Tổng hợp 30 câu oxyz cực hay

Gọi C, D là hai điểm di động trên đường thẳng  sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD nằm trên tia Ox.. Nếu M thay đổi và thuộc P thì giá trị nhỏ nhất của MA MB là.. Viết phương trì

TỔNG HỢP 30 CÂU OXYZ CỰC HAY

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  và

 0; 0; 0  

M x y z  S sao cho A x0 2y0 2z0 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó x0y0z0 bằng

Lời giải

Ta có A x0 2y02z0  x0 2y02z0 A 0nên M P :x2y2z A 0, do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P) Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và bán kính R = 3 Tồn tại điểm M khi và chỉ khi

 

3

A

       Do đó, với M thuộc mặt cầu (S) thì A x0 2y02z0  3 Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của P :x2y2z 3 0 với (S) hay M là hình chiếu của I lên (P) Vậy M(1;-1;-1) là điểm cần tìm  x0 y0  z0 1

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A'(0;0;2), B(2;0;0),

D(0;-2;0) Gọi I là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tìm tọa độ điểm I biết OI lớn nhất

A 2; 2 2;

3 3 3

1 1 1

3 3 3

I  

  C I1; 1;1   D 4; 4 4;

3 3 3

Lời giải

Ta có: A BD' :x   y z 2 0; trọng tâm tam giác đều A'BD là 2; 2 2;

3 3 3

Điểm I nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A'BD có phương trình là

x u

z u





  



 



2 2

1; 1;1 1

; ;

OI

t

I t







             



Câu 3 Cho đường thẳng : 2 1 3

x y z

 và hai điểm A(1;-1;-1), B(-2;-1;1) Gọi C, D là hai điểm di động

trên đường thẳng  sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD nằm trên tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

17

11

CD

Lời giải

Ta có: ACD  A;: 2x y 2z 1 0;BCD:x2y2z 2 0

1

t

t







Suy ra I1;0;0 và rd I ;ACD 1 Gọi C22 ;1 2 ; 3 3u  u   u

Khi đó ABC : 4u4 x 5u4 y 6u6z7u 6 0

11 11

  







Chọn đáp án D

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z180, M là điểm di chuyển trên mặt phẳng (P); N là điểm nằm trên tia OM sao cho OM ON 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P)

A Mind N P , 6 B Mind N P , 4

C Mind N P , 2 D Mind N P , 0

Lời giải

Gọi N(a;b;c) thì ON  a2b2c2

 

2 2 2 4a 8b 8c

  2 2 2 4 8 8 2 4 4

 

d N P d I P  R

Chọn đáp án C

Câu 5 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 2 , B 5; 4; 4 và mặt phẳng  P : 2x   y z 6 0 Nếu M thay đổi và thuộc (P) thì giá trị nhỏ nhất của MA MB là

Lời giải

Giả sử M a b a b ; ; 2   6 MA a 1;b2;a b 4 , MB a 5;b4;a b 2

Ta có:

MA MB a a  b b  a b  a b 

 2  2

5a 2b 6a 4ab 21 2 a b 3 a 1 18 18 MA MB

Chọn đáp án A

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 0 và đường thẳng : 1 2

x y z

(Q) là mặt phẳng chứa  và tạo với (P) một góc nhỏ nhất Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (Q) bằng

A 3 B 2

Lời giải

Chú ý     P ; Q  nhỏ nhất    với giao tuyến d của (P) và (Q)

Khi đó u d n u P; 3 1;0;1  suy ra n Q n u d;  2 1;1; 1  

Khi đó (Q) qua A0; 1; 2  và có

1;1; 1  : 3 0  ;   3

n   Q x    y z d O Q 

Chọn đáp án A

Câu 7 Trong h ng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A a ;0;a ,B 0; ;a a C a a , ; ;0 Mặt phẳng (ABC) c t các trục Ox, Oy, Oz tại M, N, P Thể tích tứ diện OMNP là

A 4a 3 B

3 8 3

a

3 4 3

a

Lời giải

Chọn a1 suy ra A1;0;1 , B 0;1;1 , C 1;1;0 phương trình mp (ABC) là x   y z 2 0

iao điểm MABCOxM2;0;0,

tương t  

N

P



ậy thể tích tứ diện OMNP là

3

4 3

O MNP

a

Chọn đáp án D

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz iết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M1; 2;3 và c t cấc

trục Ox, Oy, Oz lần lư t tại a điểm A, B, C hác với gốc tọa độ O sao cho iểu thức T 12 12 1 2

giá trị nhỏ nhất

A  P :x2y3z140 B  P : 6x3y2z 6 0

C  P : 6x3y2z180 D  P : 3x2y3z100

Lời giải

gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c do đó phương trình mp (P) là x y z 1

a  b c

ì M1; 2;3   P nên 1 2 3 1

a  b c

Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đ i một vuông góc và gọi H là tr c tâm ABC : 1 2 12 12 12

OH OA OB OC

Do đó 12 12 12

OA OB OC nhỏ nhất 1 2

OH

OH lớn nhất

 



 

 

14

Dấu xảy ra

14

14 3

a



 





 



14

14 7

3

Chọn đáp án A

Câu 9 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Xét đường thẳng

   

1

1

  



  



là tham số th c Giả sử    '

,

P P là hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) lần lư t tại

T và T Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng ' TT '

A 4 13

3

Lời giải

Mặt cầu (S) có tâm I1; 2;3 , bán kính R2 Gọi  '  

M  TIT  d Ta có: TT'2TH

Ta có:

2

1



TT TH MI

Lại có

 

1

1 1

  

      



  



suy ra d luôn thuộc một mặt phẳng cố định là  P :x   y z 1 0

min

3

Chọn đáp án A

Câu 10 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu   2 2 2

1

S : x y z 4x2y z 0,

  2 2 2

2

S : x y z 2x  y z 0 c t nhau theo một đường tròn (C) và a điểm A 1; 0; 0 ,  B 0; 2;0 , C 0;0;3     Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng

chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với a đường thẳng AB, BC, AC?

A 1 mặt cầu B 2 mặt cầu

C 4 mặt cầu D Vô số mặt cầu

Lời giải

Mặt phẳng chứa đường tròn (C) là:

x y  z 4x 2y z  x y  z 2x  y z 6x 3y 2z  0

Dễ thấy   x y z

1  2 3    

Do đó (ABC)// (P) Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC và

AC là tâm đường tròn nội tiếp và 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm trên mặt phẳng (P)

là chân đường cao của M, N, P, Q trên (P)

Chọn đáp án C

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x2y 2z 5  0 và hai điểm

A 3; 0;1 , B 1; 1;3  Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), gọi  là đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất Viết phương trình đường thẳng 

A x 5 y z



x 1 y 12 z 13



C x 3 y z 1

   

    



Lời giải

Vì  3 2.0 2.1 5 1 2.       1 2.3 5  0 nên hai điểm A, B

khác phía so với (P)

Gọi H là hình chiếu của B lên  Ta có: BHBAnên khoảng

cách BH từ B đến  lớn nhất khi và chỉ hi H trùng A Khi đó

AB 

VTPT của (P) là n1; 2; 2 , AB  4; 1; 2  

VTCP của  là un, AB  2;6;7 

Mà  qua A3;0;1

Chọn đáp án B

Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng :x 1 y 1 z

   và hai điểm

A 1; 2;1 , B 1;0; 2 Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và tạo với đường thẳng  góc lớn nhất

A x 10y 22z 43   0 B 2x 21y 46z 90   0

C x4y 10z 19  0 D 2x 3y 5z 3   0

Lời giải

Gọi d là đường thẳng qua A và song song với  Vậy PT đường thẳng d:

x 1 t

y 2 2t

z 1 2t

 



  



  

 Lấy C 2;4;3 d Gọi H, K lần lư t là hình chiếu của C lên (P) và đường thẳng AB Lúc này có

 

 P ,    P , dCAH Ta có: cosCAH AH AK const CAH

    lớn nhất khi H trùng với K Vậy mặt phẳng (P) đi qua AB và vu ng góc   (  là mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng AB và d)

Ta có: n  u , ABd   6;5; 2  n P n , AB     1; 10; 22  

Phương trình mặt phẳng (P): x 10y 22z 43 0.   

Chọn đáp án A

Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(o; ;0), C(0;0;3) Trong đó a,

b > 0 thỏa mãn a + b = 2 Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Biết rằng hi a, thay đổi thì điểm I luôn thuộc một đường thẳng  cố định Viết phương trình đường thẳng 

3 2

x t

z



 



    



 



B

1

3 2

y t t z



  





 



3

x t

z







    

 



3

x t

z







    

 



Lời giải

2 2

a b

2 2

a b

Đường thẳng d qua M và song song với Oz có phương trình là

2

2

a x

b

d y

z t

 





 











Gọi J là trung điểm của OC ta có: 0; 0;3

2

  Đường thẳng d’ qua J và song song với OM có phương trình

là:

2

2

3

2

a

b

z

 





 





 



Ta có: I  d d' Viết hệ phương trình giao điểm của d và d’ Ta có ; ;3

2 2 2

a b

Ta có

1 1

2

3

3 2

2

I

x y

z

z









Chọn đáp án B

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2;3 và c t ba tia Ox , Oy , Oz lần lư t tại A , B , C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất Phương trình mặt phẳng P là

A x y z 1

3  6 9

C x y z 0

1   2 3

Lời giải

Gọi A a;0;0 ; B 0;0; b , C 0;0;c , a, b, c       0

Mặt phẳng P có phương trình đoạn ch nx y z 1

a   b c

Vì M 1; 2;3    P nên 1 2 3 1

a  b c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dươn 1

a ;

2

b ; 3

cta đư c

Do đó , VOABC 1abc 27

6

Dấu xảy ra

a 3

b 6

c 9







     

 



Vậy   x y z

3  6 9

Chọn đáp án B

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng  P : x2y z 1 0;  

 Q : x2y z 8  0; R : x  2y z 4  0 Một đường thẳng d thay đổi c t 3 mặt phẳng      P , R , Q lần lư t

tại A, B, C Đặt T AB2 144

AC

  Tìm giá trị nhỏ nhất của T

A min T 108. B min T72 3.3 C 3

min T72 4 D minT96

Lời giải

Gọi M, N lần lư t là hình chiếu của B lên mp(P), mp(R)

Ta có:       9

BM d P , Q

6

  và       12

6

BM BC 12 AB AC 



3 9AC 3 9.72.72 108 min T 108

AC AC

Dấu xảy ra khi và chỉ khi 9AC2 72 AC 2

AC

Chọn đáp án A

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ,   2 2 2

m

S x y z  mx m ymz  m

A r3 B r 2 C r 3 D r2.

Lời giải

Mặt cầu có bán kính

R m  m     m     

nhỏ hơn 2 nên chỉ có đáp án B thỏa mãn

Chọn đáp án B

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :, P x   y z 1 0 hai điểm

(1; 2; 2), B(2;0; 1),

A   viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua hai điểm , A B sao cho góc giữa hai mặt phẳng ( ) P

và mặt phẳng ( )Q nhỏ nhất

A 4x y 2z100. B x2y3z 1 0. C x  z 3 0. D 2x   y z 6 0

Lời giải

Gọi  là giao tuyến của 2 mặt phẳng  P và  Q Khi đó góc giữa  P và  Q nhỏ nhất khi và chỉ khi  d Đường thẳng AB qua (1; 2; 2)A  và có AB(1; 2;1)

Khi đó TCP của  là: u n P;AB (1; 2;3) suy ra

 

Q

n AB u    Q x y z 

Chọn đáp án A

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c với a, ,c dương thỏa mãn

6

a b c   Biết rằng a, , c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định Tính khoảng cách d từ M1;1;1 tới mặt phẳng (P)

A d  3 B 2 3

3

3

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AB Do tam giác OAB vuông tại O ta d ng đường thẳng Mt qua M vuông góc với (OAB)

tại M Khi đó Mt c t trung tr c của OC tại điểm ; ;

2 2 2

a b c

  và I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

a b c

x   y z     A B C P x  y z

cố định

Khi đó d I ; P 0

Chọn đáp án D

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng Pđi qua điểm M(1; 2; 4) và c t các trục tọa độ Ox,

Oy, Oz lần lư t tại A, B, C thỏa mãn 12 12 12

OA OB OC nhỏ nhất Mặt phẳng Pđi qua điểm nào dưới đây ?

A T1; 2; 4  B T3;5; 2 C T2; 2;6  D T1;1;5

Lời giải

Gọi I là hình chiếu của O lên AB,H là hình chiếu của O lên CI

Ta có: 12 12 12 12 1 2 1 2 1 2

OA OB OC OI OC OH OM

   nhỏ nhất là khi OM ABC  ABC qua

(1; 2; 4)

M nhận OM1; 2;3 làm vtpt

 Phương trình ABC :1 x 1 2 y 2 4 z40

Hay ABC:x2y4z21 0

Ta thấy T1;1;5  ABC

Chọn đáp án D

Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a điểm A1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3 Gọi M là điểm thay đổi

trên mp(ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 1 Biết rằng N luôn thuộc một mặt cầu cố định Viết

phương trình mặt cầu đó

A 2   2 2

x  y  z 

C

         

         

Lời giải

Phương trình mặt phẳng ABC là 1

x  y z Gọi N(a;b;c) thì 2 2 2

ON  a b c

2 2 2

 

2

0

Do đó điểm N thuộc mặt cầu 2 2 2

0

2 3

y z

x y z    x

Chọn đáp án C

Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) :P ax by cz   d 0 ( với a2 b2 c2 0) đi qua

hai điểm (1;0;2), ( 1; 1;0)B C   và cách (2;5;3)A một khoảng lớn nhất Khi đó giá trị của biểu thức F a c

b d





 là

3 2

7



Lời giải

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng m x.  1 n y  p z. 20với m2n2p2 0

Mà C 1; 1;0   P  2m n 2p0

Khi đó, hoảng cách từ điểm A đến mp(P) là    

 2 2 2

9

;

4

m p

d A P





Ta có  

 

2 2

2

1

m p

 Do đó    

 

2 2 2

;

1 4 4

2

d A P

m p





3 2

Vậy d A P ;  max 3 2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m p

Chọn m    1 n 4  P :x4y  z 3 0 Suy ra 2 2

F

 

Chọn đáp án D

Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:x y 1 z



 và

2

:

   Một mặt phẳng  P vuông góc với 1, c t trục Oz tại A và c t 2 tại B Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AB

A 2 30

2 31

6

24

5

Lời giải

Gọi A 0;0;a  và B b 1; 2b; b 2    suy ra ABb 1; 2b; b a  2

Vì ABmp P  và vuông góc với   1 AB.u 1  0 2 b 1   2b b a     2 0 a b

AB a 1; 2a; 2  AB AB  a 1 4a  4 5a 2a 5

2

min

Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là 2 30

5 Chọn đáp án A

Câu 23 Cho ba tia Ox, Oy, Oz đ i một vuông góc với nhau Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC 1 ; các điểm

A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA OB OC Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A 6

6

6 2

Lời giải

Đặt OA a,OB b  với a, b0 suy ra OA OB OC  a b 1

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (OA, OB, OC đ i một vuông góc) là

 

2

Dễ thấy

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1

2

  Vậy giá trị bé nhất cần tìm là 6

4 Chọn đáp án A

Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:x 1 y 1 z 1

2

:

 c t nhau và cùng nằm trong mặt phẳng  P Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 và 2 và nằm trong mặt phẳng  P

x 1 t

y 1 2t t

z 1 t

 





  



x 1

z 1 2t







  



x 1

z 1 t







  



x 1 t

y 1 2t t

z 1

 





 



Gọi A 1;1;1  là giao điểm của    1 , 2

Và B 2;3;3     1 , C 0; 1;3    2

+ AB1; 2; 2 và AC   1; 2; 2ABAC3

Và BC2 5cos BAC  0 ABC là tam giác tù

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua

AB' 0; 1; 1   AB'C cân và là tam giác nhọn

Gọi M là trung điểm của B’C M 0; 1;1  AM chính là đường phân giác trong của góc CAB'

+ AM   1; 2;0 phương trình đường thẳng (AM) là  

x 1 t

y 1 2t t

z 1

 





 



Chọn đáp án D

Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;3       Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng  ABC và N là một điểm trên tia OM sao cho OM.ON  2 Biết rằng N thuộc một mặt cầu cố định Tính bán kính của mặt cầu đó?

A R 7

6

Lời giải

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z 1

1  2 3 Gọi N(a;b;c) thì 2 2 2

ON a b c

2 2 2

Lại có M (ABC) 2 2a2 2 2 b2 2 2 2c2 2 1