Đề thi học sinh giỏi 12(có giải) toán tiền giang

Đề thi học sinh giỏi 12(có giải) toán tiền giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH

ĐÈ THỊ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Bang: A

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) Ngày thi thứ nhất: 23/10/2012

(Đề thi có 01 trang, gôm 03 bài / 06 câu)

Bai 1: (7,0 điểm) 1) Ham sỐ y = f(x) xac định và có đạo hàm trên tập số thực, thoả điều kiện:

[f(l+2x)] =x-[f(l-x)] , VxeR

Hãy việt phương trình tiêp tuyên với đô thị hàm sô y = f{x) tại điêm có hoành độ x=]

2) Cho hai ham sé: f(x) =(m-—1)6* - = +2m+l và h(x)=x—6'*

Tìm m để f(x).h(x) >0 với mọi x e|0;1]

Bài 2: (6,0 điểm)

L) Giải phương trình: 3(x? -3x +1)=-,/3(x* +x? +1)

2) Cho tập hợp A ={0;4;5;6; 7; 8} Hỏi có thê lập được bao nhiêu số có 4

chữ sô (các chữ sô này chọn từ tập A) Sao cho mỗi số tạo thành đều chia hết cho 4 ? Bài 3: (7,0 điểm)

1) Cho lục giác lỗi ABCDEF thoả mãn: AB = BC ; CD = DE ; EF =FA

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=——“+——+—— Khi đó có nhận xét gì về

BE DA FC hình tính lục giác ABCDEFE ?

2) Trong mặt phăng tọa độ Oxy, cho (P., ) 1a d6 thi cua ham số:

y =5x” + mx — (23m? + 10m + 2012)

Gọi (C,.) là đường tròn đi qua 3 giao điểm của (P ) với các trục tọa độ

Chứng minh răng khi m thay đổi các đường tròn (C„.) luôn đi qua 1 điểm có định

HET

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giảm thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: c se: S6 DAO danhiicecccccccccoccecccescessescescescesevsceeeees

Trang 1/1

Ni dug 4 1/2 t—

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH

DAP AN DE THI CHINH THUC Môn:TOÁN Bảng: A

(7,0) Với x = 0 thi [f()] =-[f()] nén (1) = 0 hode f(1) =-1 1,0

Lay đạo hàm hai về của đẳng thức đã cho ta được:

4f(+2x)f'đ+2x)=1+3{fđ- x)Ï f'- x) 0,5 Voi x =0, ta cd: 4fF(D.£ (I) =1+43[f()] £'O

Suy ra: f(1) # 0 nên f(1) = -I 1,0

Suy ra: h(x) < 0 véi moi x €[0;1)

Do đó: f(x).h(x) >0với mọi xe|0;1) & f(x)<0 với

Giải phương trình được y = 8 (loại nghiệm y = 8 <0) 0,5

(7,0) |: Ap dụng bât đăng thức Ptoleme cho tứ giác ACEF ta co:

AC.EF + CE.AF 2 AE.CF (Dat AC = a, CE = b, AE =c)

FA C Vì EF = FA nên ——> l

b+c c+a a+b ab+ac bc+ba ca+cb

Su dung BDT Cauchy-Schwarz, ta co:

D> (a+b+c) ` 3(ab + bc + ca) _ 3

2(ab+bc+ca) 2(ab+bc+ca) 2

Khi đó: ABCDEF Ia luc gidc déu 0,5

Theo hé thirc luong trong duong tron: chimg to duong tron (C,, )

qua 3 điểm A, B, C luôn đi qua điểm D cô định với mọi m 0,5

Trang 3

Bài 1: (7,0 điểm)

2

Xx

1 Tìm trên trục hoành các điểm có thê kẻ đến đồ thị hàm số y= hai

x-]

tiếp tuyến tạo với nhau một góc 451

2 Tìm các đa thức Í{x) thoả mãn: x.f{(x-l) = (x-3).Í{x) với mọi sô thực x

tích lớn nhất

2 Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là ý, bán kính đường tròn đáy là r

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt câu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất

cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt câu nội tiệp hình nón)

a Tính theo r, ý diện tích mặt cầu tâm I;

b Giả sử độ dài đường sinh của nón không đổi Với điều kiện nào của bán kính

đáy thì diện tích mặt câu tâm I đạt giá trị lớn nhât?

Trang 1/1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỶ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI CAP TINH

DAP AN DE THI CHINH THỨC

M € Ox > M(x ; 0), dwong thăng qua M với hệ sô góc k có

phương trình: y=k(x-—xạọ) (A)

(1) (4x-3)(Vx? -3x+4-2)20

Ta có: 4x-3 =0 <=> x=3/4

Vx? -3x+4-2=0<=> x =0 hodc x =3 0,5 Bảng xét dau:

Đặt vx = y(y > 0) thì phương trình đã cho trở thành: 0.5

18y* —18y’ -17y’? —-8y-2=0

Trang 2

Diện tích tam giác IAB là:

S= > IAIBsino = với œ= AIB , œ€(0;7)

Trang 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH

Môn: TOÁN Bang: A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) Ngày thị thứ hai: 24/10/2012

(Đề thi có 01 trang, gồm 03 bài / 05 câu)

1 Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm trên 2 đồ thị sau:

(P):y=9—xŸ và (C):(x-3) +(y-6) =1

2 Tìm tât cả các hàm sô f{x) liên tục trên R thoa mãn điêu kiện:

[fx)]'~ &x7+3)[f@«)]? + (xˆ+3)«) +x”—1=0, VxelR Bài 2: (7,0 điển)

1 Cho 2 số thực x, y thỏa điều kiện: Ix (4x -1)+ Sy (ly — 1) = 3/xy

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = Ÿ/x + ‡Íy + 4/xy

2 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: nếu các số p, p + d,

p + 2d là các số nguyên tổ thì d chia hết cho 6

Bài 3: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 và điểm D trên cạnh BC Gọi i,

va r, theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABD va

ACD Tim vi tri diém D de tích r.r, đạt giá trị lớn nhất

HET

Thí sinh không được sử dụng tài hiệu Giảm thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .- s5 sa Số báo danh: ssctertvxvzxerkesrxsred

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO — KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH

DAP AN DE THI CHINH THUC

Môn: TOÁN Bang: A

=—————-Ì khix=

2) ) (3,0 điểm) Dat f(x) =y; x*=t

Ta co phuong trinh: t°—(y’-y)tt y* —3y’+ 3y-1=0 0.5

Taco: m eT khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

2 2 0,5

pus 5

3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: S > 4P

Từ (1), (2) suy ra d chan

Trang 2

Js

theo dinh li ham s6 césin trong tam giac ABD ta co:

4(1+d) m(i-m)(l-d) m(lI-m)l-d

_ mũ=m)( =4) _ m(~m)(= 4) (4, (wy

4(1- dˆ) 4(m —m“)

_l=d

4 (I- —~ Vm? -m-+1]

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH

DE THI CHINH THUC Mén: TOAN Bang: B

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê)

Ngày thi thứ hai: 24/10/2012

(Đề thi có 01 trang, gôm 03 bài / 06câu)

y={(x)= Biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục toạ độ

giới hạn một tam giác có diện tích bằng >

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f{x) trên đoạn [-1; 2] biết 0)=1 và [f(x)]’.P(x) = 1+ 2x +3x’

Bai 2: (6,0 diém)

+") (ery)

(x-1)(y-1)

1 Cho x,y € R vax, y > 1 Tim gia tri nhỏ nhất của P=

x'-y` +3yˆ -3x-2=0

io VI-x” -3 2y-y' +m=0

Bài 3: (7,0 điểm)

1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và D là điểm đôi xứng với

MA’+ MB? + MC* + 3MD*= I5R°

2 Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM có phương trình 2x+y+ 1 =0 và phân giác trong CD có phương trình x + y — 1 = 0 Việt phương trình đường thăng BC

HET

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giảm thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ‹-55cccc<<<s+2 Số báo danh: se cxcxsvsksrerered

Trang 1/1

SO GIAO DUC VA DAO TAO

DAP AN DE THI CHINH THUC Mén: TOAN Bang: B Ngày thi thứ hai: 24/10/2012

Goi A(a; f(a)) nam trên đồ thị thoả điều kiện bài toán

Phương trình tiêp tuyên tại A: y = Ÿ(a) (x - a) + f(a)

2) (3,0 diém) x? -y>+3y?-3x-2 = 0 (1) x? + 1-x? -3,/2y-y” +m=0 (2)

Đặt /=x + 1 >/e[0; 2]; ta có (1) ©f`- 3 =y' - 3y

Hàm số ƒ{) = ` - 3ˆ nghịch biến trên đoạn [0; 2] 0,5

(70) |: Gọi G là tam ti cu cua 4 diém A, B, C, D voi hé so 1, 1, 1, 3

Ta có: O là trọng tâm tam giác đều ABC nên:

GA +GB+GC =3GO Nên: 3GO +3GD =0

Vậy: G là trung điêm DO (cũng là trung điêm BC) 0,5

.Tacó: MA”+ MB” +MC” + 3MD”

— ——x2 —ờ- —\2 —< ——_.\ 2 —_ —>

- (MG + GA) +(MG + GB) +(MG +GC) +3(MG +GD]

=6MG?+GA”+GB” +GC7 + 3GD?+ 2MG(GA + GB+GC +3GD)

.Ta có: MenMe2|° 7: +? y1=0

©t=-7

Tt A(1; 2) ké AK LCD tail (K € BC)

Phương trình đường thắng AK:

(x- 1)-(y-2)=0 hay x-y+1=0

0,5

Toa độ giao điểm I: | hay I(0; 1)

- Ta có: AACK can tai C nên I là trung điểm AK

‹ Phương trình đường thăng BC di qua C va K là: