ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN – LÝ – HÓA – SINH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 12 – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn TOÁN khối 12, năm học 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Chú ý:
- Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn;
- Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính.
Bài 1 Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x3- 3x2- 5| |x +1 và trục hoành.
Bài 2 Cho hàm số f x( )=2x+ +1 3x2+2x+3 có đồ thị (C) Tính giá trị gần đúng của k và m để đường thẳng (d): y=kx+m tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ x= +1 3.
Bài 3 Cho phương trình x log 49 66 x m (1)
a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 2011
2012 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 4 Giải hệ phương trình: x y y xy
ïí
ïî
2 2 2
Bài 5 Tính giá trị của biểu thức:
A 20 12 20122000 20 12 20122001 20 12 20122011 20 12 20122012
P( ) x x ax bx cx dx e
Tính P(3
2012), biết rằng P(1) = 0, P(2) = 2, P(3) = 8, P(4) = 18, P(5) = 32
Bài 7 Trong mặt phẳng (Oxy), cho A( 2 5; ), B(3 2 4; ), C(- 3 3; ), D(- 2 3 3; ) và
đường thẳng (d): x- 2y- 2 0= Tìm điểm I thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác IAB và tam giác ICD có diện tích bằng nhau.
Bài 8 Cho tứ diện ABCD có AB 1cm , AC 2cm , AD 5cm và
2 1 0
3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2 6, BC= 6, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và K là điểm trên cạnh AD sao cho AK= 6
3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK.
Bài 10 Cho các số a, b, c đều lớn hơn 503 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
- HẾT
-Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích đề thi.
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT LONG AN Môn Toán khối 12, năm học 2011-2012
1
Phương trình hoành độ giao điểm: x3- 3x2- 5| |x + =1 0
Với x>0, pt: x3- 3x2- 5x+ =1 0
Với x<0, pt: x3- 3x2+5x+ =1 0
Suy ra tọa độ ba giao điểm
( ,4 14743 0; ) ( ,0 18144 0; ) (- 0 17950 0, ; )
1,0
1 3
x
d
m f 1 3 k 1 3 2 44232
,
k=2 39301 ,
m=2 44232
0,5 0,5
3
a) Đặt X 6xX 0
Pt trở thành X2 49X 6m 0 (2) 1,2 49 492 4.6
2
m
X
Từ đó suy ra các nghiệm x=log X6
b) (1) có nghiệm (2) có nghiệm X > 0
Lập bảng biến thiên suy ra: 6 492 3,570426916
4
a) 1
2
2,17066 1,17091
x x
b) m = 3
0,5
0,5
4
y = 0 hệ vô nghiệm
y¹ 0, hpt
ïï ïï
Û íï æ ö
ïç ÷
ïç ÷÷+ - + =
ï ç ÷è ø ïïî
x x
x
x
2 2 2
6
ï ç ÷÷
ï
Û í
ïç ÷- ç - ÷+ =
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïî
x x
x
x
2
2
2
Đặt u x
y
= - 2; x
v y
= , ta có hệ: (1)
(2)
ïí
ïî
2 2
(1) – (2) suy ra (u – v)(u + v + 3)=0 Þ u = v hoặc u = –3 – v
*u = v, hệ có 4 nghiệm
*u = –3 – v, hệ vô nghiệm
(–1; –1) (2;2) (–1,23606;
–0,61803) (3,23606;1,61803)
1,0
5
(Sử dụng máy tính Casio FX 570ES)
Khai báo: A = A – 1: B = 20 12 A B
CALC: 20122013 A, 0 B
Nhấn “=” cho đến khi A = 20122000 thì dừng, đọc kết quả ở B
232,05467 1,0
6 P(1) = 0 =2.(1–1)
2, P(2) = 2 = 2(2–1)2, P(3) = 8 = 2(3–1)2, P(4) = 18 = 2(4–1)2, P(5) = 32 = 2(5–1)2
Suy ra P(x) = (x–1)(x–2)(x–3)(x–4)(x–5) + 2(x–1)2 78428,29103 1,0
7 AB=3; CD= 13
Pt AB: x+2 2y- 11 2 0= , Pt CD: 2 3x- y+7 3 0=
I( , ) ( )a b Î d Þ a- 2b- 2 0=
VIAB VICD
Giải 2 hệ :
ïí
ïî
(–57,30099;
–29,65049) (0,97807; –0,51096)
1,0
Trang 3và (II) a b a b
-ïí
ïî
Ta có 2 điểm I: (–57,30099; –29,65049) và (0,97807; –0,51096)
8
Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN=1
Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên
mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN
2 cos 2 sin 20
2 sin 40 , 2 sin 30 1
2
BMN
p
2 2
, 4
BMN
BM BN MN
S
Thể tích khối chóp A.BMN là ' 1
3
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì
2 5 10
0,85965 1,0
9
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm AD
Ta có MN // AD MN // (SAD) mà SK (SAD)
d(MN,SK)=d(MN,(SAD))=d(O,(SAD))
Kẻ OH SI OH(SAD) OH d(O,(SAD))
2 2 42
SI SD ID
2
2 2 3 2
SO SI OI
2
OI.SO OH.SI OI.SO OH
SI
1,60356 1,0
10
Do a, b, c > 503 (*) nên suy ra:
2 a 2012 0 , 2 b 2012 0 , 2 c 2012 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
a
b
c
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: P 3 2012
Dấu “=” xảy ra khi a b c 2012 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy MinP 3 2012 khi a b c 2012
134,56596 1,0
Chú ý:
- Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm;
- Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả Chấm hướng giải đúng 0,2
điểm;
- Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm.
A
C
M
N
O
O
S
K I M
N
H
