MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI THPTQG

Trang bị, củng cố cho học sinh hai phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Từ hai phương pháp cơ bản đó, giúp học sinh tiếp cận một số bài toán khác về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy logic, sáng tạo. Giúp học sinh có hứng thú với bộ môn Toán học.

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO …………

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các đề thi THPTQG, nội dung GTLN- GTNN của hàm số luôn luôn xuất hiện, với nhiềudạng câu hỏi khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao Ví dụ trong đề thi THPTQG năm 2019 có bàitoán như sau:

“(Câu 36- mã đề 101, đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f x( ) , hàm số y= f x′( ) liên tục trên

Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và việc trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp, nhóm chúng tôi

xây dựng chuyên đề: “ Một số dạng toán về giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số trong

đề thi THPTQG” , nhằm giúp học sinh hệ thống lại các dạng toán cơ bản Từ đó hình thành tư

duy, cách giải đối với một số dạng toán nâng cao về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của lớp hàm

ẩn, hàm giá trị tuyệt đối

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Trang bị, củng cố cho học sinh hai phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số Từ hai phương pháp cơ bản đó, giúp học sinh tiếp cận một số bài toán khác về giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng

tư duy logic, sáng tạo

- Giúp học sinh có hứng thú với bộ môn Toán học

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Các dạng toán thường gặp trong nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn Một số dạng toán chứa tham số về giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu sách, báo, tài liệu

- Thực tiễn giảng dạy

5 ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH

- Học sinh lớp 12

- Học sinh ôn thi THPTQG

6 DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY

- 6 tiết

* KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU

PHẦN II: NỘI DUNG

GTNN, hoặc không tồn tại cả hai giá trị này

hiểu đó là GTLN và GTNN trên tập xác định của nó

1.2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN.

Định lí 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

Bài toán 1: Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên đoạn [ ; ]a b Hãy tìm [ ; ]

Nếu f x'( ) có dấu không đổi trên [ ; ]a b thì y= f x( )

đồng biến hoặc nghịch biến trên [ ; ]a b Khi

đó, y= f x( )

đạt GTLN và GTNN tại các điểm đầu mút của đoạn

Nếu y= f x( )

có hữu hạn các điểm tới hạn x i (x i<x i+1) thì hàm số y= f x( )

đơn điệu trên mỗikhoảng ( ;x x i i+1) Do đó, GTLN (GTNN) của hàm số trên đoạn [ ; ]a b là số lớn nhất (nhỏ nhất)

trong các giá trị của hàm số tại hai điểm đầu mút a b, và các điểm x i nói trên

Nhận xét 1: Nếu một hàm số liên tục, đơn điệu trên đoạn [ ; ]a b thì GTLN- GTNN của hàm số đạt

tại 2 điểm đầu mút của [ ; ]a b Cụ thể:

Bài toán 2: Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên khoảng ( ; )a b Hãy tìm ( ; )

+ Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

của hàm số trên khoảng ( ; )a b

Nhận xét 2: Nếu trên khoảng ( ; )a b hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thìgiá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất ( giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng( ; )a b

2.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ.

Dạng 2.1.1: GTLN- GTNN của hàm số trên một đoạn.

Phương pháp: Sử dụng một trong 2 cách sau

+ Sử dụng quy tắc tìm GTLN- GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền cần tìm GTLN- GTNN, từ đó đưa ra kết luận

Lưu ý: Với dạng toán cơ bản này, có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ giải nhanh, tiết kiệm

thời gian.

Các bước sử dụng máy tính tìm GTLN -GTNN của hàm số y= f (x) trên miền [a;b]

Bước 1: Lập bảng giá trị trên máy tính.

Bước 2: Nhập f(x) =…

Start? a= → End? b= → step? α =

α là ta chọn tùy thuộc vào đoạn trong đề bài (lưu ý bước nhày càng nhỏ độ chính xác càng cao,

Nếu trong đề bài có liên quan đến hàm số lượng giác như sinx, cosx… mà không nói đến miềncần tìm GTLN-NN thì ta tìm chu kì tuần hoàn của hàm số, rồi tiến hành tìm GTLN-NN trên mộtchu kì tuần hoàn của hàm số

là hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định, từ

nhận xét 1, học sinh không cần tìm đạo hàm, chỉ cần tính f ( )0 , (2)f

Lời bình: Sau khi tìm TXĐ: D= −[ 2;2]

, học sinh có thể dùng máy tính, tìm GTLN- NN trên

rồi dùng máy tính tìm đáp án Ở ví dụ này, có thể thử tìm GTNN trên khoảng (0;10 )

Dạng 2.1.3 Tìm m để GTLN- GTNN của hàm số trên một đoạn thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tìm GTLN-NN Tuy nhiên, ở bước 3, phải chia trường hợp để tìm ra số lớn nhất

và số nhỏ nhất trong các số f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) (nếu cần)

Ví dụ 9 [Mức độ 3] (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm.

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh

2.2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN

Dạng 2.2.1 Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

, tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số y= f u x( ( ) )

trên miền D

Phương pháp giải:

B1: Tìm miền giá trị D1 của u x( ) trên D

B2: Từ đồ thị (bảng biến thiên) của f x( ), đưa ra kết luận

Lưu ý: Việc tìm miền giá trị D1 là nội dung của bài toán cơ bản ở dạng 1

Ví dụ 10 [Mức độ 1]

Cho hàm số y= f x( )

có đồthị như hình bên Giá trị lớn

nhất của hàm số này trên

HDG: Nhận thấy trên đoạn [−2;3]

đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ

Lời bình: GTLN- GTNN của hàm số trên một miền của đồ thị tương ứng là các điểm cao

nhất-thấp nhất trên miền đồ thị ấy.

Đặt

( ) 2

41

Lời bình : Ở ví dụ này, học sinh có thể mắc sai lầm khi không tìm miền giá trị của t x( )

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y g x= ( ) = f (3−x)

B1: Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x'( )

, ta lập được bảng biến thiên của hàm số

như hình bên dưới

Lời bình : Từ đồ thị của hàm số y= f x′( )

, ta có thể tìm được các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định, đồng thời xác định được các miền mà f x′( ) >0

Ví dụ 17 [Mức độ 3] (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho hàm số y= f x( ) có đạo

hàm là hàm f x′( ) Đồ thị của hàm số y= f x′( ) được cho như hình vẽ Biết rằng( )0 ( )3 ( )2 ( )5

Dựa vào bảng biến thiên, ta có [ ]

Lời bình: Khi biết đồ thị hàm số y= f x′( ) , để so sánh giá trị của hàm số tại 2 điểm bất kì thì

phương pháp dùng tích phân ở cách 2 là phương pháp sử dụng được trong nhiều trường hợp hơn Trong ví dụ này, nếu không có giả thiết f ( )0 + f ( )3 = f ( )2 + f ( )5 thì rõ ràng chỉ có thể sử dụng

nghịch biến trên khoảng ( )0;2 ⇒ g(2)< g x( )<g(0)

;232

Lời giải

= −



⇔  =x x

Bảng biến thiên

Lời bình: Ở dạng bài này, một số học sinh có thể nhận xét đồ thị hàm f x'( )trong giả thiết là một

hàm bậc ba, nên tìm được

3

'( )= − +3 +2

Từ đây suy ra hàm f x( ), rồi thay vào công thức

của hàm g x( ), và tìm GTLN- GTNN bằng máy tính Tuy nhiên đây là cách làm không chính xác

vì từ hàm số có thể suy ra hình dáng đồ thị nhưng từ đồ thị chúng ta không suy ra được hàm số, ví

dụ hàm trùng phương có một cực trị và hàm bậc 2 có đồ thị giống hệt nhau.

2.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Dạng 2.3.1 Tìm GTLN- GTNN của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp giải:

-1 -1

-3

4 2

20212019

Ví dụ 26 [Mức độ 3] [Đề tham khảo Bộ GD_ĐT 2018] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của

tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Ví dụ 27 [Mức độ 3] (ĐỀ 01 THỬ NGHIÊM NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m để giá trị lớn nhất của hàm số

để việc giải hệ điều kiện gọn gàng hơn.

Xét g x( ) =8x4+ax2+b

, g x′( ) =32x3+2ax=0 2

016

8

6 032

a b b

2

2

132

328

a a

131

Ngược lại, khi

21

Ta có: a+2b= −4

Bình luận: Ở ví dụ này, việc đánh giá thêm M ≥ f ( )1

giúp triệt tiêu được các tham số a b,nhằm tìm ra GTNN của M

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 2.1.1 Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Câu 1 [2] Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) = x2+2x+3

x y x

−

=+

x y x

trên đoạn [ ]0;2

A [ ]0;2

5min

C

12

3 ; 27

D

4

4 ; 9

Câu 7 [2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 8 [2] Cho hàm số y= f x( )

xác định và liên tục trên khoảng

1

;2

Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng −2

Câu 10 [3] Gọi M , mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

−

Câu 4 [2] (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số

5

+∞ y=

B ( )

3 0;

+∞ y=

C ( )

3 0;

3 22

3 24

3 22

−

=

+

x y x

có giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bằng:

Dạng 2.1.3 Tìm m để GTLN- GTNN của hàm số trên miền D thỏa mãn yêu cầu cho trước.

Câu 1 [2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

−

94

Câu 3 [2] (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

Câu 4 [3] Gọi T là tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số

2

1

+

=+

mx y

Câu 5 [3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m>0

đểgiá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 8 [2] (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số 1

+

=+

x m y

Câu 1 [2] Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức f x( ) =0,025x2(30−x)

được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

với t (giây) là khoảng thời gian tính

gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất củavật đạt được bằng bao nhiêu?

(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tíchxung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể) Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể(làm tròn đến đơn vị triệu đồng)

A 51 triệu đồng B 36 triệu đồng C 46 triệu đồng D 75 triệu đồng.

Câu 4 [3] Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông có

Câu 5 [3] Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C).

biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây

điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD Hỏi điểm

G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất

A.

2 2

.3

B.

2.5

+

=+ +

A.M =1.

B.

90.91

=

M

C.

110.111

=

M

D.

70.79

và

14 Tìm tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 7 [3] (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH-ĐỒNG NAI-2018) Biết hàm số y= f x( )

Câu 9 [4] Cho hàm số y= f x( )

Gọi M m, lần lượt là GTLN,GTNN của hàm số

A.m=2

B

32

= −

m

B

52

C.

92

có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

GTLN- GTNN CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 2.3.1 Tìm GTLN- GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Câu 1 [2] Cho hàm số y= f x( )

+ = −

M m

112

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f ( 3 2 6− x−9x2 )

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( −1)

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1 [3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là tập hợp tất cả

x

trên [ ]1;2

Câu 2 [3] (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Gọi S là tập hợp các giá trị của

−

53

Câu 4 [3] (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham

Câu 1 [3] (THPT Cầu Xe- Hải Dương, năm 2018) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số

, m0 là giá trị của tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất.

Mệnh đề nào sau đây đúng

Câu 5 [3] (THPT Phù Cừ - Hưng Yên) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

ĐÁP ÁN

HẾT