Chuyên đề hàm số liên tục

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  ?1... LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số Câu 7.. Hàm số liên tục nhưng khôn

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU

HƠN 1D4-3

Contents

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT 1

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 3

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số 3

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số 4

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số 4

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG 11

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số 11

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số 12

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 14

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT 15

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 15

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số 15

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số 16

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số 17

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG 24

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số 24

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số 26

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 29

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1 (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f x  liên tục trên

a b;  Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên a b;  là

A lim    

x a

f x f a





x b

f x f b





x a

f x f a





x b

f x f b





C lim    

x a

f x f a





x b

f x f b





x a

f x f a





x b

f x f b





Câu 2 (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f x  xác định trên a b;  Tìm

mệnh đề đúng

A Nếu hàm số f x  liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 không có nghiệm trong khoảng a b; 

B Nếu f a f b     0 thì phương trình f x   0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a b; 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

C Nếu hàm số f x  liên tục, tăng trên a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 không

có nghiệm trong khoảng a b; 

D Nếu phương trình f x   0có nghiệm trong khoảng a b;  thì hàm số f x  phải liên tục trên

a b; 

Câu 3 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b Mệnh đề nào dưới đây đúng?; 

A Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x ( ) 0 không có nghiệm nằm trong a b ; 

B Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x ( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a b ; 

C Nếu f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x ( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a b ; 

D Nếu phương trình f x ( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong a b thì ;  f a f b ( ) ( ) 0

Câu 4 Cho đồ thị của hàm số y f x  như hình vẽ sau:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

Chọn mệnh đề đúng

A Hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x 0 nhưng không liên tục tại điểm x 0

B Hàm số y f x liên tục tại điểm x 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x 0

C Hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm tại điểm x 0

D Hàm số y f x  không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x 0

Câu 5 Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x  ?1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

Câu 6 (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:

1 Nếu hàm số y f x  liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì tồn tại x0a b;  sao cho

A Có đúng hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề đều đúng

C Cả ba mệnh đề đều sai D Có đúng một mệnh đề sai

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7 Cho hàm số

3

1, khi 11

A y liên tục phải tại x 1 B y liên tục tại x 1

C y liên tục trái tại x 1 D y liên tục trên 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x  0 3

B Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x  0 3

C Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x  0 3

D Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x  0 3

Câu 9 Cho hàm số  

2 khi 2

 Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số liên tục tại x  1 B Hàm số liên tục tại x 0

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số

Câu 12 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x  0 1





x y x



11

x y x

x gián đoạn tại điểm x bằng? 0

A x0 2018 B x0 1 C x0 0 D x0  1

Câu 15 Cho hàm số 2 3

1

x y x





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số không liên tục tại các điểm x  1 B Hàm số liên tục tại mọi x  

C Hàm số liên tục tại các điểm x  1 D Hàm số liên tục tại các điểm x 1

Câu 16 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số   2

1 cos

khi 0

x x

C f x  liên tục tại x  0 D f x  gián đoạn tại x  0

Câu 17 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018)Cho hàm số  

A Hàm số f x  liên tục tại mọi điểm x thuộc 

B Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 0

C Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 1

D Hàm số f x  bị gián đoạn tại điểm x 0 và x 1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 18 Tìm m để hàm số

1

x khi x

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 27 Tìm m để hàm số

, m là tham số Có bao nhiêu giá trị của m để hàm

số đã cho liên tục tại x  ?2

Câu 31 Cho hàm số  

2 2

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 35 Cho hàm số

Hàm số liên tục tại x 2 khi a bằng

9.4

Câu 40 Cho hàm số  

3 2

khi 33

m  

 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 43 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số  

2 2

22

khi

1khi

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 50 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m

1 khi 4

x x

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 57 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số

4

x

x x

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64 Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ?

A yx3 x B ycotx C 2 1

1

x y x

C Hàm số liên tục trên các khoảng ;2 , 2;    

D Hàm số gián đoạn tại x  0 2

Câu 68 Hàm số nào sau đây liên tục trên  ?

A Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0;1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0

C Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc 

D Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1

Câu 70 (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018)Cho hàm số   sin khi 1

B Hàm số liên tục trêncác khoảng  ; 1 và  1; 

C Hàm số liên tục trêncác khoảng ;1 và 1; 

D Hàm số gián đoạn tại x   1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 71 (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên



1

x y x



Câu 72 (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018)Cho hàm số   sin neu cos 0

1 cos neu cos 0

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 86 (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018)Cho hàm số  

DẠNG 4 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Câu 89 Cho phương trình 4 2

2x 5x   x 1 0 (1) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng 2;1

B Phương trình  1 vô nghiệm

C Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 0; 2

D Phương trình  1 vô nghiệm trên khoảng 1;1

Câu 90 (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong

4x 2x    x 3 0  1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình  1 vô nghiệm trên khoảng 1;1

B Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1;1

C Phương trình  1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;1

D Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1;1

Câu 92 Phương trình 3x55x310 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây? 0

A  2; 1 B 10; 2  C 0;1  D 1; 0

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 93 Cho phương trình 3  

2x 8x 1 0 1 Khẳng định nào sai?

A Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3

B Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

C Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2

D Phương trình có nghiệm trong khoảng  5; 1

Câu 94 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b;  và thỏa mãn f a b, f b a với a b  , , 0

ab Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng a b; 

DẠNG 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1 Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn a b;  Chọn: lim    

Câu 2 Vì f a f b     0 nên f a  và f b  cùng dương hoặc cùng âm Mà f x  liên tục, tăng trên

a b;  nên đồ thị hàm f x  nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên a b;  hay phương trình

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn a b; 

DẠNG 2 LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

2 2

x

x x

 suy ra f x không liên tục tại   x  1

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số

Câu 12 Ta có 2 1

1

x y x

x có TXĐ: D\ 1 nên hàm số gián đoạn tại điểm x0  1

Câu 15 Chọn A

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

1

x y x

2

x x

  nên f  2 0.VậyA, B,C sai

Câu 17 * f x  liên tục tại x 0 và x 1

   Hàm số gián đoạn tại x 1

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

x

x x

f  a

1 2

x

x x

2 sin 5 sin 2lim

m m

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 51 Tập xác định: D  





  



Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x  1



 

2 1

 là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng 1;   nên 

liên tục trên khoảng 1;   

 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  , ta có: 1

2lim

2

x

m x

DẠNG 3 LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

  hàm số gián đoạn tại x  0 2

 Hàm số không liên tục trên 

 là \ 1  Hàm số liên tục trên từng khoảng ;1 và 1;  nên hàm số không liên tục trên 

Câu 72 Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm

13

+ Xét trên ; 2 khi đó   2

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt Vậy có hai giá trị của m

Câu 81 Hàm số f x  liên tục trên  f x  liên tục tại x 0

Câu 83 Khi x 0 thì f x acosx b sinx liên tục với x 0

Khi x 0 thì f x ax b 1 liên tục với mọi x 0

Câu 84 Ta có hàm số liên tục trên các khoảng  ; 1 và   1; 

Xét tính liên tục của hàm số tại x  1

16 5

x

x x

*) Với x 4 thì f x mx1 là hàm đa thức nên liên tục trên   f x  liên tục trên ; 4

Do vậy hàm số f x  đã liên tục trên các khoảng 4; , ; 4

Suy ra: Hàm số f x  liên tục trên   f x  liên tục tại x  4

Với x 10 ta có f x ax b 10, là hàm đa thức nên liên tục trên 10; 

Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục tại x  5 và x 10

a b

Vậy phương trình 3x20178x  có nghiệm trong khoảng 4 0 0;1

f x  x   với   x  1;1 nên f x là hàm số đồng biến trên khoảng 1;1  phương trình f x 0 có duy nhất nghiệm trên khoảng 1;1 Do đó f x   0 có tối đa hai nghiệm trên khoảng 1;1

Vậy phương trình  1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1;1

Từ  1 và  2 suy ra f x   0 có nghiệm thuộc khoảng  2; 1

nghiệm trên  5; 1 , 1; 2 , 2;3   Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình

có đúng 3 nghiệm trên  Do đó C sai

Mà hàm số f x là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm  

Vậy đồ thị hàm số y f x  cắt trục Ox tại đúng 3 điểm

Câu 96 Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên  và số giao điểm của

Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng  ; 1, 1;1, 1; 

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3