Chuyên đề một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .... Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .... Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩ

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC

NHIỀU HƠN BÀI 3

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 2

Dạng 1 Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 2

Dạng 1.1 Không cần biết đổi 2

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai 3

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm 4

Dạng 2 Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 6

Dạng 2.1 Không cần biến đổi 6

Dạng 2.2 Cần biến đổi 7

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm 8

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm 8

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm 9

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max 11

Dạng 3 Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp 11

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm 11

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm 13

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm 14

Dạng 4 Giải và biện luận Phương trình đối xứng 14

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm 14

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm 15

Dạng 5 Biến đổi đưa về phương trình tích 16

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm 16

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm 17

Dạng 6 Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu 18

Dạng 7 Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác 20

Dạng 8 Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số 20

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 23

Dạng 1 Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 23

Dạng 1.1 Không cần biết đổi 23

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai 24

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm 25

Dạng 2 Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 29

Dạng 2.1 Không cần biến đổi 29

Dạng 2.2 Cần biến đổi 29

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm 31

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm 31

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm 34

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max 36

Dạng 3 Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp 37

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm 37

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm 40

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm 42

Dạng 4 Giải và biện luận Phương trình đối xứng 42

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm 42

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm 44

Dạng 5 Biến đổi đưa về phương trình tích 47

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm 47

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm 48

Dạng 6 Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu 53

Dạng 7 Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác 57

Dạng 8 Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số 60

PHẦN A CÂU HỎI

Dạng 1 Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1.1 Không cần biết đổi 

Câu 1  (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương 

trình 4 cos2x4 cosx   trên đường tròn lượng giác là? 3 0

Câu 2 Phương trình cos 22 cos 2 3 0

4

A. 

6



6



3



3



  

Câu 3 Nghiệm của phương trình  2

2 sin x– 5 sinx– 3  0 là:

2

Câu 4

Nghiêm của phương trình sin2x– sinx là:2

Câu 10  (LỚP  11  THPT  NGÔ  QUYỀN  HẢI  PHÒNG  NĂM  2018-2019)  Cho  phương  trình 

2 cos 2xcosx 1 0. Khi đặt t cosx, ta được phương trình nào dưới đây? 

A. 2t2    t 1 0 B. t  1 0  C. 4t2    t 3 0 D. 4t2    t 1 0

Câu 11  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương 

trình  cos 2x5sinx   có nghiệm là4 0

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 13  (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2xsinx20. Khi đặt tsinx

,26

Câu 17  (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2xsinx 1 0  *  Bằng 

cách đặt tsinx   1 t 1 thì phương trình  *  trở thành phương trình nào sau đây? 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 22  (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 

Câu 32  (THPT  CHU  VĂN  AN  -  HKI  -  2018)  Trong  khoảng  0;  2 ,  phương  trình 

cos 2x3cosx20 có tất cả m nghiệm. Tìm m. 

A. m 1.  B. m 3.  C. m 4.  D. m 2. 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 33  (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 

Câu 35  (THPT  LÊ  HOÀN  -  THANH  HÓA  -  LẦN  1  -  2018)  Số  nghiệm  của  phương  trình 

cos 2x3 cosx  1 0 trong đoạn  ;

Câu 36  (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng Scác nghiệm của 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 40  (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình sinxcosx1 

là 

A. 

2

22

726

Câu 48  (THPT  Yên  Định  -  Thanh  Hóa  -  Lần  1  -  2017  -  2018  -  BTN) Nghiệm  của  phương  trình 

sinx 3 cosx2 sin 3x là

Câu 61  (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b,  c để 

phương trình  a sinx bcosx   có nghiệm? c

Câu 62  (THPT  THIỆU  HÓA  –  THANH  HÓA  NĂM  2018-2019  LẦN  01) Tìm m  để  phương  trình 

3sinx4 cosx2m có nghiệm? 

Câu 63  (THPT  CHUYÊN  VĨNH  PHÚC  NĂM  2018-2019  LẦN  02) Có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  của 

tham số  m  thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 64  (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên của 

m  để phương trình  mcosxm2 sin x2m 1 0 có nghiệm. 

Câu 65  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để phương 

trình msin 2x c os2x  có nghiệm thì 2 m thỏa mãn:

3

m m

Câu 66  (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m 

để phương trình 4 sinx m4 cos x 2m   có nghiệm là: 5 0

Câu 67  (THPT  CHUYÊN  VĨNH  PHÚC  LẦN  02  NĂM  2018-2019) Có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  của 

tham  số  m  thuộc  đoạn  2018; 2018  để  phương  trình    2

 có nghiệm?

Câu 72  (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương 

trình 4 sinxm4 cos x2m 5 0 có nghiệm là: 

Câu 73  (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tìm giá trị nguyên lớn 

nhất của a để phương trình asin2x2sin 2x3 cosa 2x  có nghiệm 2

Câu 74  (CHUYÊN  LONG  AN  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  tất  cả  giá  trị  nguyên  của m  để  phương  trình 

28sin x m1 sin 2x2m 6 0 có nghiệm. 

Câu 78  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Số giá trị 

Câu 79  (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất 

Câu 80  (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị lớn nhất của 

2 sin cos 4

x P

Câu 81  (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 83  (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình  2

Câu 88 Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2x3 3 sin cosx xcos2x  Khẳng định nào sau 2

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 91 Phương trình 6sin2x  7 3sin 2 x  8cos2x  6 có các nghiệm là:.

A. 

3423

24

của phương trình 3sin2x2sin cosx xcos2x  Chọn khẳng định đúng? 0

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 107 Từ phương trình 1 3 cosxsinx2sin cosx x 3 1 0, nếu ta đặt tcosxsinx  thì giá 

Câu 112  (SỞ  GD  VÀ  ĐT  HƯNG  YÊN  NĂM  2018)  Từ  phương  trình 

1 5 sinxcosxsin 2x 1 50 ta tìm được sin

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 115 Cho x  thỏa mãn phương trình  sin 2 xsinxcosx1. Tính sin

Câu 117  (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Tổng các nghiệm của phương trình 

sin cosx x sinx cosx  1 trên khoảng 0; 2 là:

Câu 119  (TOÁN  HỌC  TUỔI  TRẺ  -  THÁNG  4  -  2018)  Phương  trình  1 sin x 1 cos x m  có 

nghiệm khi và chỉ khi

A.  2m2.  B. 1m 42 2   C. 1m2.  D. 0m1. 

Câu 120  (THPT  PHAN  CHU  TRINH  -  ĐẮC  LẮC  -  2018) Tổng  các  nghiệm  của  phương  trình 

sin cosx x sinx cosx  1 trên khoảng 0; 2 là:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

A. 

2323

k x

Câu 125  (LÊ  QUÝ  ĐÔN  -  HẢI  PHÒNG  -  LẦN  1  -  2018)Biểu  diễn  tập  nghiệm  của  phương  trình 

cosxcos 2xcos 3x0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là 

Câu 126  (THPT  TRIỆU  THỊ  TRINH  -  LẦN  1  -  2018)  Tổng  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình 

sin 5 cos 7x xcos 4 sin 8x x trên 0; 2  bằng 

Câu 127  (THPT  CHUYÊN  HÙNG  VƯƠNG  -  PHÚ  THỌ  -  LẦN  1  -  2018)  Phương  trình 

sin 2x3cosx0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;  

Câu 128  (HSG  BẮC  NINH  NĂM  2018-2019) Gọi  S  là  tập  hợp  các  nghiệm  thuộc  đoạn 0;13  của 

phương trình 2 cos3xcos2xcos 2x  Tính tổng các phần tử của 0 S. 

Câu 129  (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương 

trình  cos 3xcos 2x9sinx   trên khoảng 4 0 0;3  là 

Câu 132  (THPT  CHUYÊN  THĂNG  LONG  -  ĐÀ  LẠT  -  2018)  Số  nghiệm  của  phương  trình 

sinx4 cosx 2 sin 2x trong khoảng 0;5 là: 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 133  (THPT  NGUYỄN  HUỆ  -  NINH  BÌNH  -  2018)  Số  điểm  biểu  diễn  nghiệm  của  phương  trình 

Câu 136  (SỞ  GD&ĐT  HƯNG  YÊN  -  2018)  Với     x    số  nghiệm  của  phương  trình 

cosxcos 2xcos3xcos 4x  là 0

Câu 137  (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Phương trình   2

1 cos 4 x sin 2x3cos 2x có tổng các nghiệm trong đoạn 0;  là: 

656

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

C. 

2226526

Câu 142  (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của 

Câu 143  (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T  tất cả các nghiệm của phương 

trình 2 cos 1 sin 2 cos 

Câu 144  (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính tổng các nghiệm thuộc 0;100  của 

0.cos sin

2

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 148  (THPT  GANG  THÉP  -  LẦN  3  -  2018)  Số  nghiệm  của  phương  trình 

4

0sin

a a

Câu 152  (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ 

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 156  (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương 

4

m

Câu 157  (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên 

dương của tham số m để phương trình  cos2x m sinx m  có nghiệm? 0

Câu 160  (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Có bao 

nhiêu số nguyên mđể phương trình:2 sinxm1 cos x m có nghiệm  0;

Câu 162  (SGD  THANH  HÓA  -  LẦN  1  -  2018)  Có  tất  cả  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  của  tham  số m  để 

phương trình cos 23 xcos 22 xmsin2 x có nghiệm thuộc khoảng  0;

Câu 164  (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 

để  phương  trình  cos 3xcos 2xmcosx1  có  đúng  bảy  nghiệm  khác  nhau  thuộc  khoảng 

; 22

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 165  (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số các giá trị thực của tham số m để phương 

trình sinx1 2 cos  2 x2m1 cos x m 0 có đúng 4  nghiệm thực thuộc đoạn 0; 2  là: 

Câu 167  (THPT  KINH  MÔN  -  HẢI  DƯƠNG  -  LẦN  1  -  2018)  Tìm  m   để  phương  trình 

Câu 168  (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có tất cả bao nhiêu giá 

4 cosx3sinx m 4m3 x m 4. 

Câu 169  (LỚP  11  THPT  NGÔ  QUYỀN  HẢI  PHÒNG  NĂM  2018-2019)  Cho  phương  trình 

cos 3xcos 2xmcosx     Có  bao  nhiêu  giá  trị  m   để  phương  trình  có  đúng  7  nghiệm 1 0

; 22

Câu 171  (THPT  CHU  VĂN  AN  -  HKI  -  2018) Tìm  tất  cả  các  giá  trị  của  m  để  phương  trình 

cos 2x5sinxm0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng  ;

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1 Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

7sin

22

6

k x

32

Câu 14  Ta có 3sin2x2 cosx 2 0 3cos2x2 cosx 5 0cosx1xk2 , k   

Câu 15  ĐK  sin 0 sin 2 0 ,

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 16  Ta có: cos 2 4 cos 5

Câu 17  cos 2xsinx 1 0 1 2sin2xsinx 1 0 2sin2xsinx  0 2t2   t 0

Câu 18 Ta có cos2x5sinx   4 0 1 2sin2x5sinx   4 0

21

6sin

2

526

26

Với xk2, do 0x  nên không có x nào thỏa mãn. 

Câu 29  Ta có: cos 2xcosx0 2 cos2xcosx 1 0

1cos

6sin

2

526

arctan4

2

x x

3

,23

Phương trình tương đương  sinxcosx 2 sin 5x 

Ta có:  2 cos3xsinxcosx cos 3 cos

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489 Câu 52 Chọn A 

Phương trình  3 sin 3xcos 3xsinx 3 cosx. 

k x

cos xsin 2x 2sin x 

  cos 2xsin 2x 2    cos 2 1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

max Cho 0

Câu 63  Ta có:   2  1 cos 2

Câu 64  Chọn D

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 

 2  22

Câu 71  Có 2 cosxsinx 4 0,    x

2 cos sin 4 cos 2 sin 3

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10. 

Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. 

Câu 77  Ta có sinxcosx20,x nên hàm số có tập xác định là D  . 

Câu 83 Cách 1: Xét  cosx 0 : Phương trình tương đương 23 ktm  

Xét  cosx  , chia cả hai vế cho 0 cos x  ta có: 2

sinx 0  cos x  1 cos x  1 0. 

 1 3 sin x 3 1 cos  x 0 1 3 sin x 3 1 cos  x. 

2 1 sin xsin 2x 2 1 cos x 2  0

x x

arctan2

Câu 98  3sin2 x2sin cosx xcos2x0 3sin2x3sin cosx xsin cosx xcos2 x0 

(3sinx cos )(sinx x cos )x 0

1cos

x x x x

3

x x

arctan34

4

x x

Câu 101  Phương trình 3sin2x2 sin cosm x x4 cos2x  0  1  

Với cosx 0 thì sin2x  , thay vào 1  1

 ta có 3.1m.0 4.0 0 30 (vô lý). 

Do đó cosx 0 không thỏa mãn. 

Với cosx 0, chia cả hai vế của  1  cho cos x  ta được 2 3 tan2 x2 tanm x   4 0

t t

sin cos 2 sin cos

2

1sin cos

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

Ta có 1 5 sinxcosxsin 2x 1 50 

sinx cosx2 1 5 sinx cosx 5 0

t t

Đặt P 1 sin x 1 cos x P2  2 sinxcosx2 1 sin xcosxsin cosx x. 

Đặt tsinxcosx 2 sin

Ta có: sin 2x2sin2 x6sinx2 cosx   4 0

2 sin cosx x 2 cosx 2sin2x 6sinx 4 0

2 cosx sinx 1 2 sinx 2 sinx 1 0

      sinx1 sin xcosx20 

k x

26

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

1sin

21tan

265266

0

526

Do đó số nghiệm của phương trình 2 sin 22 xcos 2x   trong 1 0 0; 2018 là 2018. 

Câu 132   sinx4 cosx 2 sin 2x 

3cos

2sin 2 sinx x 3 sinx 0

3sin 2

2

x x

4



3 4



(1)(2)6cos

1co

(6

6

3)

x x

x x x

6

x   có 4 nghiệm trong 0; 4. 

1sin

22

Dạng 6 Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

Câu 140 Cách 1: Điều kiện xác định:  cos 0

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

Phương trình tương đương: 2 sin cosx x2 cosxsinx 1 0 2 cosx1 sin x10 

1cos



22



Vậy có 2  vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. 

Câu 143  Điều kiện xác định sinx 1. 

Phương trình tương đương 2 cosx1 cos 2 sin x x10

1cos

2

1sin

2

x x x

x x

3 cos 2 sin 2 5sin cos 0

3 1 2 sin 2 sin cos 5sin cos 0(2 sin cos cos ) 2 sin 5sin 2 0cos (2 sin 1) (2 sin sin ) (4 sin 2) 0(2 sin 1)(cos sin 2) 0

.4

2

23

112

.10332

112

.102

2

x x

Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là: 

 2

2

2

20;11

211

2

20;11

a a

Dạng 7 Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác

Câu 151   2018 2018  2020 2020 