CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY

“Bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy” là một dạng toán hay và rất quan trọng bởi đó là một dạng bài tập luôn luôn xuất hiện trong đề thi đại học ở hầu như ở tất cả các năm và cũng đã có trong đề thi THPTQG năm 2015. Đối với nhiều học sinh, bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy xuất hiện trong đề thi của những năm gần đây được coi là bài toán tương đối khó, nhất là đối với học sinh trường THPT Đồng Đậu lại càng khó bởi tư duy của các em chưa cao. Chính vì vậy, qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH và ôn thi THPT QG năm 2015 cho học sinh trường THPT Đồng Đậu phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy này, bản thân tôi nhận thấy nếu ta mạnh dạn và thêm chút kiên trì dạy các em có cách nhìn và hướng nghĩ , hướng tư duy để biết cách phân tích, loại trừ tìm ra phương pháp giải trong mỗi bài toán thì sẽ kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

A MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài :

“Bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy” là một dạng toán hay và rất quan

trọng bởi đó là một dạng bài tập luôn luôn xuất hiện trong đề thi đại học ở hầu như ở tất

cả các năm và cũng đã có trong đề thi THPTQG năm 2015 Đối với nhiều học sinh, bài

toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy xuất hiện trong đề thi của những năm gần đây được coi là bài toán tương đối khó, nhất là đối với học sinh trường THPT Đồng Đậu lại càng khó bởi tư duy của các em chưa cao

Chính vì vậy, qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH và ôn thi THPT QG năm

2015 cho học sinh trường THPT Đồng Đậu phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các bài

toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy này, bản thân tôi nhận thấy nếu ta mạnh dạn và thêm chút kiên trì dạy các em có cách nhìn và hướng nghĩ , hướng tư duy để biết cách phân tích, loại trừ tìm ra phương pháp giải trong mỗi bài toán thì sẽ kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy

Ở đây tôi chỉ giới thiệu một số bài toán về tam giác , tứ giác trong hệ trục tọa độ Oxy đã

và đang xuất hiện trong đề thi đại học; đề thi THPT QG được sắp xếp từ mức độ dễ nhìn đến mức độ nhìn tổng hợp(phức tạp hơn) để tìm ra lời giải của mỗi bài toán Mặc dù rất nhiệt huyết với chuyên đề được rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy của mình nhưng vẫn còn rất nhiều hạn chế, vậy mong quý thầy cô góp ý kiến để tôi có thể hoàn thiện chuyên đề , cũng như phương pháp giảng dạy của mình được tốt hơn

II Mục đích nghiên cứu::

- Học sinh biết cách phân loại ,định hướng phương pháp giải trong mỗi bài toán hình họctrong hệ trục tọa độ Oxy

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng caokhả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau

III Đối tượng nghiên cứu:

- Các dạng toán hình học về tam giác , tứ giác trong mặt phẳng Oxy có trong các đề thiđại học ở các năm 2002-2015 và đề thi HSG ở các khối,

- Phân loại các dạng tam giác, tứ giác trong hệ trục tọa độ Oxy và định hướng tư duytìm ra phương pháp giải cho mỗi bài toán

IV Phương pháp nghiên cứu:

-Tham khảo sách, báo, tài liệu - Thực tiễn giảng dạy

V Đối tượng áp dụng chuyên đề :

-Học sinh khá, giỏi trung học phổ thông

VI Dự kiến số tiết giảng dạy:

- 10 tiết

- Đường thẳng song song hoặc trùng với oy có phương trình là ax  c 0(a 0)

- Đường thẳng song song hoặc trùng với ox có phương trình là by  c 0(b 0)

- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ 0 có phương trình là ax by 0 (   a2 b2  0)

- Nếu (d) vuông góc với (d’): ax by   c 0 thì (d) có phương trình là bx- y+m 0a 

- Nếu (d) song song với (d’): ax by   c 0 thì (d) có phương trình là

ax+by+m 0(  m c )

- Đường thẳng có hệ số góc là k có phương trình là y=kx b 

- Đường thẳng đi qua điểmA x y( ; ) 0 0 và có hệ số góc k có phương trình lày-y =k(x-x ) 0 0

- (d): y=kx b  vuông góc với (d’): y=k'x b'   k.k'=-1

- (d): y=kx b  song song với (d’): y=k'x b' '

- M, N ở cùng phía với đường thẳng () (axM  byM c)(axN byN c) 0 

- M, N ở khác phía với đường thẳng () (axM  byM c)(axN byN c) 0 

- Cho hai đường thẳng (): ax by   c 0 và (’): a'x b'y  c' 0  thì :

 Phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi  và ’ là:

' '

bb c

II Phân loại và định hướng tư duy phương pháp giải trong mỗi bài toán:

1 Một số bài toán về tam giác:

1.1) Gợi ý một số hướng tư duy để tìm ra phương pháp giải trong mỗi bài toán:

-Nếu bài toán liên quan đường cao hay trực tâm trong tam giác thì nghĩ đến vấn đề vuônggóc

-Nếu bài toán liên quan một đường trung tuyến thì nghĩ đến tính chất trung điểm

-Nếu bài toán liên quan hai đường trung tuyến hay trọng tâm trong tam giác thì nghĩ đến tính chất trọng tâm hay tọa độ trọng tâm trong tam giác

-Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì nghĩ đến đường trung trựctrong tam giác và khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến các đỉnh của tam giác bằng nhau

-Nếu bài toán liên quan đường phân giác trong trong tam giác thì nghĩ đến tính đối xứng

từ điểm đã biết qua đường phân giác của góc đó

-Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác thì cần sử dụng đến định nghĩa và tính chất tâm đường tròn bàng tiếp của góc trong tam giác

………

1.2) Phân loại tam giác:

a) Tam giác thường:

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 2), (B  3; 1)  Tìm tọa

độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB

ngoại tiếp của tam giác khoảng cách từ tâm đến các đỉnh của tam giác bằng nhau và đường trung trực của tam giác

Giải: Gọi H là trực tâm của tam giác OAB thì ta có:

x

I y

*Lưu ý : Bài này cũng có thể sử dụng viết pt đường cao để tìm trực tâm H và pt đường

trung trực để tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác

ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểmH  ( 1; 1), đường

phân giác trong của góc A có phương trình x y   2 0và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0 

biết; đường cao và hình chiếu  vuông góc

phân giác của góc A nên H’ đối xứng với H

qua d1 , suy ra I là trung điểm của HH’

D, E, F Cho D (3;1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độđỉnh A, biết A có tung độ dương

Hướng nghĩ: Bài toán xuất hiện hai đường thẳng cắt nhau cùng tiếp xúc với đường tròn

 tính chất các tiếp tuyến cùng đi qua một điểm

Do phương trình BD : y = 1,

phương trình EF : y = 3, nên BD // EF  ABC

cân tại A

Suy ra đường thẳng AD vuông góc với BD có pt: x  3 0

Đường thẳng AB cắt AD tại A nên ta có: A (3; 13

3 )

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ

Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD Suy

ra NAC và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ

1

3 0

(0;5) 2

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hcho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1),

trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình

x  y  1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

giác trong tính đối xứng hạ từ điểm đã biết

Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong 

của góc A và H là giao điểm của  với đường thẳng BN

Đường thẳng AC qua 2 điểm M, N nên có pt : 4x – y – 13 = 0

A là giao điểm của đường thẳng  và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm

M là trung điểm của AC  2 3

B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C

2x y   8 0 Do đó C t t ( ; 2 8)

Từ IC IA  t 122t 72  25 1

5

t t

Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có A(5; 2).

Phương trình đường trung trực đoạn BC là x y  6 0,  trung tuyến CC' : 2x y   3 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C

tính chất trọng tâm trong tam giác

Giải: Gọi d x y:   6 0 

Gọi M là giao của đường thẳng d với BC; G là trọng tâm của tam giác ABC

Do Md nên gọi tọa độ M t ;6  t

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC

có A(1;5),phương trình BC x:  2y 6 0  , tâm đường tròn nội tiếp I(1;0) Tìm tọa độ các đỉnh B C,

cạnh của tam giác bằng nhau

Giải:

Gọi E là hình chiếu vuông góc của I trên cạnh AB

Kẻ đường thẳng qua I và vuông góc với AI đồng thời cắt cạnh AB tại P và cắt cạnh AC tại Q

trực của BC là 3x 19y 279 0  Đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x y   5 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng  0

135

BAC 

vuông góc và trung điểm;

-Điểm khác ở đây là có BAC 135 0  HBA vuông cân tại H

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ; H là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC Khi

đó M thuộc đường trung trực d’ 3x 19y 279 0  của BC;

Theo giả thiết BAC 135 0 , suy ra HBA vuông cân tại H , ta có HA HB , mà A CH

Từ đó ta tìm được tọa độ điểm A(4;8).

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là 4;0 , 11 1;

3 3

  Tìm tọa độ các

đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng  d : 2x y  1 0 

và điểm M4;2 nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC

A

M K H

D

C B

A

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và

AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n u d, d

lần lượt là vtpt, vtcp của đường

thẳng d Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương

AD x  y   x y   Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm

A là nghiệm của hệ phương trình

BHK BDK , vậy K là trung điểm của HD nên H2; 4

Do B thuộc BC  B t t ;  4, kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C7  t;3  t

gần đây bài toán hình học tọa độ Oxy trong đề thi đại học-THPT QG liên quan góc hình học cũng đã xuất hiện khá nhiều

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.

Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D,

E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A,

B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên

FDA FCA ABE ADE H nằm trên đường phân giác

trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra

được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam

giác DEF Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

d x y   Mặt khác H là giao của d và d’ nên H2;3

Ta có DAC DFC    EF  C EAC   AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông

và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H2; 2 là trực tâm tam

giác ABC Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M5;3 , N1;3 và đường thẳng BC đi qua điểm P4; 2

Giải:

Ta có: Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình

bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung

điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là

trung điểm của HM, HN Do đó

N

C B

A

M N

H

C B

  , kết hợp với K là trung điểm HN suy ra H2; 2

Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là trung điểm HM

, kết hợp với t  3 t 5 Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC là B5;1 , C2; 4 , A1;1 (A là giao của đường thẳng AH và AC)

*Nhận xét :Đây là bài toán có hướng nghĩ tương tự như bài 13, học sinh có thể dễ dàng nhận ra điều đó

Bài 15

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABC và đườngthẳng  có phương trình  :x 3y 1 0  Giả sử D4; 2 , E1;1 , N3;3 theo thứ tự là chânđường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng  vàđiểm M có hoành độ lớn hơn 2

Giải:

Vì các điểm đối xứng với trực tâm của tam giác qua

các đường thẳng chứa cạnh, qua trung điểm các

cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác,

nên D E M N, , , cùng nằm trên một đường tròn

*Nhận xét :Ở bài này vẫn dùng quan hệ vuông góc cùng với tính chất đối xứng để suy

ra tứ giác nội tiếp Khi đó ta giải quyết được bài toán

Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại

tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm 1; 5 , 7 5; , 13 5;

M  N  P 

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua

điểm Q  1; 1 và điểm A có hoành độ dương

Giải:

I K P

N

M

C B

A

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập

được phương trình này là: x2 y2  3x 29 0  suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là 3; 0

: 3 18 0

DE x y  và BD 2 5, điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 Xác định tọa độ các điểm

A, B, C

Hướng nghĩ: Biết một đường thẳng , một điểm, một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

song với đường thẳng đã cho

Giải:

Ta có:

Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc

đường thẳng  : 4x 3y 12 0  và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C

là điểm nằm trên  sao cho AC=AO và các điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biếtđiểm C có hoành độ bằng 24

5 Tìm tọa độ các đỉnh A, B

Hướng nghĩ:Khi bài toán xuất hiện tâm đường tròn bàng tiếp góc O thì ta luôn nghĩ đến

định nghĩa và tính chất của đường tròn bang tiếp và kết hợp với giả thiết của bài toán ,từ

đó sẽ tìm ra lời giải cho bài toán.

 Mà OAC là tam giác cân tại A (do AO=AC, theo gt) nên suy ra KE cũng là

đường trung trực của OC Do đó E là trung điểm của OC và KC=KO

Xét tương tự đối với KF , ta cũng có F là trung điểm của OD và KD=KO

Suy ra tam giác CKD cân tại K Do đó , hạ KH  , ta có H là trung điểm của CD

Như vậy:+A là giao của  và đường trung trực d1 của đoạn thẳng OC; (1)

+B là giao điểm của  và đường trung trực d2 của đoạn thẳng OD, với D là điểm đối xứng của C qua H và H là hình chiếu vuông góc của K trên  (2)

Từ đó trung điểm E của OC có tọa độ là 12; 6

Suy ra phương trình của d1 : 2x y  6 0 

Do đó , theo (1) tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường

cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x+2y+1=0, 3x+y-1=0 Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2: Cho điểm A(2; 3) và hai đường thẳng d2: x+2y-7=0 Tìm tọa độ các điểm B trên d1

và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0)

Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:x-4y-2=0, cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH: x+y+3=0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình

x-3y-7=0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x+y+1=0 Xách định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; 0), phương trình các cạnh AB: 4x+y+14=0, AC: 2x+5y-2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Bài 6: Cho tam giác ABC biết ba chân đường cao tương ứng với ba đỉnh A, B, C lần

lượt là A’(1; 1), B’(-2; 3), C’(2; 4) Viết phương trình cạnh BC

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB: 5x+2y+7=0; BC x-2y-1=0 Phương trình đường phân giác trong góc A là x+y-1=0 Tìm tọa độ điểm C

Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(4; 3) Đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh

A lần lượt có phương trình x+2y-5=0 và 4x+3y-10=0 Tìm tọa độ điểm B

Bài 9: Cho tam giác ABC biết A(-1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của cạnh BC là

điểm M(5; 5) Xách định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC

Bài 10: Cho tam giác ABC có d: 2x-y-3=0 là đường phân giác trong của góc A Biết B1(-6; 0), C1(-4; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên các đường thẳng AC,

AB Xác định tọa độ của A, B, C

Bài 11: Cho tam giác ABC biết đường cao kể từ đỉnh C và đường trung trực đoạn BC lần

lượt là x-y+2=0; 3x+4y-2=0 Điểm A(4; 2) Tìm tọa độ các đỉnh B, C

Bài 12: Cho tam giác ABC biết đường cao kể từ đỉnh A và đường phân giác trong của

góc B lần lượt có phương trình là x-2y-2=0; x-y-1=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(0; 2) thuộc đường thẳng AB và AB=2BC

Bài 13: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 12 6 6  , A(-2; 0), B(4; 0), bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5 Tìm tọa độ điểm C biết tung độ của C dương

Bài 14: Cho tam giác ABC có BAC 135 0, đường cao BH: 3x+y+10=0, trung điểm của cạnh BC là ( ;1 3)

2 2

M  và trực tâm H(0; -10) Biết tung độ của điểm B âm Xách định tọa

độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 15: Cho tam giác ABC có trực tâm H, BC: x-y+4=0, trung điểm của cạnh AC là M(0; 3), đường co AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N(7; 1) Xách định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

Bài 16: Cho tam giác ABC có A(-1; -3), B(5; 1) Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao

cho MC=2MB Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA=AC=5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên

Bài 17: Cho tam giác ABC có đỉnh C(5; 1), M là trung điểm của BC, điểm B thuộc

đường thẳng d: x+y+6=0 Điểm N(0; 1) là trung điểm của AM, điểm D(-1; -7) không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC, đồng thời khoảngcác từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau Xác định tọa độ các điểm A, B

Bài 18: Cho tam giác ABC có A(0; 2 3), B(-2;0), C(2;0) và BH là đường cao Tìm tọa độ điểm M, N trên đường thẳng chứa BH sao cho tam giác MBC, NBC và ABC có chu vi bằng nhau

Bài 19: Cho tam giác ABC có H(1; 1) là chân đường cao kẻ từ đỉnh A Điểm M là trung

điểm của cạnh BC và BHA HAM   MAC Tìm tọa độ các điểm A, B, C

Bài 20: Cho tam giác ABC có AC>AB, C(6; 0) và hai đường thẳng d: 3x-y-10=0, :

3x+3y-16=0 Biết rằng đường thẳng d chứa đường phân giác trong góc A, đường thẳng  vuông góc với cạnh AC và ba đường thẳng , d và trung trực của cạnh BC đồng quy tại một điểm Tìm tọa độ điểm B

Bài 21: Cho tam giác ABC có A(-1; 3), trọng tâm G(2; 2) Biết điểm B, C lần lượt là

thuộc các đường thẳng d : x +3y − 3 = 0 và d ' : x − y − 1 = 0 Viết phương trình đường

thẳng  đi qua A có hệ số góc dương sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến  là lớn nhất

Bài 22: Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH là x 3 3 Phương trìnhđường phân giác trong góc ABC ACB,  Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCbằng 3 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương

b)Tam giác cân-đều:

*Đặc điểm: -Tam giác cân có: hai cạnh bên bằng nhau, hai góc bằng nhau, các loại

đường của đỉnh cân trùng nhau và các loại đường xuất phát từ hai đỉnh còn lại tương ứng bằng nhau

-Tam giác đều : có tất cả các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường và các điểm trong tam giác đều trùng nhau

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC cân tại C, các đường thẳng AB, AC có phương trình lần lượt là x 2y 0 và x y   6 0 Tìm tọa độcác đỉnh của tam giác ABC, biết trọng tâm G nằm trên trục tung

Giải:

Gọi M là trung điểm của cạnh CB

Do A AB AC tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương

Do G Oy  gọi tọa độ điểm G(0; )m

-Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

DoB AB  gọi tọa độ điểm B( 2 ; )  t t

Mà M là trung điểm của BC  C(4 2 ;3  t m 2  t)

;

3 3

B m

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A

có đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x-y-4=0 Xác định tọa độ điểm

B và C, biết diện tích tam giác bằng 8

trùng nhau

Giải :

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên  H là trung điểm của BC Ta có

9 ( , )

2 2

11 2 3 97

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có

đỉnh A(6 ; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình

Gọi đường thẳng d: x+y-4=0

Đường thẳng BC đi qua H và song song d, suy ra BC

có phương trình x+y+4=0

Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x+y+4=0 và B, C đối

xứng nhau qua H(-2 ; -2) , do đó tọa độ B, C

có dạng B(t; -4-t), C(-4-t; t)

Điểm E(1 ; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam

giác ABC, suy ra:  AB CE   0 (t 6)(5 t) ( 10    t)( 3   t) 0 

C B

H

d

1 3

1 3