KIẾN THỨC TOÁN ÔN THI TN THPTQG-ĐẠI HỌC ĐẦY ĐỦ

TanA+TanB+TanC =TanA.TanB.TanC tam giác ABC không vuông 2... NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGA... PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1/.. α: Góc giữa mặt phẳng chứa H vàmặt phẳng

KIẾN THỨC TỐN ƠN THI TN THPTQG- ĐẠI

HỌC ĐẦY ĐỦ

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT

Ax = B

• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất x= B A

• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm

• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

Ax > B

• A > 0 : x> B A

• A < 0 : x< B A

• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm

• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/ Dạng : a/x++b/=y =c/

c by ax

2/ Cách giải : ab a b

b a

b a

b c

c a

1

∆ +

/ / 1

∆ +

−

/ / 2

/ 2

f(x) Trái dấu a 0 cùng

dấu a

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC

f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực

1/ Muốn có x1 < α < x2ta phải có af(x) < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > αta phải có

0 ) ( 0

α

α

S af

3/ Muốn có x1 < x2 < αta phải có

0 ) ( 0

α

α

S af

4/ Muốn có x1< α < β < x2 ta phải có  ((β))<<00

α

af af

5/ Muốn có x1< α < x2 <β ta phải có  ((β))<>00

α

af af

2 1

x x

x x

β α

β α

β α

2

0 ) (

0 ) ( 0

S af af

 Chú ý:

1/ Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có

S P

3/ Muốn có x1 < x2 < αta phải có

S P

NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

B B

2/ 2 =2 ⇔ ≥=0( ≥0)

hayB A

B A B

A B

B B

A

2

2

0 0 0

B A B

) ( ) ( )

( ) (

x

x g x f x

x g x f x

g x f

NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

B

B A B

B A

B B

NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC

1/ Định nghĩa :

b a

0 ,

c bc ac

c bc ac b

a

d c

b a

b a

0

; 1 1

ab khi b

a

ab khi b

a b a

a a a a a

2 1

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = = an

4/ BĐT Bunhia Côp ski :

Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:

)

)(

( )

2

2 1 2 2

2

2 1

2 2

2 1

Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/ Sin2x+Cos2x= 1

2/ Tanx= Cosx Sinx

3/ Cotx= Cosx Sinx

• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1

• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1

Chú ý :

• a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab

• a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

B CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )

7/ Cos(a+b) =CosaCosb−SinaSinb

8/ Cos(a−b) =CosaCosb+SinaSinb

9/ Sin(a+b) =SinaCosb+CosaSinb

10/.Sin(a−b) =SinaCosb−CosaSinb

11/.Tan a b Tana TanaTanb Tanb

−

+

= +

1 ) (

12/.Tan a b Tana TanaTanb Tanb

13/.Cot a b CotaCotb Cota Cotb

C CÔNG THỨC NHÂN

I NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)

15/ Sin2a= 2SinaCosa

16/ Cos2a= 2Cos2a− 1 = 1 − 2Sin2a=Cos2a−Sin2a

17/ Tan a Tana Tan2a

1

2 2

−

=

II.NHÂN BA : ( 3 công thức)

18/ Cos3a= 4Cos3a− 3Cosa

19/ Sin3a= 3Sina− 4Sin3a

20/ Tan a Tana Tan Tan2a a

3

3 1

3 3

⇒ 1 −Cos2a= 2Sin2a

22/ 2 1 Cos2 2a

a Cos = +

−

=

D.TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)

28/ Cosa+Cosb=2Cos a2+b Cos a2−b

29/ Cosa−Cosb=−2Sin a2+b Sin a2−b

30/ Sina+Sinb=2Sin a2+b Cos a2−b

31/ Sina−Sinb=2Cos a+2b Sin a2−b

32/ Tana+Tanb= CosaCosb Sin(a+b)

33/ Tana−Tanb= CosaCosb Sin(a−b)

34/ Cota+Cotb= Sin SinaSinb(a+b)

35/ Cota−Cotb= −SinaSinb Sin(a−b)

E TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)

2

1

b a Cos b a Cos

a Cos

F CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = –

SinαSin bù Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = –

Cosα

Phụ chéo Sin(π /2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α)

= SinαKhác π

π

2

2

k v u

k v u

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 )

Phương pháp :

Cách 1: Chia hai vế cho a2 +b2

b a

b Cos

b a

c x

2 2

⇔(*) Vô nghiệm khi ⇔a2 +b2 <c2

2

t

t Cosx t

t Sinx

+

−

= +

=Vào phương trình ⇒ t ?

⇒ x ?

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác:

aCot ( đặt t=Cotx ,x≠kπ )

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Dạng: aSin2x+bSinxCosx+cCos2x= 0 (1)

0

3 2

∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?

∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

Cách 2:

Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và

2

2x Sin SinxCosx= thế vào

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

Phương pháp: Đặt :

2 ),

4 (

= +

0 2

1 (*) ⇔at+b t2 − +c=

1 (*)

2

= +

− +

K A

(*)

≤

k l B A

k B

l A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG

Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Cosin • a2 =b2 +c2 − 2bcCosA

• CosA b c bc a

2

2 2

=

c SinB

b SinA

+

−

= +

−

2 2

Các chiếu • a =bCosC+cCosB

b c

= +

Diện tíchDiện tích

• S ah a bh b ch c

2

1 2

1 2

1 2

S

=

• a, b, c : cạnh tam giác

• A, B, C: góc tam giác

• ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

• ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác

• p = a+2b+c Nữa chu vi tam giác

Hệ thức lượng tam giác vuông:

• AH AH.2BC=BH= AB.CH.AC

• AB2 =BH.BC

• AC2 =CH.CB

• BC2 = AB2 +AC2

NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ

Cho tam giác ABC :

1/ SinA+SinB+SinC = 4Cos 2A Cos B2Cos C2

2/ CosA+CosB+CosC= 1 + 4Sin 2A Sin B2 Sin C2

3/ TanA+TanB+TanC =TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông)

2

2 2

2 2

C Cot

B Cot

A Cot

C Cot

B Cot

2 2

.

2 Tan B+Tan B Tan C +Tan C Tan A=

A Tan

6/ Sin2A+Sin2B+Sin2C = 2 + 2CosA.CosB.CosC

7/ Cos2A+Cos2B+Cos2C= 1 − 2CosA.CosB.CosC

8/ Sin(A+B) =SinC

CosC B

A Cos( + ) = − ; Sin A+2B =Cos C2

2 2

C Sin B A

9/ SinA.SinB.SinC ≤383

2 2

2

1 1

1

AC AB

10/ CosA.CosB.CosC≤ 81

13/ Cos2A+Cos2B+Cos2C≥ 43

14/ Sin2A+Sin2B+Sin2C ≤ 94

15/ Tan2A+Tan2B+Tan2C ≥ 9

2 2

2 4

<

+ +

≤Sin A Sin B Sin C

17/ 2 <Cos2 2A+Cos2 B2 +Cos2 C2 ≤ 49

2 2

2

2 2

Tan

2 2

2

2 2

Cot

20/ Sin2A+Sin2B+Sin2C ≤323

21/ Cos2A+Cos2B+Cos2C≥ −23

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1: Hàm số y= f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/ f (x) xác định tại điểm x = a

(

lim f x f x f a

a x a

→

→

Định lý : Nếu f (x)liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0thì tồn tại ít

nhất một điểm c∈ (a, b) sao cho f(c) = 0

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định) Hàm số mũ là

hàm số xác định bởi công thức : y = a x

( x ∈ R)

2/ Tính chất :

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = a x > 0 mọi x ∈ R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

2 1

2

a x < x ⇔ <

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

2 1

2

a x < x ⇔ >

Chú ý : a x1 <a x2 ⇔ x1 =x2 ( 0 <a≠ 1 )

3/ Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1)

y

1

1

0 x

0 x

NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghĩa : a) Cho a> 0 ,a≠ 1 , N > 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N Ký hiệu : log a N = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

2/ Tính chất và định lý cơ bản về logarit :

Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn

TC1 : logaN = M ⇔ aM = N

TC2 : loga aM = M , aloga M =M

TC3 : loga 1 = 0, log a a = 1

TC4 : loga (MN) = loga M + loga N

N

M

a a

log = −

TC6 : Đổi cơ số

a

b a

N N

b

a c

c

a

log

1 log

; log

log

3/ Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1)

y

1

1

0 x

0 x

4/ Phương trình Logarit : ) ( ) ( ) ( log ) ( loga f x = a g x ⇔ f x = g x

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )

5/ Bất phương trình Logarit : (*) ) ( log ) ( loga f x < a g x

   < >  → ← > ) ( ) ( 0 ) ( (*) 1 x g x f x f a

   > >   → ← < < ) ( ) ( 0 ) ( (*) 0 1 x g x f x g a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM

I/ Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0 ∈ ( a, b) Ta

nói f(x) có đạo hàm tại x 0 nếu giới hạn ∆ → 0

∆

x

y

tồn tại

x

x f x x f x

y x

f

x

−

∆ +

=

∆

∆

=

→

∆

→

∆

) ( ) (

lim lim

)

0 0

0 '

∆

→

∆

−

0 0

( tồn tại )

∆

→

∆

+

0 0

( tồn tại )

 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

y = f(x) có đạo hàm tại x 0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘ (x 0 + ) = f ’ (x 0 – )

II/ Qui tắc tính đạo hàm :

b

ab b a b

III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

3 y y==u xαα

1 ' = α xα−

y

' 1

2

' ' =

5 y y==Sinu Sinx y y' u Cosx'.Cosu

u

' ' =

y' = − 12

u Sin

u

' ' = −

y' = x

Lna a u

' ' =

16

x Ln

y=

u Ln

' ' =

17 y= loga x

xLna

y' = 1

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b)

f(b) – f(a) = f ‘ (c)(b – a)

NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN

1/ Công thức NewTon _ Leibnitz :

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

3/ Đổi cơ số :

dx x f

b

a

) ( ) ( )

với x = ϕ (t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ϕ’ (t) liên

tục trên [a, b] , α ≤ t ≤ β

a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] là hàm số liên tục trên [α,β ]

b) ∫a ( ) = 0

a

dx x f

f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì

) ( )

( ) (b a f x dx M b a m

a dx b

+

+

= +

1

α

α α

1 1

x dx

x

1 (

1 )

b ax a

b ax dx

5 ∫ =Ln x +c

x dx

+b a Ln ax b c ax

e ax b 1 ax b

Lna

a dx a

x x

11 ∫Sinxdx= −Cosx+c

12 ∫ + = − Cos ax+b +c

a dx b ax

13 ∫Cosxdx=Sinx+c

14 ∫ + = Sin ax+b +c

a dx b ax

15 ∫ =Tanx+c

x Cos

dx

2

16 ∫ = −Cotx+c

x Sin

a x

2 2

dx

2

1

2 2

a dx

h x

2 2 2 2

a

x arcSin

a x a

x dx x a

24 ∫ x2 +h dx = x x2 +h+h Ln x+ x2 +h +c

2 2

NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP

∗ z = r.(Cosα + i.Sinα)

z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0 z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]

)]

( )

( [ ' ' = Cosα − β +iSin α − β

r

r z z

2/ MoaVrơ :

) (

)]

(

[r Cosα +iSinα n =r n Cosnα +iSinnα

3/ Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) :

)

2

2 (

n

K Sin i n

K Cos r

K

π α

π

=

với K = 0, 1, 2, , n – 1

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

• Cho A( x A , y A )

B( x B , y B )1) AB→= (x B −x A , y B − y A)

B A

y y y

x x x

4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

B A

b=

→

1) →=→⇔ ==

2 2

1 1

b a

b a b a

2 2

2 1

2 2 1 1

.

,

b b a a

b a b a b

a Cos

+ +

1 0

Vectơ chỉ phương →a= (a1,a2)

2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0)

• Pháp vectơ →n=( B A, ) y

• Vectơ chỉ phương →a= ( −B,A) ( hay →a= (B, −A) )

• Hệ số góc = − (B≠ 0 )

2 2

+

+ +

+

C y

B A

B x

B A

A

4/ Phương trình đường thẳng qua M( x 0 , y 0) có hệ số góc

K :

) ( 0

A A

B

A

y y

y y x x

x x

b

y a

y y x x

x x

8/ Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :

1

= +

b

y a

x

9/ Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến Ax + By + C =

0 :

2 2 0 0

B A

C By Ax

+ + +

10/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d 1 : A 1 x + B 1 y +

C 1 = 0

d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

2

1 2

1

B

B A

A

D=

2

1 2

1

B

B C

1

C

C A

d hay  =≠00

y

D D

1

B

B A

1 2

1 2

1 //

C

C B

B A

A d

2

1 2

1 2

1 2 1

C

C B

B A

A d

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A Cos

+ +

+

= ϕ

12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d 1

và d 2 :

2 2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

+ +

±

= +

+ +

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

C ĐƯỜNG TRÒN :

1/ Định nghĩa : M ∈ (c) ⇔ OM = R

2/ Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :

Trục lớn, độ

Trục nhỏ, độ

xúc với Ax +

2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2

Trục ảo, độ

NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

•Phép toán : Cho →a= ( , , )a a a1 2 3

• By + Cz + D = 0 song song trục ox

• Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy

• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

• By + Cz = 0 chứa trục ox

3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x 0 , y 0 , z 0 ) ,có VPT n→= ( , , )A B C là:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 04/ Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các

trục tọa độ: x y z 1

a+ + =b c

5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0a/ Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :

A A B B C C Cos

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Phương trình tham số :

2/ Phương trình tổng quát :

0 :

0

A x B y C z D d

1/ Hai đường thẳng :

d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương

N x y z có Vectơ chỉ phương →b= ( , , )b b b1 2 3

* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng ⇔a b MN→ →,  → =0

2/ Đường thẳng và mặt phẳng :

• d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương →a= ( , , )a a a1 2 3

• mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến→n= ( , , )A B C

2/ Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một

đường thẳng d qua M(x 0 , y 0 , z 0) và có VCP là →a= ( , , )a a a1 2 3

là :

, ( ; )

NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG

DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

d ab

β α

a b

d a a

d b b

α β

α β β

a Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn

tr6n hai cát tuyến bất kỳ a, bnhững đoạn thẳng tỉ lệ

' ' ' '

AB A B

BC = B C

Q P

b d

với hai đường thẳng b, c cắt nhautrong α

11

b a

β

α

a d

β

α

d

β α

* Có hai mặt phẳng song songvà mỗi mặt chứa một đường14

H O

A'

B A

OA = OA’⇔HA = HA’

*Hai đoạn xiên có độ dài khácnhau thì đoạn xiên dài hơn có hìnhchiếu dài hơn và ngược lại

OB > OA⇔HB > HA15

a

α

α β β

α: Góc giữa mặt phẳng chứa H vàmặt phẳng chứa H’

S' =S Cos α18

1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ là

một hình đa diện có hai mặt nằmtrong hai mặt song song gọi là haiđáy và các cạnh không thuộc haiđáy đều song song nhau

2/ Các loại :

* Hình lăng trụ đứng là hìnhlăng trụ có các cạnh bên vuônggóc với đáy

* Hình lăng trụ đều là hình lăngtrụ đứng có mỗi đáy là đa giácđều

Ngoài ra còn có lăng trụ xiên

h : chiều cao19

D S

C B

A

HÌNH CHÓP 1/ Định nghĩa : Hình chóp là một

hình đa diện có một mặt là một

đa giác, các mặt còn lại đều lànhững tam giác có chung một đỉnh

* Hình chóp đều là hình chóp cóđáy là một đa giác đều và cáccạnh bên đều bằng nhau

* Hình chóp cụt là phần của hìnhchóp nằm giữa đáy và một thiếtdiện song song với đáy

2/ S xq , S TP , V :

• Sxq của hình chóp và hìnhchóp cụt là tổng diện tích tấtcả các mặt bên của mỗi hìnhđó

S xq =12 chu vi đáy x trung đoạn

• Hình chóp cụt đều :

S xq = 12( CV đáy lớn + CV đáybé) x trung đọan

• Thể tích hình chóp :

1 3

V = B h

B : diện tích đáy

h : chiều cao

• Thể tích hình chóp cụt :

1

3

_ Hai cạnh OA và O’A’ vạchthành hai hình tròn bằng nhaugọi là hai đáy

_ Cạnh AA’ vạch thành mộtmặt tròn xoay gọi là mặt xungquanh của hình trụ

_ OO’ gọi là trục hay đườngcao của hình trụ