, dạy cách đi tới tri thức mới cho học sinh Một trong nhữngbiện pháp để phát triển tư duy học sinh đó là giải các bài tập toán Giải các bàitoán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học Chức năng của bài toánkhông chỉ bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng Chính học sinh tự mìnhxây dựng các kiến thức toán học cho chính bản thân mình thông qua hoạt độnggiải các bài toán

1.2 Các bước của hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo năm bước sau đây:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

- Đọc kĩ đề, nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích rõ được các dữ kiện đã cho,

điều kiện gắn liền với bài toán và hiểu được vấn đề mà bài toán yêu cầu giải quyết.

- Tóm tắt bài toán, đổi đơn vị các đại lượng cho phù hợp.

- Vẽ hình trong các bài toán hình học, hoặc mô hình minh họa.

Bước 2 Tìm kiếm phương hướng giải (Chương trình giải)

Đây là vấn đề khó khăn lớn nhất đối với đa số học sinh khi đứng trước một bài toán, học sinh thường không biết “ khởi động ” như thế nào, không biết bắt đầu từ đâu Thông thường học sinh biến đổi một cách tùy tiện, cầu may, mà không có định hướng cụ thể, mặc dù các em có thể đã hiểu được những dữ kiện

và yêu cầu của bài toán.

Một số biện pháp giúp học sinh tìm phương hướng:

- Nhận biết kiến thức: Huy động mọi kiến thức liên quan đến giả thiết vàkết luận của bài toán Phân tích theo hướng có lợi, sắp xếp và chắp nối cáckiến thức để tìm ra cách giải

Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn.

Trong trường hợp có nhiều cách giải, giáo viên có thể đề nghị học sinh tiến hành giải theo các cách khác nhau đã phát hiện ra Từ đó phân tích để đi đến một cách giải tối ưu cho bài toán

Bước 4 Tiến hành soạn lời giải.

Đây cũng là một bước khó khăn đối với học sinh, nhiều học sinh khôngbiết cách trình bày lời giải một cách ngắn gọn, rõ ràng và chính xác, khôngnhững thế đôi khi họ còn mắc sai lầm Chính vì thế việc rèn luyện kỹ năng trìnhbày cho học sinh là rất quan trọng

Bước 5 Kiểm tra, đánh giá kết quả.

Thông thường học sinh không quan tâm nhiều đến việc kiểm tra, đánh giákết quả, hoặc đơn giản chỉ dừng lại ở việc đối chiếu một cách rất trực quan các

đáp số với nhau Khâu kiểm tra, đánh giá kết quả là rất quan trọng vì nó baohàm nhiều mục đích khác:

- Kiểm tra các công thức và kết quả tính toán.

- Kiểm tra các suy luận có hợp logic và chặt chẽ không, kết quả có thích đáng không

- Phát hiện cách giải khác đôi khi ngắn gọn hơn, hay hơn.

- Đánh giá phương pháp giải, hệ thống dạng toán điển hình.

- Phát hiện các trường hợp đặc biệt, khái quát hay mở rộng bài toán.

Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập D Khi đó:

- Nếu f x'( ) 0,  �x D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D.

- Nếu f x'( ) 0,  �x D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D.

- Nếu f x'( ) 0,  �x D thì hàm số là hàm hằng số trên tập D.

2.2.4 Định lí 2

Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập D Khi đó:

- Nếu f x'( ) 0,� x D� và f x'( ) 0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm

' 0

y  có nghiệm kép y' 0  vô nghiệm

a > 0

Đồ thị hàm số y f x( ) có được bằng cánh lấy đối xứng với đồ thị (C)

Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên trên của trục Ox, kể cả trục Ox.

Phần 2: Phần đối xứng qua Ox với phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox.

Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên phải của trục Oy, kể cả trục Oy.

Phần 2: Phần đối xứng với Phần 1 qua trục Oy

2.5.5 Đồ thị hàm y f x( )a

Đồ thị hàm y f x( )a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ(0; )

ur  a .

+ Nếu a � tịnh tiến (C) lên phía trên a đơn vị.0

+ Nếu a  tịnh tiến (C) xuống phía dưới a0  đơn vị

2.5.6 Đồ thị hàm số y f x a(  )

Đồ thị hàm số y f x a(  ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theovectơ ur ( ;0)a .

+ Nếu a 0 tịnh tiến (C) sang trái a đơn vị.

+ Nếu a 0 tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị

2.6 Một số điểm cần chú ý khi đọc các thông tin trên một đồ thị hàm số

2.6.1 Khi biết đồ thị của hàm số y f x 

- Khi biết đồ thị của hàm số (hoặc bảng biến thiên ) chúng ta cần phảinhận dạng được các yếu tố sau đây:

+ Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x 

+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x .

+ Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định

+ Sự tương giao của đồ thị hàm số y f x  với một số đường đặc

biệt: các trục tọa độ, các đồ thị hàm số khác liên quan,

2.6.2 Khi biết đồ thị của hàm số y f x' 

- Khi biết đồ thị của hàm số y f x'  (hoặc bảng xét dấu của f x' )chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây:

+ Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định

+ Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x 

+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x .

III CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH

Định hướng chung khi giải bài toán về sự biến thiên, cực trị của hàm

số bằng phương pháp đồ thị.

Hướng 1 – Từ đồ thị hàm số (hàm số) đã cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm

số liên quan bằng các cách biến đổi đồ thị

- Dựa vào đồ thị rút ra kết luận.

Hướng 2 – Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho chúng ta lập được bảng xét dấu của hàm số liên quan.

- Dựa vào bảng xét dấu rút ra kết luận

3.1 Bài toán về sự biến thiên của hàm số

3.1.1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f u x ( )v x( ) khi

biết đồ thị của hàm số y f x 

Chú ý: Khi biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên của hàm số) hàm số y f x  thì

khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên cơ sở sau:

- Khoảng đồng biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi lên kể từ trái qua phải.

- Khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi xuống kể từ trái qua phải.

Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (  �; 2) và 0; 2

Chọn phương án C.

Ví dụ 2 (NB)

Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào trong

các khoảng dưới đây?

Cho hàm số y f x  liên tục trên �, có đồ thị như

hình vẽ Xét tính đơn điệu của hàm số y f x  ?

Hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng   3; 1 và  0;1 và 3; � .

Hàm số y f x  nghịch biến trên các khoảng   � ; 3 và  1;0 và  1;3

Ví dụ 4 (TH)

Cho hàm số y f x  xác định trên � và có đồ thị

như hình vẽ bên Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh

đề sau:

A Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 1;1.

B Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng 1; +�

C Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng  1;0 .

D Hàm số y f x  đồng biến biến trên khoảng 1;1.

Phần 1: Giữ nguyên đồ thị y f x  phần nằm phía trên trục Ox, kể cả Ox.

Phần 2: Lấy đối xứng với phần 1 qua trục Ox.

Đồ thị hàm số y f x 

Đồ thị hàm số y f x 

Từ đồ thị suy ra:

Hàm số y f x  nghịch biến trên các khoảng ( � ; ),a  1;b,(1; )c .

Hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng ( ; 1),a   b;1 ,( ;c � )

Đối chiếu với các điều kiện của a b c, , ta nhận thấy ( 1;0) �( 1; ) b nên hàm số nghịch biến trên khoảng  1;0.

Ví dụ 5.(VDT)

Cho hàm số y f x  liên tục trên � và có đồ thị như

hình vẽ bên Xét tính đơn điệu của hàm số

Hàm số g x   f x  1 đồng biến trên các khoảng ( 4; 2),  ( 1;0), (2;�).

Hàm số g x   f x  1 nghịch biến trên các khoảng ( �; 4),( 2; 1),  (0;2).

Với mọi x�(2; �) ta có 3x2 6x 0 nên để hàm số g x( )  f x 3  3x2 m nghịch

biến trên khoảng 2; � ۣ   ۣ � �� � � �g x'( ) 0,   x (2; ) f x� ( 3 3x2 m) 0, x (2; )

Từ đồ thị ta nhận thấy:

1 ( ) 0

Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn phương án A

3.1.2 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f u x ( )v x( ) khi

biết đồ thị của hàm số y f x' .

Chú ý: Khi cho đồ thị của hàm y f x'  thì chúng ta cần nhận ra được các

khoảng đồng biến ( f x'   0) tương ứng với phần đồ thị y f x'  nằm phía bên

trên trục Ox, còn các khoảng nghịch biến ( f x'   0) tương ứng với phần đồ thị

 

'

y f x nằm phía dưới trục Ox.

Ví dụ 1 (NB)

Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên � và có

đồ thị của hàm y f x�  như hình vẽ Mệnh đề nào

dưới đây sai?

Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên � và đồ

Ví dụ 3 (VDT) ( Đề thi HSG lớp 12 Tân Yên – Bắc Giang năm 2019)

Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên �

2

0 0

x x

Ta có bảng biến thiên của hàm y f 1 x2

Từ BBT suy ra hàm y f 1 x2 nghịch biến trên [0;�) Chọn phương án A.

Ví dụ 4 (VDT)

Cho hàm số y f x  với đạo hàm f x�  có đồ thị như

hình vẽ bên Đặt g x   3f x  x3 3x2  3x 2019.

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  1; 2

B Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  1;0.

C Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  0;1

D Hàm số y g x   nghịch biến trên khoảng 2; �.

Bài tập 4 (NB) (KSCL trường Lý Thánh Tông – Hà nội lần 2 năm 2019-2020)

Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên Hàm số

Bài tập 6 (NB) (KSCL lần 1- THPT Quốc Thái – An Giang năm 2019-2020)

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên �. và có đồ thị

Bài tập 7 (NB) (KSCL lần 1- THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm 2019-2020)

Cho hàm số y f x  liên tục trên tập số thực �

và có đồ thị như hình vẽ bên và f  2  f( 2) 0  

Hàm số y f 3 x nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

A (�;1) B (1;2) C (5;�) D.

( 2;3) 

Bài tập 8.(TH) ( Sở Nghệ An-Thi liên trường lần 1 năm học 2019-2020)

Cho hàm số y  f x( )có đồ thị y f x�( ) như hình

vẽ bên Hỏi hàm số ( )g x = f x( 2 - 5) nghịch biến

trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A   4; 1

B

5 2;