Vận dụng lý thuyết hoạt động trong dạy học chủ đề hàm số liên tục

Trong quá trình dạy và học, vai trò của ngýời giáo viên rất quan trọng, là ngýời dẫn dắt quá trình học tập của học sinh. Học sinh có nắm ðýợc kiến thức bài học hay không, có áp dụng kiến thức ñể làm bài tập hay không, có thể làm những dạng toán nâng cao hay không, một phần lớn phụ thuộc vào cách truyền ñạt của giáo viên. Và lý thuyết hoạt ñộng góp phần không nhỏ trong việc giúp bài giảng trở nên sinh ðộng và dễ hiểu hõn. Nhóm chúng em quyết ñịnh soạn bài “Vận dụng lý thuyết hoạt ñộng trong dạy học chủ ñề hàm số liên tục” ñể giúp ngýời ñọc có thể hiểu rõ hõn việc áp dụng lý thuyết hoạt ñộng vào bài dạy. Lý thuyết hoạt ñộng gồm có 4 tý týởng chính: + Hoạt ñộng và hoạt ñộng thành phần + Động cõ hoạt ñộng: + Tri thức trong hoạt ñộng + Phân bậc hoạt ñộng: Trong ñó, ñộng cõ hoạt ñộng là tý týởng thiết yếu nhất, nên bài soạn tập trung vào phần này là chủ yếu.

TRÝỜNG ĐẠI HỌC SÝ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

Huế, 23/9/2014

LỜI NÓI ĐẦU

Trong quá trình dạy và học, vai trò của ngýời giáo viên rất quan trọng, là ngýời dẫn dắt quá trình học tập của học sinh Học sinh có nắm ðýợc kiến thức bài học hay không, có áp dụng kiến thức ñể làm bài tập hay không, có thể làm những dạng toán nâng cao hay không, một phần lớn phụ thuộc vào cách truyền ñạt của giáo viên Và lý thuyết hoạt ñộng góp phần không nhỏ trong việc giúp bài giảng trở nên sinh ðộng và dễ hiểu hõn

Nhóm chúng em quyết ñịnh soạn bài “Vận dụng lý thuyết hoạt ñộng trong dạy học chủ ñề hàm số liên tục” ñể giúp ngýời ñọc có thể hiểu rõ hõn việc áp dụng lý thuyết hoạt ñộng vào bài dạy

Lý thuyết hoạt ñộng gồm có 4 tý týởng chính:

+ Hoạt ñộng và hoạt ñộng thành phần

+ Động cõ hoạt ñộng:

+ Tri thức trong hoạt ñộng

+ Phân bậc hoạt ñộng:

Trong ñó, ñộng cõ hoạt ñộng là tý týởng thiết yếu nhất, nên bài soạn tập trung vào phần

này là chủ yếu

Bài làm vì chýa có nhiều kinh nghiệm nên không tránh khỏi sai sót, mong bạn ñọc thông cảm Hi vọng ít nhiều sẽ rút ðýợc kinh nghiệm cho các bạn ñọc

Mục lục

A, Sõ lýợc về lý thuyết hoạt ñộng 5

I, Hoạt ñộng và hoạt ñộng thành phần 5

1, Phát hiện hoạt ñộng týõng thích với nội dung 5

2, Phân tích hoạt ñộng thành những hoạt ñộng thành phần 5

3, Lựa chọn hoạt ñộng dựa vào mục tiêu 6

4, Tập trung vào những hoạt ñộng toán học 6

II, Động cõ hoạt ñộng: 6

1, Gợi ñộng cõ mở ñầu: 7

2, Gợi ñộng cõ trung gian: 7

3, Gợi ñộng cõ kết thúc: 7

III, Tri thức trong hoạt ñộng 8

1, Dạy học týờng minh tri thức phýõng pháp ðýợc phát biểu một cách tổng quát 8

2, Thông báo tri thức phýõng pháp trong quá trình hoạt ñộng 8

3, Tập luyện những hoạt ñộng ăn khớp với những tri thức phýõng pháp: 9

IV, Phân bậc hoạt ñộng: 9

1, Những căn cứ phân bậc hoạt ñộng: 9

2, Điều khiển quá trình học tập thông dựa vào sự phân bậc hoạt ñộng 9

B, Áp dụng ñể dạy bài hàm số liên tục: 10

C, Tài liệu tham khảo: 16

A, Sõ lýợc về lý thuyết hoạt ñộng

I, Hoạt ðộng và hoạt ðộng thành phần

Nội dung của tý týởng chủ ñạo này là: Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt ñộng và hoạt ñộng thành phần týõng thích với nội dung và mục tiêu dạy học,

1, Phát hiện hoạt ðộng týõng thích với nội dung

_ Mỗi nội dung dạy học ñều liên hệ với những hoạt ñộng nhất ñịnh, bao gồm: những hoạt ñộng

ñã ðýợc tiến hành trong quá trình lịch dử hình thành và ứng dụng những tri thức ðýợc bao hàm trong nội dung này; những hoạt ñộng ñể ngýời học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung ñó

_Một hoạt ñộng của ngýời học ðýợc gọi là týõng thích với một nội dung dạy học nếu nó có tác ñộng góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức ðýợc bao hàm trong nội dung ñó hoặc rèn luyện những kĩ năng, thái ñộ có liên quan

2, Phân tích hoạt ðộng thành những hoạt ñộng thành phần

Trong quá trình hoạt ñộng, nhiều khi một hoạt ñộng này có thể xuất hiện nhý một thành phần của hoạt ñộng khác Phân tách ðýợc một hoạt ñộng thành những hoạt ñộng thành phần là biết ðýợc cách tiến hành hoạt ñộng toàn bộ, nhờ ñó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh hoạt ñộng toàn bộ vừa chú ý cho học tập luyện tách riêng những hoạt ñộng thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết Chẳng hạn , nếu học sinh gặp khó khăn khi chứng minh một mệnh ñề toán học, có thể tách riêng một phần của nó là khái quát hoá và cho học sinh tập luyện thành phần này nhờ câu hỏi gợi ý nhý sau: “Tình huống của bài toán này phù hợp với giả thiết của ñịnh

lý nào?”

Ví dụ :

Khi dạy khái niệm “Dãy số có giới hạn 0”, dýới sự hýớng dẫn của giáo viên, học sinh tiến hành các hoạt ñộng

1 Xét dãy số (un) với ( )

n u

n n

1

−

=

Hãy biểu diễn các số hạng của dãy số ựã cho trên trục số? Khi n tăng thì các ựiểm biểu diễn chụm lại quanh ựiểm nào?

Ta có kết luận gì về khoảng cách

n

u n 1

= từ ựiểm un ựến ựiểm 0 khi n ựủ lớn?

Yêu cầu học sinh lập bảng ựể thấy rõ khoảng cách này thay đổi nhý thế nào khi n đủ lớn

Mọi số hạng của dãy số ựã cho, kể từ số hạng thứ 11 trở ựi, ựều có giá trị tuyệt ựối nhỏ hõn một

số nào?

Từ đó yêu cầu học sinh tổng quát lên và nói theo cách hiểu của mình về ựặc ựiểm của dãy

số này

Nhý vậy mọi số hạng của dãy số ựã cho, kể từ một số hạng nào đó trở ựi, ựều có giá trị tuyệt ựối nhỏ hõn một số dýõng nhỏ tuỳ ý cho trýớc Ta nói rằng dãy số u ( )n

n n

1

−

= có giới hạn

là 0

Từ ựó ta có ựịnh nghĩa dãy số có giới hạn 0

Giáo viên phát biểu ựịnh nghĩa dãy số có giới hạn 0 và yêu cầu học sinh phát biểu lại nhý trong sách giáo khoa

Giáo viên đýa ra vắ dụ dãy số có giới hạn 0 Sau đó yêu cầu học sinh giải thắch tại sao dãy

số ựó có giới hạn 0

3, Lựa chọn hoạt ựộng dựa vào mục tiêu

_ Cần sàng lọc những hoạt ựộng ựã phát hiện đýợc ựể tập trung vào một số mục tiêu nhất ựịnh

4, Tập trung vào những hoạt động toán học

_ Nắm đýợc chức nãng phýõng tiện và chức năng mục tiêu của hoạt ựộng và mối liên hệ giữa hai chức nãng này

II, Động cõ hoạt động:

Gợi ựộng cõ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt ựộng và của ựối týợng hoạt ựộng, nhằm làm cho những mục tiêu sý phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh

1, Gợi động cõ mở đầu:

_ Đáp ứng nhu cầu xóa bỏ 1 sự hạn chế

_ Hýớng tới sự tiện lợi hợp lắ hóa công việc

_ Chắnh xác hóa một khái niệm

_Hýớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống

_ Lật ngýợc vấn ựề

_ Xét týõng tự

_ Khái quát hóa

_ Tìm sự liên hệ và phụ thuộc

2, Gợi động cõ trung gian:

_ Hýớng ựắch: hýớng vào những mục tiêu đặt ra, vào hiệu quả dự kiến của những hoạt ựộng nhằm ựạt những mục tiêu đó

Vắ dụ: khi tắnh , ta biến ựổi bằng cách nhân lýợng liên hiệp ựể

, bằng cách gợi ựộng cõ hýớng ựắch, học sinh sẽ hiểu rằng nhân lýợng liên hợp nhằm mục tiêu khử căn ở mẫu, làm triệt tiêu biểu thức làm cho tử tiến

về 0, sau ựó có thể áp dụng các quy tắc ựã học ựể tắnh giới hạn

_ Quy lạ về quen:

_ Xét týõng tự

_ Khái quát hóa

_ Xét sự biến thiên và phụ thuộc

3, Gợi động cõ kết thúc:

_ Thýờng là để giải thắch vì sao phải học nội dung này, nhấn mạnh hiệu quả của nội dung hoặc hoạt ựộng ựó với việc giải quyết vấn ựề ựặt ra

III, Tri thức trong hoạt ựộng

1, Dạy học týờng minh tri thức phýõng pháp đýợc phát biểu một cách tổng quát

Ở cấp ựộ này, ngýời thầy phải rèn luyện cho trò những hoạt ựộng dựa trên tri thức phýõng pháp đýợc phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng ở mức ựộ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phýõng pháp này Từng býớc hành động, phải làm cho học sinh hiểu đýợc ngôn ngữ diễn tả býớc đó và tập cho học sinh biết hành động dựa trên phýõng tiện ngôn ngữ ựó

Dạy học týờng minh tri thức phýõng pháp đýợc phát biểu một cách tổng quát là một trong những cách làm đối với những tri thức đýợc quy ựịnh týờng minh trong chýõng trình Mức ựộ hoàn chỉnh của tri thức phýõng pháp cần dạy và mức ựộ chặt chẽ của quá trình hình thành những tri thức phýõng pháp đó đýợc quy ựịnh trong chýõng trình và sách giáo khoa hoặc cũng có khi đýợc giáo viên quyết ựịnh căn cứ vào điều kiện cụ thể của lớp học

2, Thông báo tri thức phýõng pháp trong quá trình hoạt ựộng

Đối với một số tri thức phýõng pháp chýa đýợc qui ựịnh trong chýõng trình, ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình học sinh hoạt ựộng nếu những tiêu chuẩn sau đây đýợc thỏa mãn:

- Những tri thức phýõng pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt ựộng quan trọng nào dó đýợc qui ựịnh trong chýõng trình;

- Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ắt thời gian

Chẳng hạn Ộquy lạ về quenỢ là một tri thức phýõng pháp tuy không đýợc qui ựịnh trong

chýõng trình nhýng thỏa mãn cả 2 ựiều kiện trên Tri thức này có thể đýợc thông báo cho học sinh trong quá trình họ hoạt ựộng ở rất nhiều cõ hội khác nhau Vắ dụ:

+ Khi chứng minh ựịnh lý về tổng các góc trong 1 ựa giác, việc kẻ các đýờng chéo xuất phát từ 1 ựỉnh đa giác là để đýa về tắnh tổng các góc trong của 1 tam giác;- Khi giải phýõng trình trùng phýõng 4 2 0

= + +bx c

x

y = là để đýa dạng phýõng trình bậc bốn ựặc biệt này về phýõng trình bậc hai;

+ Khi giải phýõng trình vô tỉ chỉ có một căn thức, việc cô lập căn thức rồi nâng hai về lên lũy thừa có bậc bằng chỉ số của cãn là để đýa về một phýõng trình có dạng quen thuộc hõn(không có cãn);

+ Khi chứng minh công thức tắnh cos (a - b), biến ựổi a Ờ b = a + (-b) là để đýa trýờng hợp này về việc tắnh cosin của một tổng là một trýờng hợp ựã biết;

+ Khi chứng minh công thức tắnh sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa, đýa trýờng hợp này

về việc tắnh cosin của một hiệu là một trýờng hợp ựã biết, ngýời ta biến ựổi nhý sau:

sin (a + b) = cos [ ] =cos[

3, Tập luyện những hoạt ựộng ăn khớp với những tri thức phýõng pháp:

Cách này làm tùy theo yêu cầu có thể đýợc sử dụng ở cả hai trýờng hợp: tri thức đýợc qui ựịnh hoặc không đýợc qui ựịnh trong chýõng trình

Ở trình ựộ thấp, ngay ựối với một số quy tắc, phýõng pháp đýợc qui ựịnh trong chýõng trình, nhiều khi ngýời ta không yêu cầu dạy cho học sinh phát biểu tổng quát mà chỉ cần họ biết cách thực hành qui tắc

Đối với những tri thức phýõng pháp không qui ựịnh trong chýõng trình nà chỉ thỏa mãn tiêu chuẩn thứ nhất chứ không thỏa mãn tiêu chuẩn thứ hai ựã nêu ở mục III.2, ta có thể ựề cập ở mức ựộ thấp nhất: chỉ tập luyện những hoạt ựộng ở mức ựộ ăn khớp với những tri thức phýõng pháp đó Những tri thức nhý thế cần đýợc thầy giáo vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, hýớng dẫn và bình luận hoạt ựộng của học sinh

IV, Phân bậc hoạt ựộng:

Nội dung tý týởng chủ ựạo: Phân bậc hoạt ựộng làm cãn cứ cho việc ựiều khiển quá trình dạy học

1, Những căn cứ phân bậc hoạt ựộng:

i, Sự phức tạp của ựối týợng hoạt ựộng

ii, Sự trừu týợng, khái quát của ựối týợng

iii, Nội dung của hoạt ựộng

iv, Sự phức hợp của hoạt ựộng

v, chất lýợng của hoạt ựộng

vi, sự phối hợp nhiều phýõng diện làm cãn cứ phân bậc hoạt ựộng

2, Điều khiển quá trình học tập thông dựa vào sự phân bậc hoạt ựộng

i, Chắnh xác hóa mục tiêu

ii, Tuần tự nâng cao yêu cầu

iii, Tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết

iv, Dạy học phân hóa

B, Áp dụng để dạy bài hàm số liên tục:

(hýớng tói sự tiện lợi, hợp lắ hóa công việc bằng cách chuyển giao việc vẽ hình cho các phần mềm dạy học toán)

1, Kiểm tra bài cũ:

2, Dẫn dắt vào bài mới

Tắnh giới hạn của hàm số sau:

f(x) =

Dựa vào hình vẽ, ựồ thị hàm số f(x) là đýờng liền nét (không bị gián ựoạn), ta nói những hàm có đồ thị nhý thế là hàm liên tục Từ

đó, ta đýa ra khái niệm hàm liên tục (chắnh xác hóa 1 khái niệm)

Từ kiểm tra bài cũ, ta thấy giới hạn bên trái, giới hạn bên phải và giá trị hàm số tại x=2 là bằng nhau Khi đó ta nói hàm số f(x) liên tục

Nhấn mạnh: Hàm số gọi là liên tục khi giới hạn và giá trị của hàm

số ựó tại mỗi ựiểm mà nó xác định là bằng nhau Vậy muốn chứng

minh hàm liên tục ta phải sử dụng ựến giới hạn

3, Tìm hiểu khái niệm hàm

số liên tục tại một ựiểm

_ Nêu định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác ựịnh trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a; b) Hàm số f đýợc gọi là liên tục tại ựiểm x0 nếu:

Hàm số không liên tục tại ựiểm x0 đýợc gọi là gián ựoạn tại ựiểm

x0 _ Vắ dụ 1: (kiểm tra bài cũ) _ Vắ dụ 2: Hàm số

Gián ựoạn tại ựiểm x=0 vì không tồn tại

_Mở rộng: Hàm số liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x0 ∈ X

4, Tìm hiểu khái niệm hàm

số liên tục trên một

khoảng, trên một ựoạn

_ Nêu định nghĩa:

a, Giả sử hàm số f xác ựịnh trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi ựiểm thuộc tập hợp ựó

b, Hàm số f xác ựịnh trên đoạn [a; b] đýợc gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Vắ dụ 1: Xét tắnh liên tục của hàm số trên đoạn [-1;

1]

Giải:

Hàm số ựã cho xác ựịnh trên đoạn [-1; 1]

Với mọi x0 ∈ (-1; 1) ta có

Nên hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1) Ngoài ra ta có

Và

Do đó hàm số ựã cho liên tục trên đoạn [-1; 1]

_ Týõng tự, tắnh liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a; b), (a; b], [a; +∞); (-∞; b] đýợc ựịnh nghĩa nhý tắnh liên tục của hàm số

trên một ựoạn (xét týõng tự)

_ Mở rộng: Từ đó nêu cách chứng minh hàm số liên tục trên R

(khái quát hóa)

Vắ dụ: chứng minh hàm số f(x) = x4-2x2 + 2 liên tục trên R

∀ x0 ∈ R,

⇒ hàm số liên tục tại x0

Vậy hàm số liên tục trên R

_ Hỏi: Hàm số liên tục trên X thì có liên tục trên các tập con của X không?

_ Nhận xét:

1, Tổng, hiệu, tắch, thýõng của 2 hàm số liên tục tại một ựiểm là những hàm số liên tục tại ựiểm ựó

2, Hàm ða thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tực trên tập xác ñịnh của chúng

_ Định lý: Các hàm số lýợng giác y= sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác ñịnh của chúng

Rút ra kết luận: Hàm liên tục trên 1 khoảng hay 1 ñoạn có ñồ thị là

1 ðýờng liền nét, hàm gián ðoạn, ñồ thị không phải là ðýờng liền nét

5, Tìm hiểu tính chất của

hàm số liên tục _ Định lý 2 (ñịnh lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên ðoạn [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một ñiểm c

∈(a; b) sao cho f(c) = M _Ý nghĩa hình học của ñịnh lí:

Nếu hàm số f liên tục trên ðoạn [a; b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì ðýờng thẳng y=M cắt ñồ thị của hàm số f(x) ít nhất tại 1 ñiểm có c ∈ (a; b) (hình vẽ)

_ Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên ðoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một ñiểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0

_ Ý nghĩa hình học của hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên ðoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì ñồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một ñiểm có hoành ðộ c ∈ (a; b) (hình vẽ)

_ Ví dụ 1: (sách giáo khoa) Cho hàm số P(x) = Áp dụng hệ quả, cmr phýõng trình P(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm dýõng nhỏ hõn1

_ Ví dụ 2:

Cho a, b, c là những số thực chứng minh rằng phýõng trình sau luôn có nghiệm:

ab(x-a)(x-b) + bc(x-b)(x-c) + ac(x-a)(x-c) = 0

Trýớc hết học sinh có thể đýa phýõng trình trên về dạng phýõng trình bậc 2 với các hệ số là a,b,c rồi sau đó tắnh ∆ và chứng minh ∆≥0 Tuy nhiên cách này khá dài dòng và cồng kềnh

Thay vì làm nhý vậy học sinh có thể vận dụng tắnh liên tục của hàm số ựể giải bài tập trên, muốn vậy học sinh cần xét xem dấu của f(a)f(b), f(b)f(c), f(a)f(c), f(a)f(0), f(b)f(0), f(c)f(0) phụ thuộc nhý thế nào vào giá trị của tắch f(a)f(b)f(c)f(0) Việc xem xét này đýợc gợi ựộng cõ từ kinh nghiệm và vốn tri thức mà học sinh có đýợc Nhý vậy những mối liên hệ và phụ thuộc nhiều khi dẫn tới những hiểu mới, và góp phần giải quyết nhiều vấn ựề đýợc ựặt ra

Giải:

Đặt f(x) = ab(x Ờ a)(x Ờ b) + bc(x Ờ b)(x Ờ c) + ac(x Ờ a)(x Ờ c)

Ta có:

f(a)=bc(a Ờ b)(a Ờ c)

f(b)=ac(b Ờ a)(b Ờ c)

f(c)=ab(c Ờ a)(c Ờ b)

f(0)=a2b2 + b2c2 + a2c2

=> f(a)f(b)f(c)f(0) = - a2b2c2 (a-b)2(b-c)2(a-c)2(a2b2 + b2c2 + a2c2)

≤0 , với mọi a, b, c

+ Nếu f(a)f(b)f(c)f(0) = 0 thì f(x) = 0 có ắt nhất 1 trong số các nghiệm a, b, c

+ Nếu f(a)f(b)f(c)f(0) < 0 , vì f(0)≥0 do đó có các trýờng hợp sau xảy ra:

Ớ Một trong ba số f(a), f(b), f(c) < 0

Ớ Hai trong ba số f(a), f(b), f(c) < 0

Ớ Ba số f(a), f(b), f(c) < 0

Khi đó dù trýờng hợp nào xảy ra thì ta luôn có ắt nhất hai trong bốn

số f(a), f(b), f(c), f(0) trái dấu

Áp dụng hệ quả về tắnh liên tục của hàm số ta suy ra f(x) luôn tồn tại nghiệm