Khi đó điểm B thay đổi trên một mặt cầu có phương trình là: A.. Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định.. Tính bán kính mặt cầu đó.. Biết rằng C luôn thuộc một đường
Trang 1Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai điểm M B thỏa mãn ,
4MAMA MB MB. 0 Giả sử điểm M thay đổi trên mặt cầu 2 2 2
x y z Khi đó điểm B thay đổi trên một mặt cầu có phương trình là:
A 2 2 2
C 2 2 2
Lời giải
Từ 4MAMA MB MB. 0 ta suy ra MA cùng chiều với MB Hơn nữa:
4MAMA MB MB. 0 4MAMA MB MB. 4MAMA. MB MB. 4MA MB Vậy M là điểm thoả 2MA MB , suy ra: MA MA MB 0 MA BA 0 suy ra Alà trung điểm củaMB
Vì điểm M thay đổi trên mặt cầu 2 2 2
S x y z có tâm là điểm A 1; 1;3 nên
MB là đường kính của mặt cầu S , do đó khi M thay đổi trên S thì điểm B cũng thay đổi trên mặt cầu này Do đó ta chọn đáp án A
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P x: 2y Trong 2z 6 0 P lấy điểm M và
xác định điểm N thuộc đường thẳng OM sao cho ON OM 1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Điểm N luôn thuộc mặt cầu suy ra có phương trình
B Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình
C Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0
D Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0
Lời giải
Vì O, M, N thẳng hàng và OM ON 1 nên OMON 1
Từ OM ON 1 suy ra OM 1 2 ON
ON
Trang 2
Gọi N a b c , khi đó ; ; M 2 a2 2; 2 b2 2; 2 c2 2
Vì M P nên 2 a2 2 2 2b2 2 2 2c2 2 6 0
a b c a b c a b c
a b c
a b c a b c
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1,0,0 , B0,2,0 , C0,0,3 Tập hợp các điểm
; ;
M x y z thỏa MA2MB2MC là mặt cầu có bán kính 2
Lời giải
Ta có
Suy ra tập hợp các điểm M x y z thỏa mãn là mặt cầu có bán kính , , R 2
Câu 4 Trong không gian tọa độ Oxyz,cho hai điểm A1;0;0 và B5;0;0 Gọi H là tập hợp các điểm M trong
không gian thỏa mãn MA MB 0 Khẳng định nào sau đây là đúng?
A H là một đường tròn có bán kính bằng 2
B H là một đường tròn có bán kính bằng 4
C H là một mặt cầu có bán kính bằng 2
D H là một mặt cầu có bán kính bằng 4
Lời giải Gọi I là trung điểm
I3;0;0 AB
Trang 3Ta có MA MB 0 MIIA MI IB 0 MIIA MIIA0
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , điểm M thay đổi trên mặt
phẳng ABC N là điểm trên tia OM sao cho , OM ON 12 Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu đó
A 7
5
2
Lời giải Phương trình mặt phẳng ABC: 6x 3y 2z 12
Giả sử N x y z ; ; ON x2 y2 z2 Vì N là điểm trên tia OM và thỏa OM ON 12 suy ra
2
2
12
ON
M
12
2 3 2 2 49
x y z
Vậy N thuộc mặt cầu cố định bán kính 7
2
R
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P x y z: và hai điểm 3 0 A 1;1;1 ,
3; 3; 3
B Mặt cầu S đi qua hai điểm ,A B và tiếp xúc với P tại điểm C Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định Tính bán kính của đường tròn đó
3
3
Lời giải
Trang 4Phương trình đường thẳng AB là
x t
y t
z t
Giao điểm của AB và P là I3;3;3 Suy ra IA 2 3 và IB 6 3
Vì mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P tại C nên IC là tiếp tuyến của mặt cầu S Do đó
2
IAIB IC IC IAIB 6
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định nằm trên mặt phẳng P với tâm I3;3;3, bán kính bằng 6
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A10;6; 2 , B5;10; 9 và mặt phẳng
: 2x 2y z 12 0 Điểm M di động trên sao cho MA, MB luôn tạo với các góc bằng nhau Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn cố định Hoành độ của tâm đường tròn bằng
Lời giải
Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,, A B trên mặt phẳng , khi đó:
2.10 2.6 2 12
AH d A
; 2.5 2.10 9 12 3
BK d B
M
A
B
H
K
Trang 5Vì MA, MB với các góc bằng nhau nên AMH BMK Từ AH 2BK suy ra MA2MB
Gọi M x y z , ta có: ; ;
2
MA MB MA2 4MB2
2 2 2 2 2 2
Như vậy, điểm M nằm trên mặt cầu S có tâm 10 34; ; 34
I
và bán kính R 2 10 Do đó, đường tròn
là giao của mặt cầu S và mặt phẳng , nên tâm J của đường tròn D là hình chiếu vuông góc của I
trên mặt phẳng
Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng là
10 2 3
34 2 3 34 3
Tọa độ điểm J là nghiệm x y z của hệ phương trình:; ;
10 2 3
34 2 3 34 3
x y z
2 10 12 2 3
x y z t
Vậy J 2;10; 12
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 4; 2;7 và mặt phẳng
P : 1 m x 1 m y 1 3m z 2 8m Khi m thay đổi, biết tập hợp hình chiếu của 0 A
trên mặt phẳng P là một đường tròn, đường kính của đường tròn đó bằng
Lời giải
Trang 7Phương trình đường thẳng AB là
1 2
1 4
x y
Giao điểm của AB và P là I 1;2;3 Suy ra IA 4 và IB 8
Vì mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P tại C nên IC là tiếp tuyến của mặt cầu S Do đó
2
IAIB IC IC IAIB 2 2
Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định nằm trên mặt phẳng P với tâm I 1;2;3 , bán kính bằng 6 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 3; 0;0 , B 1;2;1 và C2; 1;2 Biết mặt phẳng qua B
, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là 10; ;a b Tổng a b là
Lời giải Chọn B
Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I x y z ; ;
Ta có phương trình mặt phẳng OBC là x z 0
Phương trình mặt phẳng ABC là 5x 3y 4z 15 0
Tâm I cách đều hai mặt phẳng OBC và ABC suy ra
x y z
10.3 3.0 0 15 10.0 3.0 0 150 3.0 5 0 3.0 5 0 0
suy ra hai điểm A và O nằm cùng phía và nằm khác phía suy ra loại
và nhận mặt phẳng
Trang 8Mặt phẳng 10x 3y z 15 0 thỏa mãn đi qua B 1;2;1 và C2; 1;2 và có một vectơ pháp tuyến
là 10;3;1 suy ra a 3, b 1.Vậy a b 2
Câu 11 Trong không gian Oxyzcho các điểm A1; 0 ; 0,B0; 2;0,C0;0;3 Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ
diện OABC ?
A 2 2 2
C
x y z D
x y z
Lời giải Phương trình mặt phẳng ABC là 6x3y2z 6 0
Phương trình mặt phẳng OAB là z0
Phương trình mặt phẳng OBC là x0
Phương trình mặt phẳng OAC là y0
Gọi I a b c ; ; là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC suy ra khoảng cách từ I đến các mặt phẳng kể trên đều bằng nhau và bằng R , tức là 6 3 2 6
7
a b c R
Vì I a b c ; ; là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có các tọa độ đỉnh đều không âm nên ta có a 0; b 0
; c 0
11 6 7
a a b c R
11 6 7
11 6 7
a
a a
a
3 2 1 3
a a
3 2 1 3
R R Vậy có hai mặt cầu cùng tiếp xúc với bốn mặt của tứ diện OABC , mặt cầu có bán kính nhỏ hơn sẽ nội tiếp tứ
diện, mặt cầu bán kính lớn hơn sẽ bàng tiếp tứ diện suy ra loại R13
Vậy phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC lả
x y z .
Trang 9Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA0;3; 0, B1;0;0, C1;1;1 Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu
nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là 3 2; ;a b Tổng a2 b2 là
A 26 B 26 4 22 C 26 4 22 D 22
Lời giải Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I x y z ; ;
Ta có phương trình OBC là y z 0
Phương trình mặt phẳngABC là 3x y z 3 0
Tâm I cách đều hai mặt phẳng OBC và ABC suy ra
2 11 3 2 11 2 2 11 3 2 0
y z x y z
Nhận thấy hai điểm A và O nằm cùng phía với nên loại và hai điểm A và O nằm khác phía nên nhận
Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là 3 2; 11 2; 2 11suy ra a 11 2 , b 2 11
Vậy a2b2 26 4 22
Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A0; 0; 0, B3;0;0, C1;2;1
, D2; 1;2
Gọi I là tâm mặt
cầu nội tiếp tứ diện ABCD Lập phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng ICD?
Lời giải Phương trình mặt phẳngACD là x z 0
Phương trình mặt phẳngBCD là 5x3y4z 15 0
Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I x y z ; ; suy ra I cách đều 2 mặt phẳng ACD và BCD tức
Trang 10
x y z
10.3 3.0 0 15 10.0 3.0 0 150 3.0 5 0 3.0 5 0 0
suy ra A,B nằm cùng phía của mặt phẳng 1 và nằm khác phía của mặt phẳng 2
Mặt phẳng 10x 3y z 15 0 2 thỏa mãn đi qua C 1;2;1 và D2; 1;2 suy ra phương trình mặt phẳng ICD là 10x3y z 15 0
Phương trình đường thẳng cần tìm qua D2; 1; 2 có 10;3; 1
d
a
nên d có phương trình là 2 1 2