Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM’ bằng độ dài cạnh hình vuông.. Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL s
Trang 1SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: Toán Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1 : (4 điểm)
Cho hàm số : y = 36cosx + 9cos2x + 4cos3x
a/ Chứng minh rằng : y + 31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x
b/ Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho : y ≤ k đúng với mọi số thực x
Bài 2 : (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng chứa hình vuông
Tìm tập hợp các điểm M sao cho độ dài đoạn MM’ bằng độ dài cạnh hình vuông
Bài 3 : (4 điểm)
n 1
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình hộp IJKL.I’J’K’L’ có tất cả các cạnh bằng nhau và
·I I' J' = ·I I' L' = ·J' I' L' = 0
60
Chọn tùy ý điểm P trên đoạn IJ và gọi Q là điểm trên đoạn IL sao cho LQ = IP a/ Chứng minh rằng : ·I I' P + ·I I' Q + ·P I' Q = 600.
b/ Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O của hình hộp IJKL.I’J’K’L’ đến mặt
phẳng (I’PQ) không phụ thuộc vào việc chọn điểm P
Bài 5 : (4 điểm)
( f x( ) 1− ×) ( f y( ) 1− × −) (2 f x y( + )) (= −2 f x( )) (× −2 f y( )) (× f x y( + −) 1) (*)
với mọi số thực x, y
Hết
Trang 2
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2009-2010
Môn : TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài NỘI DUNG Điểm
Bài 1
Câu 1a
(2 đ)
Đặt t = cosx, ta cĩ : y=36t +9(2t2-1)+4(4t3-3t) =16t3+18t2+24t-9 0,5 Xét φ(t) = 16t3+18t2+24t-9 với -1≤ t ≤ 1 φ’(t) = 48t2+36t+24 >0 ∀ ∈ −t [ 1;1]
φ(-1) = -31, φ(1) = 49 Ta cĩ : -31≤ φ(t) ≤ 49 ∀ ∈ −t [ 1;1]
1
Từ đĩ : y +31 ≥ 0 đúng với mọi số thực x Dấu bằng xảy ra trong trường hợp cosx = -1 0.5
Chú ý: 1/ Do tính tuần hồn và chẵn của y nên chỉ cần tìm Miny trên đoạn [0;π]
2/ y +31 ≥ 0 ⇔2(cosx+1)(8cos2x+cosx+11) ≥ 0
Câu 1 b
(2 đ)
Giả sử k là số thỏa : y ≤ k đúng với mọi số thực x
Khi đĩ với x = 0 thì 49 ≤ k
0.5
Ta chứng minh y ≤ 49 đúng với mọi số thực x
Do Maxy = 49 nên y ≤ 49 đúng với mọi số thực x
1
Bài 2
(4đ)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là tâm hình vuơng ABCD, trục Ox vuơng gĩc với AB
Cĩ thể đặt : A(-a;-a), B(-a;a), C(a;a), D(a;-a)
Phương trình của AC: y = x, phương trình của BD: y = -x
1
Xét M(x;y) Tọa độ của M1 : x1 = -x-2a , y1 = y
Tọa độ của M2 : x2 = -y1 = -y, y2 = -x1 = x+2a
Tọa độ của M3 : x3 = y2 = x +2a , y3 = x2 = -y
Tọa độ của M’ : x’ = 2a –x3 = -x, y’ = y3 = -y
1,5
MM’ = AB⇔( x’-x)2 +(y’-y)2= (2a)2 ⇔4x2 + 4y2 = 4a2 ⇔ OM= a 1 Tập hợp những điểm M thỏa bài tốn là đường trịn nội tiếp của hình vuơng ABCD 0,5 Chú ý : + M2 là ảnh của M qua phép quay QB cĩ tâm B và gĩc quay bằng hai lần gĩc
lượng giác (BA,BD), M’ là ảnh của M2 qua phép quay QC cĩ tâm C và gĩc quay bằng hai
lần gĩc lượng giác (CA,CD)
+ Hợp thành của QB với QC là phép đối xứng tâm O
Bài 3
(4đ)
Ta cĩ : u2 = 2 > u1 Dùng qui nạp chứng minh được (un) là dãy tăng 1 Dùng qui nạp chứng minh được : 1≤ un < 2 với mọi n ≥ 1 1 Dãy (un) tăng và bị chặn trên nên cĩ giới hạn 0,5 Đặt x = limun Khi n→ +∞ thì un+1 → x và x= 2x với 1≤ x≤ 2 0,5
x
x= 2 ⇔2lnx = xln2 Xét h(x) = xln2 -2lnx với 1≤x ≤ 2 h(2) = 0
h’(x) = ln2 - 2
x <0 với 1≤x ≤ 2 h(x) giảm trên [1,2] h(x) = 0 với 1≤x ≤ 2 chỉ xảy ra khi x = 2 Vậy : limun = 2
1
y
x a
-a
a
B
D A
M 2
C
M 3
M 1
M'
M
120 o
120 o
120 o
60 o
60 o
J K
L
I'
J' K'
L'
P O
Trang 3Bài 4
Câu 4a
(1,5 đ)
Hai tam giác QLK và PII’ bằng nhau vì : QL=PI, IK=II’ , · o ¶
QLK=120 = PII' Hai tam giác PJK và QII’ bằng nhau vì : PJ=QI, JK=II’ , · o ·
PJK=120 = QII' Hai tam giác PKQ và QI’P bằng nhau vì có các cạnh tương ứng bằng nhau
1,5
Từ đó : ¶ II'P+ II'Q+ PI'Q = QKL+ PKJ+ QKP = PKL = 60 · · · o 0.5
Câu 4 b
(2 đ) Ta có : d(O,(I’PQ)) = O.I'PQ
I'PQ
3V
S
0.5
Do O là trung điểm I’K nên VO.I’PQ = VI’.O’PQ = VK.OPQ = VO.KPQ 0.5 Hai tam giác PKQ và QI’P bằng nhau nên SI’PQ =S KQP 0.5 Suy ra : d(O,(I’PQ)) = O.KPQ
KQP
3V
S = d((O,(KQP)) = d((O,(IJKL)) = hằng số
0,5
Bài 5
Câu 5a
(2 đ)
Giả sử hàm số hằng trên ¡ : f(x) =c , thỏa phương trình (*)
Ta có : (c-1)(c-1)(2-c) = (2-c)(2-c)(c-1) ⇔c = 1, c = 2 , c = 3
2
1
Kiểm tra lại thấy rằng các hàm số hằng trên¡ : f1(x) =1 , f2(x) = 2 , f3(x) = 3
2 ,
là ba hàm số liên tục trên ¡ thỏa phương trình hàm (*)
1
Câu 5 b Điểm
(2 đ)
Giả sử f là hàm số liên tục trên ¡ thỏa (*) Trong (*) thay x, y bởi
2
t
ta có :
(u-1)2(2-f(t))=(2-u)2(f(t)-1) với u= f(
2
t
) Do đó f(t) =
2(u-1) +(2-u) (2-u) +(u-1) =
2 2
3u -8u+6 2u -6u+5.
Suy ra : 1 ≤ f(t) ≤ 2 ,∀ ∈t ¡ f(t) = 1⇔u=1 ⇔f(
2
t
) =1 , f(t) =2⇔u = 2⇔ f(
2
t
) = 2
0.5
Nếu tồn tại xo mà f(xo) =1 thì 0 1
2
x
f = ÷
Suy ra
0 1
2n
x
f =÷
với mọi số nguyên dương n
Vì f liên tục nên cũng có f(0)=1 Lúc này nếu trong (*) thay x và y bởi xo và t- xo thì :
0= −2 f t x− f t( ) 1− , ∀ ∈t ¡
Chú ý rằng, lúc này 2− f t x( − 0) ≠0∀ ∈t ¡ Bởi vì, nếu tồn tại yo mà f(yo) = 2 thì
0 1 2
y
f =÷
Suy ra : 0 1
2n
y
f =÷
với mọi số nguyên dương n Do f liên tục nên cũng có f(0) = 2 , vôlí
Vậy trường hợp này phải có f(t) = 1 , t∀ ∈¡
Tương tự, nếu tồn tại yo mà f(yo) = 2 thì f(t) = 2,∀ ∈t ¡
0.5
Ta xét trường hợp 1< f(t) < 2 t∀ ∈¡
Đặt : g(t)=2-f(t)
f(t)-1, (*) trở thành : g(x+y)=g(x).g(y) x,y∀ ∈¡ , với g liên tục trên ¡ Tồn tại hằng số a>0 sao cho g(x) =ax Lúc đó : f(x) =a +2xx
a +1 Thử lại thấy đúng
0.5
Tóm lại, các hàm số liên tục trên ¡ thỏa (*) là : f(x)=1, f(x)=2 , f(x) = 3
2, và f(x) =a +2xx
a +1 với a dương tùy ý khác 1
0,5
