Học sinh giỏi 12 toán

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

DẠNG 17: TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

Câu 263:Trong không gian Oxyz , cho điểm A(−3;3; 3− ) thuộc mặt phẳng ( )α :2 – 2x y z+ +15 0= và mặt

cầu ( )S : (x 2)− 2+ −(y 3)2+ −(z 5)2 =100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng ( )α cắt( )S tại A, B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là

Mặt cầu ( )S

có tâm I(2;3;5)

, bán kính R=10 Do (I, ( )) Rd α < nên ∆ luôn cắt ( )S

tại A, B.Khi đó 2 ( )2

(I, )

Do đó, ABlớn nhất thì d I( ,( )∆ ) nhỏ nhất nên ∆ qua H, với

H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )α Phương trình

x 2 2t

y 35

Câu 264:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M(2;2; 3− ) và N(−4;2;1) Gọi ∆ là

đường thẳng đi qua M , nhận vecto ur=(a b c; ; ) làm vectơ chỉ phương và song song với mặt

phẳng ( )P : 2x y z+ + =0 sao cho khoảng cách từ N đến ∆ đạt giá trị nhỏ nhất Biết a

, b làhai số nguyên tố cùng nhau Khi đó a + +b c bằng:

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi ( )Q

là mặt phẳng đi qua M(2; 2; 3− ) và song song với mặt phẳng ( )P

.Suy ra ( )Q : 2x y z+ + − =3 0.

Do ∆ // P( ) nên ∆ ⊂( )Q .

( , )

d N ∆ đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ ∆ đi qua N′, với N′ là hình chiếu của N lên ( )Q .

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc ( )P ,

( ) (1 ; 2 ; 2 )

M∈ ∆ ⇒M − − +t t t , f t( )=MA2+MB2 =12t2−48t+76.

Ta thấy f t( ) là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol với bề lõm hướng lên nên đỉnh của parabol là

điểm thấp nhất trên parabol⇒ f t( ) đạt giá trị nhỏ nhất khi t=2 (hoặc tính đạo hàm f t'( ) , lập

Hướng dẫn giải Chọn B

Suy ra M(3;3;3) ⇒ + + =a b c 9.

Câu 267:Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(0;0; 1− ), B(−1;1;0), C(1;0;1)

Tìm điểm M sao cho

x

⇔ = −

,

12

y=, z= −1, khi đó

Ta có AB=3 6; AC=2 6; BC= 6.

Câu 269:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1

∆ có vectơ chỉ phương uuurAB= −(b 2 ;3a b a− − − + +2; 2b a 4)

( )P có vectơ pháp tuyến nuurP =(1;1;1)

Vì ∆/ / P( ) nên uuur uurAB⊥n P ⇔uuur uurAB n P = ⇔ = −0 b a 1.Khi đó uuurAB= − −( a 1; 2a−5;6−a)

2 2

Đường thẳng ∆ đi qua điểm

5 96; ;

2 2

  và vec tơ chỉ phương uuurd = −( 1;0;1)

Vậy phương trình của ∆là

65292

Tọa độ giao điểm B của d và ( )P

là nghiệm của hệ phương trình

x y z

Gọi Hlà hình chiếu của A lên ∆

Gọi d A( ,∆ =) AH ≤ AB, nên d A( ,∆) đạt giá trị lớn nhất là AB, khi đó đường thẳng ∆ qua B

và có một véc tơ chỉ phương là ur =n ABuur uuurP, = − −(1; 2;1)

với nuurP =(1;1;1) .

Thế tọa độ B(1;0;1) vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn.

Câu 271:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số

1

2 2 , 3

A M(3; 2;5− ). B M(3; 2;5). C M(− − −3; 2; 5). D M(3; 2; 5− − ).

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ứng với tham số t =2 ta được điểm M(3; 2;5− ).

Câu 272:Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; 2; 5− − ) và đường thẳng ( ): 1 1

Câu 273:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( )P x: −2y+2z− =5 0, A(−3;0;1), B(1; 1;3− ) Viết

phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với ( )P

sao cho khoảng cách từ B đến d là

Đường thẳng d đi qua A nên d B d( ; ) ≤BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi

AB d⊥ ⇒ ⊥ur uuurAB , với ur là vectơ chỉ phương của d

Lại có d song song với ( )P nên ur⊥nuuur( )P

x y− z

và hai điểm A(1;2; 5 − ), B(− 1;0;2) .Biết điểm M thuộc ∆ sao cho biểu thức T= MA MB− đạt giá trị lớn nhất là Tmax Khi đó, Tmaxbằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn C

T= MA MB− ≤AB Dấu bằng xảy ra khi M trùng C Vậy Tmax =AB = 57

Câu 275:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có M∈d :

12

gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất Nếu ur =(a; 1;b) là một vectơ chỉ phương của d thì tổng

2 3

S = a+ b bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn C

Hướng dẫn giải Chọn C

3 6 14 9

t d

∆ =

+ +Xét hàm số ( ) 2 2

Do đó min cos (∆,d)= ⇔ = ⇒0 t 0 uuuurAM =(2; 2 1− )

Vậy phương trình đường thẳng d là

x+ = =y z+

− .

Câu 278:Cho hai điểm A(1; 4;2)

, B(−1;2;4) và đường thẳng ∆: x−−11= y1+2= 2z. Tìm tọa độ điểm

M ∈ ∆ mà MA2 +MB2 nhỏ nhất.

A (0; 1;2− ). B (2; 3; 2− − ). C (−1;0; 4). D (1; 2;0− ).

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 279:Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( )P

Ta có: (− −3 2.0 2.1 5 1 2 1+ − ) ( − ( )− +2.3 5− = − <) 24 0.

⇒A , B là hai điểm nằm khác phía so với mặt phẳng ( )P

.Gọi H là hình chiếu của B lên ∆

Ta có: BH ≤BA nên khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A

Đường thẳng d đi qua M(1; 1; 3− ) và có véc tơ chỉ phương uur1=(2; 1; 1− ).

Nhận xét rằng, A d∉ và d∩( ) (P = −I 7; 3; 1− ).

Gọi ( )Q

là mặt phẳng chứa d và song song với ∆ Khi đó d(∆,d) =d(∆,( )Q ) =d A Q( ,( ) ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên ( )Q

và d Ta có AH ≤ AK.

Nguyen

Do đó, d(∆,d) lớn nhất ⇔ d A Q( ,( ) )

lớn nhất ⇔ AHmax ⇔H ≡K Suy ra AH chính là

đoạn vuông góc chung của d và ∆

Mặt phẳng ( )R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n( )R = AM u, 1

uuur uuuur ur

( 2; 4; 8)

Mặt phẳng ( )Q

chứa d và vuông góc với ( )R

nên có véc tơ pháp tuyến là n( )Q = n( )R ,u1

uuur uuur ur

(12; 18; 6)

Đường thẳng ∆ chứa trong mặt phẳng ( )P

và song song với mặt phẳng ( )Q

nên có véc tơ chỉphương là u= n( )P ,n( )R 

r uuur uuur

(66; 42; 6)

= − =6 11; 7; 1( − ) .

Suy ra, a=11;b= −7 Vậy a+2b= −3.

Câu 281:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 3− ) và B(−3; 2;1) Viết phương trình đường thẳng

d đi qua gốc toạ độ sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d lớn nhất.

Đường thẳng trong đáp án C, D không đi qua A, nên ta loại C,

M − Giả sử đường thẳng d đi qua M và cắt ( )S

tại hai điểm P , Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất Phương trình của d là

Mặt cầu ( )S

có tâm I(−1; 2;1).

Đường thẳng d đi qua M và cắt ( )S

tại hai điểm P , Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất khi d đi qua tâm I của ( )S

, suy ra d có véctơ chỉ phương là IMuuur=(2; 1; 2− − )

Câu 284:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm , A(1; 1; 2− ), song song với

( )P : 2x y z− − + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng ∆:x1+1= y−21= 2z

∆ có vectơ chỉ phương auur∆ = −(1; 2; 2)

d có vectơ chỉ phương auurd =(a b c; ; )

( )P

có vectơ pháp tuyến nuurP =(2; 1; 1− − )

Vì d/ /( )P nên auur uurd ⊥n P ⇔a nuur uurd. P = ⇔0 2a b c− − = ⇔ =0 c 2a b−

=, ta có: ( ) (2 )2

5 41

cos ,

t d

−

∆ =

− +Xét hàm số ( ) (2 )2

đi qua ∆ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

A 19x−17y−20z−77 0= . B 19x−17y−20z+34 0= .

C 31x− − + =8y 5z 91 0. D 31x− − − =8y 5z 98 0.

Hướng dẫn giải Chọn D

Đường thẳng d có VTCP là uur1=(3;1; 2) .

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;0; 1− ) và có VTCP là ur=(1; 2;3) .

Do ∆ ⊂( )P nên M∈( )P Giả sử VTPT của ( )P là nr =(A B C; ; ),(A2+B2+C2 ≠0)

.Phương trình ( )P có dạng A x( − +3) By C z+ ( + =1) 0.

5 12 1014

t sin

sinα = f   ÷=

So sánh TH1 và Th2 ta có sinα lớn nhất là

7514

sinα =

khi

85

B

C =.Chọn B= − ⇒ = − ⇒ =8 C 5 A 31.

Phương trình ( )P

là 31(x− −3) 8y−5(z+ = ⇔1) 0 31x−8y−5z−98 0= .

DẠNG 18: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐK

Câu 286:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;0)

, B(2; 2;2)

, C(−2;3;1)và đườngthẳng

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) thì nr=(1;2; 2− ) ⇒ phương trình mặtphẳng (ABC) là x+2y−2z− =2 0.

t t

t t

Với

54

Ta có E nằm trên tia Oy nên có tọa độ E(0; ; 0 ,b ) b>0 Ta có uuur uuurAB AC,  = (0; 4; 2− − )

Câu 288:Cho A(2; 1; 1− ) và ( )P x: +2y− + =2z 3 0 Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với

( )P Tìm tọa độ M thuộc d sao cho OM = 3.

x y z+ + − = Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P

sao cho mọi điểm

thuộc đường thẳng d luôn cách đều hai điểm A và B

A

7 32

Vì mọi điểm thuộc đường thẳng d luôn cách đều hai điểm A và B nên đường thẳng d nằm

trong mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Do đó d là giao tuyến của mặt phẳng ( )P

vàmặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Ta gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra

Điểm nào sau

đây thuộc được thẳng d ?

Thay trực tiếp tọa độ các điểm trên vào đường thẳng d ta thấy chỉ có điểm P(3;1;1)

Câu 292:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

bằng 2

A M(− − −1; 3; 5). B M(− − −1; 5; 7) . C M(− − −2; 5; 8). D M(− − −2; 3; 1).

Hướng dẫn giải Chọn A

Thế tọa độ điểm P(7; 2;1) vào đường thẳng ( )d ta có: 2 2= ≠ −21

nên P(7;2;1)không thuộc

t t

A M(3; 2; 5− − ). B M(3; 2;5− ). C M(3; 2;5). D M(− − −3; 2; 5).

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ứng với tham số t =2 ta được điểm M(3; 2;5− ).

Câu 296:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0) , B(1;2;2) , M(1;1;0) và mặt

phẳng ( )P x y z: + + −20 0= Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho MN song

Đường thẳng AB đi qua A và nhận uuurAB= −( 1;1;2) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham

số là:

212

Câu 297:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x y− −2z=0, d : x1−1= =2y z+22.

Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và ( )P là

A A(3;0;3). B A(3;3;0). C A(3;0;0). D A(3;0;3).

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

2

22

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: uuurAB=(1; 2;0) , phương trình đường thẳng

; ;

M t

Ta có :∆

122

Gọi A a( +1;3a+2;a) , B b(− −1; 2b+1; 4b+2)

Ta có: MAuuur=(a−2;3a−1;a+2) , MBuuur= − −( b 4; 2b−2; 4b+4)

Ta có: M A B thẳng hàng MA kMB, , ⇔uuur= uuur

00

a b

Câu 304:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;0) ,B(−2;3;1), đường thẳng ∆:x3−1= =2y z1+2.

Tọa độ điểm M trên ∆ sao cho MA MB= là

( )P x y z: + − − =1 0 Có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường thẳng ( )d

sao cho khoảng cách từđiểm đó đến mặt phẳng ( )P bằng 3

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi M(3 2 ;1+ m +m;5 2+ m) ( )∈ d ( với m∈¡ ) Theo đề ta có dM P,( ) 3

Vậy có tất cả hai điểm

Câu 306:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4; 2 ,) (B −1;2;4) và đường thẳng

Phương trình tham số đường thẳng

Cách 1.

Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

Vectơ chỉ phương của d là ur =(2;2;1)

, vectơ pháp tuyến của ( )P

.Vậy d M P( ,( ) )=8

Tọa độ giao điểm I của d và ( )P

là nghiệm của hệ phương trình:

Vì M Î ( )d Þ M t( +1;1- t t; 2 )Þ AMuuur= + - -(t 1; 1 t t; 2 +2).

Theo đề: AM = 6 Û AM2= 6

M M

sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến Tính T = + +a b c.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi mặt phẳng đi qua M nhận uuuurAM( 1; 2; 1)

làm vectơ pháp tuyến nên:

( ) (R : 1 x− +1) (2 y− +2) (1 z− =3) 0 ⇔ +x 2y z+ − =8 0.

Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng ( )R

và ( )P

.Vectơ pháp tuyến của mp ( )P là: nr( 1; 1; 2− )

x y z

z 2.3 2

C C C

2;1; 2 ; 2; 2;1 ; 1 2 ; 2 ;3 2 2 1; 3; 2 t 31

uuur uuur uuuur

Do M có toạ độ âm nên chọn M(− − −1; 3; 5).

Câu 314:Trong không gian Oxyz , cho hình thoi ABCD với A(−1;2;1 ,) (B 2;3;2) Tâm I của hình thoi

Gọi I(− − −1 ; ; 2t t + ∈t) d IA.uur=(t t; + − −2; t 1 ,) IBuur= +(t 3;t+ −3; t).

Do ABCD là hình thoi nên IA IBuur uur. = ⇔0 3t2+ + = ⇔ = −9t 6 0 t 2;t= −1.

Do C đối xứng A qua I và D đối xứng B qua I nên:

+) t= − ⇒1 I(0;1;1) ⇒C(1;0;1 ,) (D − −2; 1;0) .

+) t= − ⇒2 C(3; 2; 1 ,− ) (D 0;1; 2− ) .

Câu 315:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4;2)

4

t a

Câu 318:Cho mặt phẳng ( )P x: +2y+2z−10 0= và đường thẳng d:

1 2

1 52

z t Điểm nằm trên d sao

cho khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng ( )P bằng 1 là

A (3; 4;1) và

8 90; ;

;1;

5 55

M t

t

M t

−

197

−

Hướng dẫn giải Chọn D

196

Phương trình tham số của

− =



⇔  − = − 111

t t

=



⇔  = − .

Vì M có hoành độ âm nên chọn t= −1 Khi đó tung độ của M bằng 3− .

Câu 321:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0; 2; 4 ,− ) (B −3;5; 2) Tìm tọa độ

điểm M sao cho biểu thức MA2+2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có uuurAB= −( 3;3;6) ⇒một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB là ur = −( 1;1;2) Phương

Mà J∈( ) (α : 2 1 2+ t) (+2 1 2+ t)+ + +1 t 10 0= .

53

Câu 323:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

H a b c là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất Tính T =a3+ +b3 c3.

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình tham số của đường thẳng

21

t t