ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 12 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN LỚP 12 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT

LONG AN Môn Toán khối 12 , năm học 2010-2011

- Ngày thi : 23/01/2011

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút ( không kể phát đề )

Chú ý:

Các giá trị đều phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn.

Bài 1: Cho hàm số: y  2 x  3   2 x2 3 x  Tính gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 5 của hàm số.

Bài 2: Cho x  0, y  0, x y   1

Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, biết độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy là d  3,415 cm , góc giữa cạnh bên và đáy bằng 42o.Tính gần đúng thể tích khối chóp đó

Bài 4: Cho : x1005 + y1005 = 1,005 và x2010 + y2010 = 2,010

Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức:P = x3015 + y3015.

Bài 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình :



















y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2 log 72 log

log 3 log log

Bài 6: Cho hàm số :



1

y = f(x) = x + 1 +

x 1 có đồ thị (C) Tìm gần đúng tọa độ những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1, sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận của nó một tam giác có chu vi bé nhất.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình : x+y-3 = 0, đường thẳng

BC có phương trình : 2x - y = 0 Tìm gần đúng tọa độ điểm C biết đường thẳng AC đi qua M

 2010, 2011 

Bài 8:Cho hàm số: y x  3 3 mx2 9 x  3 m  5 Tính giá trị gần đúng của m để hàm số có hai cực trị và hình chiếu vuông góc của hai điểm cực trị lên đường thẳng y = 2011 x  2010 , trùng nhau.

Bài 9: Tính gần đúng các nghiệm của phương trình: 2 3

2

x

Bài 10: Cho dãy số(un) xác định như sau :

1

1

2

2 1

( 1,2,3, )

1 ( 2 1)

n n

n

u

u

u







 Tính gần đúng : P = u2010  u2011

- HẾT

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO

LONG AN NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM KHỐI 12

1

2

f x  x   x  x có tập xác định là: 5

; 1 2

2

4 3 '( ) 2

x

f x

 

f x    x  x  x  x  x  (x  -0,75)

Giải phương trình bậc hai ta được:

2,178869017 0,75; 0,6788690166 1

Do đó phương trình chỉ có một nghiệm trong tập xác định là:

2

9 7 6

0,6788690166 12

 

Vậy:

-0,21339 -8,00000

0,5 0,5

2

Đặt cos ;2 sin2 0;

2

  khi đó

cos sin cos sin

T



Đặt

sin cos 2 sin sin cos

t

2

3 2

3 1

t t

t

 

 

 24 2     

3

1

t

t

 



 Vậy min1; 2    2 2

t f t f



2

x y   Hay min T  2 khi

1 2

1,41421 1

3 Gọi cạnh đáy của chóp tứ giác đều SABCD là a, chiều cao là h,  là góc giữa

cạnh bên và đáy, d là khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy

Khi ấy SH tg

AH   hay 2

2

a

h SH  tg Mặt khác,

2 ( ) 2 2

2

a

h  d hay 2 2 2 2

tg  d

Suy ra 2

2 1

d a

tg 



1 2

tg



Thể tích tứ diện được tính theo công thức:

2

2

V ha

tg





15,93124

1

4 Đặt a = x1005 ; b = y1005 => cần tính a3+b3

Biến đổi được: 3 3 1   2 2  2

3 2

Từ đó tính được a3+b3

2,52253 1

5 ĐK: x 0, 0y





























y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2

log 3 log 2 3

log 3 log log

- Suy ra: y = 2x

- 2log13 1



x

2log23 1



y

x = 0,46084

y = 0,92169 0,50,5

6 Phương trình tiệm cận đứng : x = 1

Phương trình tiệm cận xiên : y = x + 1

Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận , thì I ( 1 ; 2 )

2

Gọi A(a ;a 1 1 ) (C) a 1

a 1

 Phương trình tiếp tuyến tại A là : y 1 1 2 (x a) a 1 1 (d)

(d) cắt tiệm cận đứng tại B thì tọa độ của B(1; 2a )

a 1 (d) cắt tiệm cận xiên tại C thì tọa độ của C(2a 1;2a)

Ta có : IB 2 ; IC 2 2 a 1 ; IB.IC 4 2

a 1



BC IB IC 2IB.IC cos IB IC 8

4



CV = IB + IC + BC

=IB+IC+ 2 2

2 IB.IC 2 2( 2 1) 4 2 2 2( 2 1)

CVmin= 4

4 22 2( 2 1)  IBIC

4

2 2 x 1 x 1



x=1,84089

y = 4,03010

0,5 0.5

7 Gọi (d) là đường thẳng qua M và song song với AB

(d): x y  2010  2011 0 

Gọi (D) là đường thẳng qua M và vuông góc với BC

(D): x 2y 2010 2 2011 0  

Gọi I, H lần lượt là giao điểm của (d) và (D) với BC:

I 2010 2011 2 2010 2 2011,

,

H 2010 2 2011 2 2010 4 2011,

Vậy C 2010 7 2011 2 2010 14 2011,

x=23,91614 y=47,83229

0,5 0,5

8

m

Rút ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là:y6 2 m x2 6m 5

Với Đk: m 3 m 3

Theo yêu cầu bài toán Ta có:  2 2 6 2011 1

6 2 2011 1

2 2011

1,73526 -1,73526

0,5 0,5

9 ĐK x 3

x

Đặt

2

1

1 2

u v



Ta được hệ phương trình

2

2

1 1 2 1 1 2



 





  



 3 17, 5 13

0,28077 -1,78077 -0,34861 -2,15138

0,25 0,25 0,25 0,25

10

Đặt u1 = 2 tga và

tan tan





8 ( 8 1













a tg tg

tga

tg tga

8 2 ( )) 8 ( ( 8 1

8

) 8

(























a tg a

tg tg

tg a

tg

*Bằng qui nạp ta chứng minh được : )

8 ) 1 (

tg a n

u n

*Cho n = 2010, ta có :



*Cho n = 2011, ta có :



-0,58578 1

Ghi chú:

- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm

- Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả.Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm

- Không nêu sơ lượt hướng giải trừ 0,2 điểm