Luyện giải đề thi THPTQG môn Toán bản 2015

Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho mặt cầu tâm M bán kính MC cắt mặt phẳng xOy theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 2 5.. Hình chiếu vuông góc của đỉnh C xuống mặt

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM

LUYỆN GIẢI ĐỀ MÔN TOÁN

TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015

(Tập 1)

Phiên bản: 2015

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2

1

−

=+

x m y

mx (với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1

b) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0, đồ thị của hàm số đã cho cắt đường thẳng d: y = 2x – 2m cắt đồ

thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N Tìm

m để S∆OAB =3S∆OMN

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 4x+2 cos 2x+4 sin( x+cosx)= +1 cos 4 x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;1; 2 ,) (B 0; 1;3 − ) Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (xOy) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho mặt cầu tâm M bán kính MC cắt mặt phẳng (xOy) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng

2 5

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a, SA⊥(ABCD) và SA=a 6. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính theo a thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2

Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a3+ =b3 c3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

LỜI GIẢI CHI TIẾT

⇔2sin2xcos2x+2cos2x−2cos22x+4(sinx+cosx)=0

⇔cos2x(sin2x+1−cos2x) (+2sinx+cosx)=0

⇔cos2x(2sinxcosx+2sin2x)+2(sinx+cosx)=0⇔(sinx+cosx)(cos2xsinx+1)=0

ln 11

2 0 0

1 21 2

22

x x

− +

Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy) suy ra MN = z M = +t 2

Tam giác MNC vuông tại N suy ra MN2+ NC2 = MC2

Thật vậy, gọi H là hình chiếu của I trên đoạn AB thì

MI = >Rnên M nằm ngoài đường tròn, khi đó MA MB =1

Theo giả thiết MA+ MB= 2 1( + 5)⇔MA MB+ +2 MA MB =2 1( + 5)

t

t

t t

t t

4 2( )

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1

x có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Đường thẳng d đi qua điểm E(4; 4) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt

tại M, N sao cho tam giác OMN có diện tích nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A, B

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 cos 22 x−2 cos 2x+4 sin 6x+cos 4x= +1 4 3 sin 3 cos x x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 4 ( )

2 3

51

1

2:

M vuông góc với đường thẳng d và tạo với 1 d2 góc 600

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình chữ nhật, AB = a Hình chiếu

vuông góc của đỉnh C xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho ' 1

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm

trên đường thẳng d x: + − =y 1 0 Điểm E( )9; 4 nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm

( 2; 5)

F − − nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC=2 2 Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi

ABCD biết điểm C có hoành độ âm

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c và thỏa mãn 2 ab+5bc+6ca=6abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 2

Vậy S∆OMN nhỏ nhất bằng 32 khi a= =b 8⇒( )d :y= − +x 8

Giao điểm của (d) và (H) là A ( ) ( ) 3;5 ; B 5;3 ( ) ( ) 3

' 3 3; ' 5

4

+) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại A( )3;5 là y= −3(x− + = − +3) 5 3x 14

+) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại A( )5;3 là 3( ) 3 27

2 sin 3 sin 2 cos 3 3 cos 0

sin 3 cos 2 cos 3

ln

I =∫t tdt

dt du

21

1:x+ = y− = z

∆

+) Với a=−2c,b=−c, chọn c= −1⇒u∆ =(2; 1; 1)− ta có

11

22

1:

E' F E

D

C B

A

Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC, do AC là phân giác của góc BAD nên E’ thuộc AD EE’

vuông góc với AC và qua điểm E( )9; 4 nên có phương trình x− − =y 5 0

Gọi I là giao của AC và EE’, tọa độ I là nghiệm hệ 5 0 3 ( )3; 2

Vì I là trung điểm của EE’ nên E'( 3; 8)− −

Đường thẳng AD qua E'( 3; 8)− − và F( 2; 5)− − có VTCP là E F' =(1;3) nên phương trình là: 3(x+ − + = ⇔3) (y 8) 0 3x− + =y 1 0

Điểm A= AC∩AD⇒ A(0;1) Giả sử ( ;1C c −c)

Theo bài ra AC=2 2⇔c2 = ⇔ =4 c 2;c= −2 Do hoành độ điểm C âm nên ( 2;3) C −

Gọi J là trung điểm AC suy ra ( 1; 2) J − , đường thẳng BD qua J và vuông góc với AC có phương trình

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y= −x3 3x2+3mx−1, với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0

b) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu tại x x thỏa mãn 1; 2 3x12 +4x22 =39

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin3x+sin2x+sinx+1=cos3x+cos2x−cosx

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ vuông góc

với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng d và ∆ bằng

3

212

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 2, góc

giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 600 Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có (5, 7) A − , điểm C

thuộc vào đường thẳng có phương trình x− + =y 4 0 Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn

AB có phương trình: 3 x−4y−23=0 Tìm tọa độ của B và C, biết điểm B có hoành độ dương

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

+

=++

+

=+

−

12234

334

)1(2)1(

2

x y

y x

x

x x y y

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 3

Để hàm số có CĐ, CT ⇔( )1 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − > ⇔ <'( ) 1 1 m 0 m 1 *( )

Khi đó gọi x x là nghiệm của PT (1) ta có: 1; 2 ( )

( )

1 2

1 2

2 23

2 ; 4

23 72

m x

m x

Phương trình đã cho tương đương với (sin3x+sinx)+sin2x+1−cos2x=cos3x−cosx

⇔2sin2xcosx+2sinxcosx+2sin2 x=−2sin2xcosx

1

dt I

Câu 4 (1,0 điểm)

x y

tan

21

+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC

Do∆SAH ⊥{ }H ⇒trung điểm M của SA là tâm đường tròn ngoại tiếp SAH∆

Gọi N là trung điểm AH Qua N kẻ Ny/ /AD⇒Ny⊥(SAH)

Dựng Mx / / Ny⇒Mx là trục đường đường tròn ngoại tiếp SHA∆

Dựng đường thẳng qua tâm O của đáy vuông góc với AC, cắt Ny, AD tại J, K thì J là tâm đường tròn ngoại tiếp AHC∆ Trong mp Mx Ny( ; ) kẻ Jt⊥(ABCD)⇒Jtlà trục đường tròn ngoại tiếp AHC∆

Giao điểm I =Mx∩Jt chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC

Ta có: R2 =IH2 =IJ2+JH2 =MN2+JH2

Tính được:



2 2

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 1 3 3 2 ( 2 2) 5

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m = 1

b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x x thỏa mãn 1; 2 x12+2x x1 2+3x22 =2x2+13 x1

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) ( ) 2 π π

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2 1 2

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+ y+z≤3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 23 23 23 2 1 2 2 1 2 2 1 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 4

3 sinx+cosx (sinx+cos )x =2(sinx+cos ) (cosx x−sin )x

Thay vào điều kiện thứ hai ta có z+2z− =1 2 5⇔ +a 2ai+2a−4ai− =1 2 5

Đường thẳng d xác định đi qua K(1; 0; 2) và ud = −(1; 1; 0)

Gọi ∆ là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) ta có ∆ qua M(1; 2; 0 ,− ) vtcp u: =np =(1;1;1)

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác

ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm

của BH và AC Ta kí hiệu n d,u d

AD x− + y+ = ⇔ + − =x y Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là

nghiệm của hệ phương trình 3 5 8 0 1 ( )1;1

BHK =BDK , vậy K là trung điểm của HD nên H( )2; 4

Do B ∈BC ⇒B t t( ; −4), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C(7−t;3−t)

x x

x pt

x

2 2

2

1

32

z yz z

y xy y

Suy ra 23 23 23 3 3 3 3

zx yz xy z

≥

x zx z zx z

yz y yz y

xy x xy zx yz xy P

Do đó P≥9 Dấu đẳng thức xảy ra khi x= y=z=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x=y=z=1

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số

1

=

−

x y x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình tan2x=8cos2 x+3sin 2 x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

ln 2

0

.2

b) Một hộp đựng 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu trắng, 9 viên bi màu vàng và 4 viên bi màu đỏ Lấy

ngẫu nhiên từ hộp ra 5 viên bi Tính xác suất để 5 viên bi được lấy ra có không quá hai màu

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, biết BC =2a,

AB= AD=a Gọi I là trọng tâm tam giác BCD, SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết khoảng

cách giữa hai đường thẳng SA và DC bằng 3

19

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện SABD theo a

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), điểm C nằm trên đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và AB = 2AD Gọi M là điểm trên đoạn CD sao cho DM = 2MC Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình cạnh BM là 5x + y – 19 = 0

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 4 2 2 2 ( , )

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 5

x x

m m

−

=

2 ln

0

2 ln

0 0

2 ln

1

d3

2ln1

x e

d

1 2

1

2 2

1 2

t t t

t

t I

Thay vào (1) ta được ln2 ln3.

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yều cầu bài toán là z= ±1 2 ,i z= − ±1 2i

b) Số cách chọn 5 viên bi trong 20 viên bi đã cho là C205 =15 504

Gọi A là biến cố “5 viên bi được chọn không có quá hai màu” thì A là biến cố “5 viên bi được chọn

có quá hai màu” hay A là biến cố “5 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”

Gọi M là trung điểm của BC Có DM ⊥BC I, ∈DM

Gọi F là hình chiếu của I trên AB, ta có

Cộng hai vế với 5z ta được 4 xy+5z≤5(x+ + −y z) 4

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y=x4+2x2 −1 có đồ thị là (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM,

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3sin4 x+2 cos 32 x+cos 3x=3cos4x−cosx+1

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

hai mặt phẳng ( ) : 2P x+ −y 2z+ =9 0, ( ) :Q x− + + =y z 4 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc

d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi 2π

Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', đáy là tam giác ABC cân tại C, AB = 2a Gọi O là

tâm của tứ giác BCC B và I là trung diểm của ' ' B C Biết khoảng cách giữa ' ' A C và ' BC bằng '

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác trong của góc ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình: x – y + 2= 0, điểm

D thuộc đường thẳng d: x + y – 9 = 0, điểm E (–1; 2) thuộc cạnh AB và điểm B có hoành độ âm Tìm

tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2

Câu 9 (1,0 điểm). Cho cásc số thực dương x, y thoả mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 13 12 12 21 2

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 6

++

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì I∈d nên I(− +t 1; 2t−3;t+3)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên ( ; ( )) 2 2

Gọi E là trung điểm của A’B’ suy ra OE // A’C suy ra d(A’C;BC’) = d(A’;((BEC’)) = d(B’;((BEC’)) Tam giác A’B’C’ cân tại C’ →C E' ⊥ A B' '→C E' ⊥(ABB C' ')

3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BB’E ta có 1 2 1 2 1 2 ' 2 2

D

C B

A

Gọi E’ đối xứng với E qua BM suy ra E’ thuộc đường thẳng BC và E’(0; 1)

Do B∈ đường thẳng BC nên B(t; t + 2) ⇒BE= − − −( 1 t; t BE)' = − − −( ;t t 1)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 1

2

x y x

−

=+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng d y: =mx−11 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác

OAB gấp hai lần diện tích tam giác OBM, với M(0; 11).−

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 3 sin (1 cos ) 4 cos sin2 3

z , với i là đơn vị ảo

b) Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 5 ( ) 2( )2

− Lập phương trình đường thẳng d, nằm trong mặt phẳng (P), vuông

góc với đường thẳng ∆ và cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 8

66

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,  BAD=120 0

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 7

0

2 1

0

2

1

11

1

1

I I du u

du u

u du

=+

1 0 2 1 2 2

1

0

2 1 2 1

2 2

Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác IOC ta được

Vì ABD là tam giác vuông cân nội tiếp đường tròn, mà ABCD là hình bình hành nên suy ra tam giác

ABD có thể vuông tại B hoặc D (vuông tại A thì ABCD là hình vuông, vô lí)

Xét TH tam giác ABD vuông tại B khi đó AD=2R= ≠6 3 2 →vô lí

Suy ra tam giác ABD chỉ có thể vuông tại D

Gọi I là giao của AC và BD, khi đó I cũng chính là trung điểm của HK 7 5;

Mặt khác có điểm B là giao điểm của BH và đường tròn

Nên tọa độ B là nghiệm của hệ:

+) Xét: ( ] (1 )(2 2) 1

1; 2 bpt

21

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số

1

y x

+

=

− (với m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = –2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d y: =2x−1 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt ,

A B sao cho OA2+OB2 =14( với O là gốc tọa độ)

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết số phức z1 = −(2 z) ( )i+z là một số thuần ảo

b) Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, trong đó có đúng 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 6 sản

phẩm từ lô hàng đó Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 P x+ +y 2z+ =4 0, đường

d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x=1, y+ − =z 4 0

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P)

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3

Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H trên đoạn AC sao cho CH =3AH

Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng 8 201

67

a

Tính thể tích khối chóp SBCDH và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện SACD theo a

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn (C) tâm

I bán kính R=5 Tiếp tuyến của (C) tại C cắt tia đối của tia AB tại 4;26

3

−

  Biết diện tích tam

giác ABC bằng 20 và A thuộc : d x+ − =y 4 0 Viết phương trình đường tròn (C)

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 8

sin (1 cos ) cos (1 sin ) 1 sin 2 sin cos

Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y=|x2−4 | ( )x C và ( )d :y=2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

R= và trừ 2 điểm A(−1; 0) và B( )2; 0

b) Số phần tử của không gian mẫu C126 =924 (phần tử)

Xét trường hợp trong 6 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm suy ra có C104 =210 cách và xác xuất là 210

924 Vậy xác suất lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó có không quá 1 phế phẩm là

210 714 171

+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD

Nhận thấy O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ADC∆

Từ O dựng Ox⊥AC Trong ∆SACdựng trung trực của

SA∩Ox=G

Suy ra G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

SACD cũng bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC

b

Vậy ( ) ( ) (2 )2