Mỗi đỉnh của một hình bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?. Lời giải Mỗi đỉnh của một hình bát diện đều là đỉnh chung của 4 mặtA. Một hình hộp chữ nhật có các kích thước là a b
Trang 1TRƯỜNG THPT NGỌC TẢO KHẢO SÁT LỚP 12 ĐỢT NGÀY 19/01/2020
Bài thi: TOÁN
(Đề gồm có 04 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
LỜI GIẢI CHI TIẾT MÃ ĐỀ 141 Câu 1 Hàm số
( )
x khi x
f x
x khi x
Lời giải
+ Ta có lim ( ) lim1 1 2 1; lim ( ) lim 21 1 2
+ Vì xlim�1 f x( )�xlim�1 f x( ) nên hàm số không có giới hạn tại x Suy ra 1 f x( ) gián đoạn tại x 1
Chọn B
Câu 2 Đạo hàm của hàm số f x ( ) 4 x1,5 tại điểm x là4
Lời giải
+ Ta có f x � ( ) 6 x0,5
+ f � (4) 6.4 0,5 12
Chọn C
Câu 3 Trong không gian cho tia Sx cố định, điểm M thay đổi (khác S ) sao cho góc � SMx � 60 Khi đó M thuộc mặt
nào trong các mặt dưới đây?
Lời giải
Ta có M thuộc mặt mặt nón có đỉnh S , trục Sx và góc ở đỉnh là 120� (theo định nghĩa mặt nón).
Chọn B
Câu 4 Khẳng định nào sau đây đúng?
A �2dx2x C B �sinxdxcos x C
C �xdxx2C D �cosxdx sin x C
Lời giải
2dx2x C
Chọn A
Câu 5 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x � ( ) 3 x Giá trị f(2) f(0) bằng
Lời giải
+ Ta có �f x dx�( ) f x( )C 3 ln 33
x
x dx C
Trang 2+
2 0
3
ln 3 ln 3
Chọn C
Câu 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2;5) Phép tịnh tiến theo vectơ v r (1;2)
biến A thành điểm B có toạ độ là
A (3;7) B (4; 7) C (1; 6) D (3;1)
Lời giải
+ Ta có ( )T A vr B�uuur rAB v
+ Gọi
( ; )
B x y thì 2 1 3
y � y
Vậy B(3; 7). Chọn A
Câu 7 Phương trình log 3 x6 có nghiệm là
A x 9 B x27 C x 6 3 D xlog 63 .
Lời giải
6 3
log x 6 �x 3
�x27.
Chọn B
Câu 8 Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q song song với nhau Đường thẳng a nằm trong ( )P , đường thẳng b nằm trong
( )Q Khẳng định nào sau đây là đúng?
A a và b chéo nhau hoặc song song. B a và b cắt nhau hoặc song song.
Lời giải
Chọn A
Câu 9 Nghiệm của phương trình tan tan
5
x trong khoảng ;
2
� � là
A 710
Lời giải
x � x
4 ( )
5
x k k
2
x � �
��� �� nên 4
5
x .
Chọn D
Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?
A y 2x 1 B y x 2 C ycosx D ytanx
Lời giải
tan
y x là hàm số lẻ vì tan( x) tanx.
Trang 3Chọn D
Câu 11 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các vectơ a r (1;2;0), (2;4;6), (2;4;2), ( 1; 2; 3) b r c r d ur Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương với nhau?
A br
và cr
và cr
và br
và dur
Lời giải
1 2 3
nên br 2dur hay br và dur cùng phương
Chọn D
Câu 12 Trên tập hợp các số thực, phương trình x2 1 x2– 4 0 có tập nghiệm là
A 1; 1;2; 2 B 1;2 C 2; 2 D 1; 1;2
Lời giải
Vì x2 1 0 x nên
2
– 4 0
2
2
x
x
x
�
�
� � �
Chọn C
Câu 13 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm với mọi x và có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A f �( 1) 0 . B f �(1) 0 .
C f �(0) 0 . D f �( 1) 0 .
Lời giải
+ Tại các điểm cực trị, đạo hàm của hàm số đã cho bằng 0
+ Vậy f �( 1) 0 .
Chọn D
Câu 14 Mỗi đỉnh của một hình bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
A 4 B 3
Lời giải
Mỗi đỉnh của một hình bát diện đều là đỉnh chung của 4 mặt
Chọn A
Câu 15 Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai vectơ u r (2;0;2) và v r ( 1;1;0) Góc giữa ur và vr bằng
A 4
Lời giải
cos ,
u v
u v
u v
r r
r r
r r .
+ u vr r 2,ur 2 2,vr 2 1
cos ,
2
u v
Trang 4+ 2
,
3
u vr r
Chọn D
Câu 16 Cho hàm số y6x x13
có đồ thị ( )C Tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x cắt trục tung tại điểm4
A Tính độ dài OA ( O là gốc toạ độ).
A OA 1 B OA24 C OA 13 D OA 9
Lời giải
+
2
x
y
�
�� �
� � � y�( 4) 1
+ Tiếp điểm M ( 4; ) y0 �y( 4) 9 Vậy M( 4;9)
+ Phương trình tiếp tuyến d của ( )C tại M( 4;9) là
y x � y x
+ d cắt trục tung tại điểm A(0;13)
Chọn C
Câu 17 Cho tam giác đều ABC cạnh 2a Khi đó uuur uuur AB AC bằng
Lời giải
+ Vẽ hình thoi ABDC thì uuur uuur AB AC uuur AD AD
+ Tam giác đều
ABC cạnh 2a có chiều cao
2 3
3 2
a
AO a + AD 2AO 2 3a
Chọn A
Câu 18 Điều tra 20 học sinh lớp 12 về vấn đề học thuộc bài Hịch tướng sĩ và Đại cáo bình Ngô?" thu được kết quả là:
Có 10 học sinh thuộc bài Hịch tướng sĩ, có 12 học sinh thuộc bài Đại cáo bình Ngô và có 5 học sinh không thuộc cả hai
Hỏi có bao nhiêu học sinh học thuộc cả hai bài?
Lời giải
+ Số học sinh học thuộc ít nhất một trong hai bài là
20 – 5 = 15
+ Số học sinh chỉ học thuộc cả hai bài là
(10 + 12) – 15 = 7
Chọn C
Câu 19 Tập hợp các giá trị của m để bất phương trình 10x m vô nghiệm là
A (�; 0]. B (0; � ). C ( � ; 0). D [0; � ).
Lời giải
+ Nhận xét: 10x 0 x
+ Bất phương trình 10x m vô nghiệm ۣ m 0
Chọn A
Câu 20 Cho hàm số f x ( ) 4 x4 12 x2 8 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] là
Trang 5A 18 B 17 C 16 D 17,5.
Lời giải
+ f x � ( ) 16 x3 24 x
+ Trên khoảng 0;2 , f x � ( ) 0 � 16 x3 24 x 0
2
2
+ Số lớn nhất trong các số trên là
2
Chọn B
Câu 21 Một hình hộp chữ nhật có các kích thước là a b c, , thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp bằng
A a2 b2 c2 B 2 a 2 b2 c2 C a b c2 D 4 a 2 b2 c2
Lời giải
Nhận xét: - Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều tất cả các đỉnh của nó
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cũng là tâm của nó.
- Đường chéo hình hộp chữ nhật là một đường kính của mặt cầu ngoại tiếp của nó.
+ Đường chéo hình hộp có độ dài là a2b2c2
+ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp là 2 2 2
2
a b c
2
4
2
�� ��
Chọn A
Câu 22 Một cấp số nhân có tích hai số hạng đầu tiên bằng 2, tích ba số hạng đầu tiên là 8 Vậy tích của bốn số hạng đầu
tiên bằng bao nhiêu?
Lời giải
1
3
u q
+ u u u u1 2 3 4 u q14 6 1.26 64
Chọn C
Câu 23 Từ một miếng bìa hình tròn bán kính r, người ta cắt bỏ một hình quạt có góc ở tâm bằng 90� (tham khảo hình
bên) sau đó chập hai mép OA và OB với nhau để tạo thành một hình nón không đáy.
Diện tích xung quanh hình nón được tạo ra bằng
A 3 r 2 B r2
C 34r2 D 34r2.
Trang 6Lời giải
+ Diện tích xung quanh hình nón được tạo ra bằng diện tích hình quạt AOB
+ Shình quạt AOB = 34 Shình tròn = 34r2.
Chọn D
Câu 24 Tổng các nghiệm của phương trình x2 2x 8 3x 4 bằng
Lời giải
+ x2 2x 8 3x 4
2
4 0
x
�
�
� � �
2
4
x
�
�
4
4 4
7 7
x
x x
x x
�
�� �� �� �
�
+ Tổng các nghiệm là 4 7 11
Chọn C
Câu 25 2 1
x
dx
x
A 1 2
ln 1
2 x C B 1
ln 1
x C
x
ln
x
C
x
. D ln x2 1 C.
Lời giải
+
2
2
Chọn A
Câu 26 Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng xác định của nó?
A y 2 1 x B ylog 3 1 x. C y 21x D y log1,2 x.
Lời giải
+ Hàm số y log1,2 x có cơ số a1, 2 1 nên là hàm số đồng biến (trên khoảng (0;�)).
Chọn D
Câu 27 Đồ thị hàm số y ( x 1)(4 x2 8 x m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
A m 1 B m4;m� 12 C m 4 D m 4
Lời giải
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình
2
( x 1)(4 x 8 x m ) 0
2
1
x
�
+ Đồ thị hàm số y ( x 1)(4 x2 8 x m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
Trang 7Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
4
m m
m m
Chọn B
Câu 28 Có bao nhiêu cách chia 6 công nhân thành ba nhóm đều nhau để làm ba việc khác nhau
Lời giải
+ Vì có 6 công nhân được chia đều thành ba nhóm nên mỗi nhóm có 2 công nhân
+ Chọn 2 trong 6 công nhân được C62 cách
Chọn 2 trong 4 công nhân còn lại được C42.
+ Vậy số cách chia là C62C42 = 90.
Chọn A
Câu 29 Cho
2
1
( ) 3
f x dx
2
1
( ) 2
f x dx
� Khi đó
1
1
( )
f x dx
� bằng
Lời giải
+ Ta có
f x dx f x dx f x dx
+ Thay số vào ta được
1
1
( ) 1
f x dx
Chọn D
Câu 30 Cho F x( ) ln x là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng (0;�) Gọi G x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x�( ) lnx thoả mãn G(1) 1 Giá trị G(3) bằng
A ln 3 1
3
. B ln 3 5
3
. C ln 32
ln 3 1 3
.
Lời giải
( ) 1
( ) ln
F x f x
f x
x
�
�
�� �
�
1
( )
f x
x
� f x( ) lnx ln2x
x
ln
x
1
ln ,
u x dv dx
x
lnx lnx 1 lnx 1
Trang 8+ Ta tìm
C
từ
ln 1 ( )
(1) 1
x
x x G
�
�
�
ln 1
(1) 1
x
x x G
� � �
�
�
� Vậy ( ) ln 1 2 (3) ln 3 5
3
x
x x
Chọn B
Câu 31 Biết rằng
2 2 2
1 lim
2 4
x
x ax b x
�
, khi đó tổng a b bằng
Lời giải
+ Nhận xét : Đây là giới hạn hữu hạn nên nó phải là giới hạn vô định dạng 0/0 (khi x dần tới 2).
+ Ta có x2 ax b chia hết cho 2 hay 2 là một nghiệm của đa thức này
2
2 2a b 0
+
x
Từ giả thiết suy ra a4421�a 6
+ Thay a vào (1) ta được 6 b Vậy 8 a b 2
Chọn A
Câu 32 Một xe buýt của hãng A có sức chứa tối đa là 50 hành khách Giả sử mỗi chuyến, xe buýt chở x hành khách và giá tiền cho một khách là
2
20 3
40
x
� � (nghìn đồng) Số tiền thu được nhiều nhất khi chuyến đó chở được số hành khách là
Lời giải
+ Mỗi chuyến xe buýt thu được số tiền là
2
40
x
x �� ��
� �, (x nguyên dương và x50)
+ Ta tìm giá trị lớn nhất của
2
40
x
f x x �� ��
� �, x � 0;50 bằng phương pháp đạo hàm.
3
f x� ��� ������ ���;
( ) 0 40
f x� �x + Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 0;50 , ta được f x( ) đạt cực đại duy nhất tại x40
Vậy giá trị lớn nhất của
2
40
x
x �� ��
nguyên dương và
50
x ) đạt được khi x40. Chọn D
Câu 33 Trong không gian tọa độ Oxyz cho tứ diện đều ABCD với các đỉnh A(3;0;0), (0;3;0),B C(0;0;3)và D x y z( ; ; ) Đặt T x y z Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A T�{ 3;9} B T�{0;9} C T 6 D T�{ 3;3}
Lời giải
+ Tồn tại một hình lập phương OAEB CFDK có cạnh bằng 3, nằm trong miền . {( ; ; ),x y z x� 0,y� 0,z� 0} (hình vẽ bên)
Trang 9+ Dễ thấy D(3;3;3) và ABCD là tứ diện đều cạnh bằng 3 2.
+ Mặt khác, gọi G là tâm tam giác đều ABC thì G(1;1;1) và DG(ABC).
Lấy điểm D' sao cho G là trung điểm của DD' thì D'( 1; 1; 1) .
Lúc đó D D, ' đối xứng qua G , cũng là đối xứng qua (ABC) nên ABCD' cũng là tứ diện đều
Vậy có hai điểm thoả mãn đkđb, chúng có toạ độ là ( 1; 1; 1) , (3;3;3)
Vậy 1 1 1 3
3 3 3 9
T
T
�
�
Chọn A
Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao vuông góc với mp(ABCD) Số đo của góc giữa đường thẳng BD và mp(SAD) là
A arccos 6
4
� �
� �
arcsin
4
� �
� �
.
Lời giải
SH ABCD .
+ Gọi I là trung điểm của SA thì SAIB
Lại do ADAB AD, SH �ADIB
Từ đó suy ra (SAD) IB hay ID là hình chiếu của BD trên (SAD)
Vậy góc giữa BD và (SAD) là �BDI
+ Xét tam giác vuông
BID vuông tại I có
3 2,
2
a
BD a IB
�
sinBDI IB
BD
4
Vậy
�
BDI = arcsin 6
4
� �
� �
Chọn C
Câu 35 Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như hình bên
Hỏi hàm số f f x( ( )) có bao nhiêu cực trị?
A 4 B 2
C 1 D 3.
Lời giải
+ Theo điều kiện đầu bài, hàm số f x( ) đạt cực đại tại x , 2 fCD(2) 1 nên ta có f �(2) 0
+ Ta có f f x( ( ))� � f f x( ( )) ( )f x�
( ( )) 0 ( ( )) 0 ( ) 2
f f x
+ Từ bảng biến thiên ta có phương trình f x( ) 2 vô nghiệm.
Từ tính liên tục của hàm số suy ra f f x( ( ))� đổi dấu một lần duy nhất qua điểm x 2
+ Vậy hàm số f f x( ( )) có 1 cực trị
Chọn C
Câu 36 Từ mỗi tờ giấy A4 (kích thước 21 cm x 29.7 cm), bạn An gấp theo các cách khác nhau để tạo thành các hình chưa có đáy như sau (xem hình vẽ dưới đây):
Hình lăng trụ tam giác đều - hình 1 với chiều rộng tờ giấy là cạnh bên, chiều dài tờ giấy là chu vi đáy
Hình lăng trụ tam giác đều - hình 2 với chiều dài tờ giấy tờ giấy là cạnh bên, chiều rộng là chu vi đáy
Trang 10Hình trụ - hình 3 với chiều rộng tờ giấy là đường sinh, chiều dài tờ giấy là chu vi đáy.
Hình trụ - hình 4 với chiều dài tờ giấy là đường sinh, chiều rộng tờ giấy là chu vi đáy
Trong các khối giới hạn bởi mỗi hình, khối nào có thể tích lớn nhất?
A Khối - hình 1 B Khối - hình 3 C Khối - hình 2 D Khối - hình 4
Lời giải
+ Ta lập bài toán tổng quát: Cho hình chữ nhật có kích thước là a b,
- Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều:
Nếu chiều cao là
a thì cạnh đáy là 3
b, diện tích đáy
2 3 36
36
lt
ab
V
- Công thức tính thể tích khối trụ :
Nếu chiều cao (đường sinh) là
a thì bán kính đáy là 2
b
, diện tích đáy
2 4
b
2 4
lt
ab V
+ Đối với Khối - hình 1 và Khối - hình 3 ta thay a = 21; b = 29,7
Đối với Khối - hình 2 và Khối - hình 4 ta thay a = 29,7; b = 21
+ Suy ra thể tích lớn nhất là Khối - hình 3
Chọn B
Câu 37 Cho hình vuông ABCD có AB4a Xét điểm M thay đổi trong không gian sao cho � AMB BMC � � 90 Biết rằng M luôn chạy trên một đường tròn ( )G cố định Đường tròn ( )G có bán kính bằng
Lời giải
+ Ta có � AMB BMC � � 90 suy ra BM (MAC)
Gọi O là tâm hình vuông thì OM �(MAC)�OM MB
Vậy OMB � � 90 hay M thuộc mặt cầu ( )S đường kính OB (1)
+ Mặt khác, hai tam giác MBC MBA, bằng nhau �MC MA
M
� thuộc mặt phẳng ( )P qua DB và vuông góc với (ABCD) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra đường tròn ( )G chính là giao của ( )P và ( )S
+ Bán kính của
2
a
Chọn A
Câu 38 Cho phương trình 3x2 m.3x2 m 1 Điều kiện cần và đủ để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là
A m 1 B m� 1 C m0 và m� 1 D m 0
Lời giải
+ Phương trình 3x2 m.3x2 m 1
3x m 1 3x m 0
�
Trang 112 2
0
3 3
x
x x
x m m
Để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì
phương trình 3x2 m phải có 2 nghiệm phân biệt (khác 0) (*)
Do 3x2 �30 1 nên điều kiện (*) được thoả mãn khi và chỉ khi m 1
Chọn A
Câu 39 Cho các số thực dương a b, thoả mãn log9a log9b log (2 ) log (26 a 4 a ab ) Số b bằng
A 5 1 B 5 3 C 5 3 D 5 1
Lời giải
+ log9a log9b log (2 ) log (26 a 4 a ab )
� log9ab log 26 a log (24 a ab ), đặt bằng x thì ta có
9
x
x
x
ab
a
a ab
�
�
� �
�
�
+ Thay vào ta được
9x 6x 4x
1 0
� � � �
x
� �
2
x
� �
� �
� � nên giá trị âm bị loại).
x x
x
a
� �
� �.
2
x
b � �� �
� �= 1 5
Chọn A
Câu 40 Ông Tâm muốn dành tiền mua quà tặng vợ nhân ngày 8/3 Ông ấy dự định bỏ ống heo 3000 đồng, bắt đầu từ ngày 19/01/2020 Tiếp theo cứ hai ngày một lần, Ông sẽ bỏ vào ống heo sao cho lần sau cao hơn lần ngay trước đó là
2000 đồng Hỏi đến đúng ngày 08/03/2020, ông Tâm dành được khoảng bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng chục ngàn)?
A 650.000 đồng B 680.000 đồng C 660.000 đồng D 1.380.000 đồng.
Lời giải
+ Từ ngày 19/01/2020 đến ngày 08/03/2020 là 50 ngày, cũng là 25 lần ông Tâm bỏ ống heo
+ Vì lần sau cao hơn lần ngay trước đó là 2000 đồng nên các lần bỏ vào ống heo tạo thành một cấp số cộng với
u d
+ Tổng số tiền là: 25
2.3000 (25 1).2000
2
Chọn B
Câu 41 Cho một số tự nhiên n có hai chữ số Nếu lấy n chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 và dư là 18 Nếu lấy tổng bình phương của các chữ số của n cộng với 9 thì được số đã cho
Bất phương trình x n 21 có tập nghiệm là
Lời giải
+ Gọi số nab, ta có hệ
Trang 122 2
9 10
a b ab
�
+ Giải hệ này ta được a7,b4.
Vậy n74
+ |x74 | 21 �53 x 95� �x (53;95)
Chọn B
Mẹo: Từ x � 27;69 và x n 21 suy ra n48 thay vào đkđb thấy không thoả mãn
Tương tự thế đối với x�(53;95) thì thoả mãn nên chọn
Câu 42 Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như hình bên
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
( ) 1
y
f x
là
A 3 B 1
C 2 D 4
Lời giải
+ Từ bảng biến thiên suy ra
1
( ) 1
f x
���
�
1 ( )
f x
x
� �
�
��
Tồn tại duy nhất x0� ( 1; � ) để f x ( ) 0.0
1 ( ) 1, ( ) 1
( ) 1
f x
�
(Tương tự: 0
1 ( ) 1, ( ) 1
( ) 1
f x
Vậy đồ thị hàm số 1
( ) 1
y
f x
có tiệm cận đứng x x 0, y 1.
Chọn C
Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD , SA vuông góc với đáy Một mặt phẳng
( )P đi qua điểm A , vuông góc với SD cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C', ' và D' Biết rằng AB BC CD a , AD2a và SA a Tính thể tích khối chóp ' ' 'S AB C D theo a
A 7 3 3
320 a . B
3 3
320a . C
3
3 3
160a . D
3
1
40a
Lời giải
+ Nhận xét: