KIẾN THỨC CẦN NHỚ... Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a.. Tỡm hai số phức, biết tổng của chỳng bằn
Trang 1Chủ đề 4: SỐ PHỨC
Chủ đề VI: SỐ PHỨC
Tiết 35+36 CHỦ ĐỀ 5 : SỐ PHỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R∈ , i là đơn vị ảo, i 2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz
• z là số thực ⇔phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i ( ,, ',' )
'
'
R b ab
a b b
a
a
∈
=
=
⇔
4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
)
;
(a b
u =
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)
0 x
5/ Cộng và trừ số phức :
(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’∈R)
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b ∈R)
• z biểu diễn →
u , z’ biểu diễn →
'
u thì z + z’ biểu diễn bởi → →
+u'
u và z – z’ biểu diễn bởi → →
−u'
u
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’∈R).
7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z− =a−bi
a) z =z; z+z' =z+z' ; z.z' =z.z'
b) z là số thực ⇔z=z ; z là số ảo ⇔z= −z
8/ Môđun của số phức : z = a + bi
a) z = a2 +b2 = z =OM
b) z ≥ 0 ∀z∈C, z = 0 ⇔z = 0
c) z.z' =z z' , z+z' ≤z +z' ∀z,z' ∈C
9/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z≠ 0 ): z
z
z 1 12
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z≡ 0 ): z z z z z z z z
z
'
'
2
1 = =
c) Với z 0 , ' w z' wz.
z
≠ , z z'=z z', z z' = z z'
D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc
Bài 1.Thực hiện phép trừhai số phức
a) (2+i) -(4+3i) b) ( 1-2i) -(1-3i) c) (2+3i) + (5+3i) d) ( 3-2i) + (-2-3i) e) (3-+5i) +(2+4i) f) ( -2-3i) +(-1-7i) k) (4+3i) -(5-7i) h)( 2-3i) -(5-4i)
Bài 2.Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) (2-3i) b) ( 1-i) +(3+7i) c) 5(4+3i) (-2+15i) d) ( -2-5i) 4i e) (2+3i)2 b)(2+3i)3
Trang 2Baứi 3 Tớnh i3, i4 i5 , i6, i7; i8; i2006 ; i2007 ; i2008 ; i2009
Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
3
3 4
Câu2: Thực hiện các phép tính sau:
3 1
3i 2
Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
2 i
+
2 3i
4 5i
−
3
+
i
i
−
+
Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
3 5i
2 4i z
+ = −
Câu5: Cho hai số phức z, w chứng minh: z.w = 0 ⇔ z 0
w 0
=
=
Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng x i
x i
+
thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
a z + 2i là số thực
b z - 2 + i là số thuần ảo
c z z 9 =
z i
Cõu 3/Trờn mặt phẳng phức , hóy tỡm tập hợp điểm biểu diễn cỏc số phức thoả món hệ thức sau:
a z i− ≤ b z i+ = +z
Dạng 3: Giải phương trỡnh bậc hai với hệ số thực
b/ x2 + x + 1 = 0
Trang 3e/3x2 +2x + 7 = 0
f) x2 − 3 x+ 1 = 0
g) 3 2 x2 − 2 3 x+ 2 = 0
Bài toỏn 2: Giải phương trỡnh bậc 2.
Cho phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac
Nếu ∆ = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệp kộp x1 x2 b
2a
= = − (nghiệm thực)
Nếu ∆ > 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm thực: x b
2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phức x b i
2a
=
căn bậc hai của Số phức phơng trình bậc hai
Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
3 2
− −
Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Ví dụ: Giải phương trỡnh 2x −4x 7 0+ = trờn tập số phức
Giải: ∆ = − =' 3 3i2 nờn ∆ =' i 3
Phương trỡnh cú hai nghiệm : x1= −2 i 3 , x2 = +2 i 3
Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a x2 + 7 = 0 b x2 - 3x + 3 = 0 c x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + 4 - i = 0
g x2 + (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a (z 3i z+ ) ( 2−2z 5+ ) =0 b (z2+9 z)( 2− + =z 1) 0
c 2z3−3z2 +5z 3i 3 0+ − =
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a 2 + 3i và -1 + 3i b 2i và -4 + 4i
Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:
a α = 3 + 4i b α = 7 i 3−
Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a z2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: 2z1 +z22 =z z1 2 +1
b z2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: 3z1 +z32 =18
Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
Trang 4a 7 - 24i b -40 + 42i c 11 + 4 3 i d 1 2i
4 + 2
Câu 2: Chứng minh rằng:
a Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x yi
k + k là căn bậc hia của số phức a2 b2i
k + k (k ≠ 0)
Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + 5 = 0 b z2 + 2z + 2 = 0 c z2 + 4z + 10 = 0 d z2 - 5z + 9 = 0 e -2z2 + 3z - 1 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b
2
Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a) α = 2 - 5i b α = -2 - i 3 c α = 3 i 2−
Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) có nghiệm phức α ∉ R thì α cũng là nghiệm của phơng trình đó
Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a z2 + z + 2 = 0 b z2 = z + 2 c (z + z)(z - z) = 0 d 2z + 3z = 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
Bài 1 Thực hiện cỏc phộp tớnh:
a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i)
c) (2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i
+ + + −
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
−
e) (1 + 2i)3 f) 2 2 1 2
1 2 2 2
+ + +
Bài 2 Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập số phức:
a) 2x2 + 3x + 4 = 0 b) 3x2 +2x + 7 = 0
c)(1 – ix)2 + ( 3 + 2i)x – 5 = 0 d) 2x4 + 3x2 – 5 = 0
e) ( 2 −i 3)z i+ 2 = 3 2 2 + i
Bài 3 Tỡm cỏc số phức thỏa món :
a) 2x + 1+ (1−2y)i = 2−x+( 3y−2)i
b) 4x + 3+ (3y−2)i = y+1 + (x−3)i
c) x + 2y + (2x−y)i = 2x + y +(x+2y)i
Bài 4 Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trỡnh 2x 2 + 3 x + 3 = 0 Hóy tớnh:
a) 2 2
Bài 5 Tỡm hai số phức, biết tổng của chỳng bằng 3 và tớch của chỳng bằng 4.
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
Trang 5Bài 6 a Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i Viết liên hợp và số đối của các số phức đó.
b Cho z=(2a− 4) (+ 3b+ 6)i với ,a b R∈ Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo.
ĐS: a (3;2), (2;1), (1; − 3).
Bài 7 Tìm căn bậc hai của các số phức: a 1 4 3i+ , b 17 20 2i+ , c 46 14 3i−
ĐS: a z1= + 2 3 ;i z2 = − − 2 3i, b z1= + 5 2 2 ;i z2= − − 5 2 2i, c z1= + 7 3 ;i z2= − − 7 3i
Bài 8 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a z2 − + =z 1 0 b z2 −(2 +i z) − = 2i 0
c iz2 − 2 1( −i z) − = 4 0 d z2 − −(5 i z) + − = 8 i 0
ĐS: a 1 3
2 2
z= ± i, b z1= 2;z2 = −i, c z1= − 2;z2 = − 2i, d z1= + 2 i z; 2 = − 3 2i
Bài 9 Dùng công thức Moa-vrơ để tính a (1+i)5 , ( )6
3 i−
1/ Tính :
α α
3/Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
a z i− ≤ b z i+ = +z
4/ Tìm những số thực x và y thoả mãn :
a x+ = +i yi b x+ + y− i= − i.
3 1+i =4 1i +i −4 1+i
ĐS: a −4 1 i( + ) , b 64 −
Bài 10 a Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( )8
3 i+
b Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi)2 −2(x+yi)+5 Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
ĐS: a a= − 128;b= − 128 3 , b x= 1; y= 0