Gián án Đề thi HSG toán 9 (2009-2010)

Rút gọn biểu thức A.

phòng giáo dục & đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

môn thi: toán

Thời gian làm bài 150 phút

-Câu 1 (2,0 điểm) Cho      2   x 2 5 1 A x 3 x x 6 x 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của A biết x 2 2 3   Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phơng trình (a 1) x y 3 a x y a           a Giải hệ phơng trình khi a  2 b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0 Câu 3 (2,0 điểm) a Cho 2 2 x  6x 13   x  6x  10  1 Hãy tính giá trị của 2 2 A  x  6x 13   x  6x  10 b Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Câu 4 (3,0 điểm) Cho  ABCnhọn (AB < AC) nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc trong A cắt cạnh BC ở D; cắt đờng tròn tâm O ở M a Chứng minh rằng BMC ABC  ACB b MB MC   MD MA  c Kẻ đờng cao AH H BC   Chứng minh rằng OAH ABC  ACB Câu 5 (1,0 điểm) Cho P  x  2 xy  3y  2 x  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

-Họ và tên:……… SBD… ……… …

Chữ kí GT 1: ……… ……

Đáp án - Môn Toán (HS có thể chứng minh cách khác)

x 2 5 1 A



A

(x 2)(x 3)



x 4 A

x 2





b

Vì x > 0; ta có x2 2 4 2 3

Thay vào biểu thức A 3 1 4 3 5

A ( 3 5)( 3 3) 3 6

3

2

a

Thay a  2 ta đợc hệ (1 2 ) x y 3 (1)







0.25

(1 2 2 ) x 3 2



 



0.25

x

y









 









Kết luận 0.5

b (a 1) x y 3 (1) (2a 1) x a 3

a x y a (2) a x y a



2

2











a

a

y

a

0.25

Ta có

x y

Ta có a2 - a + 3 > 0 nên x + y > 0 khi 2a + 1 > 0

Hay 1

2

 

a (Thỏa mãn)

0.5

KÕt luËn

3

a

§Æt 2

-> (a - b)(a + b) = 3; Ta cã a - b = 1 -> 1.(a + b) = 3 0.25

b

Ta cã (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y

Nªn (x + 2y) vµ (3x + 4y) lµ ch½n;

MÆt kh¸c 2 < x + 2y < 3x + 4y

V× vËy ta xÐt 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12

0.25

XÐt c¸c trêng hîp:      

(Lo¹i)

     

(Tháa m·n)

     

(Lo¹i)

0.5

4

VÏ h×nh

0.25

a

Ta cã ABC AMC (gãc néi tiÕp ch¾n AC) 0.25

ACB  AMB (gãc néi tiÕp ch¾n AB) 0.25

b Ta cã BAM CAM (gt)  MB MC  MB MC (1) 0.25

XÐt





AMB chung



E

O

D H

M

C B

A

MBD MAB (gg)  MB MA

 MB.MB = MA.MD (2) 0.5

Từ (1) và (2)  MB MC   MD MA  0.25

c

Kẻ đờng thẳng BE  AO, E  (O)

    (1) (Hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

0.25

Mặt khác OAH CBE (2) (Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0.25

Ta lại có ABE CBE ABC (3) (vì tia BE nằm giữa 2 tia BA và BC) 0.25

Từ (1); (2); và (3)  ACB  OAH ABC Hay OAH ABC  ACB

0.25

5

ĐK x; y  0

2