ÔN THI TN THPTQG -PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên bằng việc đánh giá: Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t=2 + 3x cho phương trình Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn

2 1 0(1)2

= thoả mãn điều kiện (*)

b) Chứng minh rằng khi m >1, phương trình luôn có nghiệm duy nhất

Giải : (1) 24x3−m =2− 3x⇔ 3

4x −m= − 3x ⇔ 3

4x + 3x=m (2) a) Với m = 7 ta có phương trình 3

nữa, f(x) liên tục trên R và lim ( )

[− +∞2; )

Suy ra, f x( )≥ f ( )2 = ∀ ≥ −1, x 2 Ta có : (2) có nghiệm duy nhất khác 0⇔ 1

1 2 2

a a

 + =

x =

WWW.ToanCapBa.Net

x x

x = − 19)

Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được:

log 5

x x

x x

4 log 3 5

Dạng 2: Phương trình α1a u+α2b u +α3 = 0 với a.b = 1

Khi đó đặt t=a u,điều kiện t > 0 suy ra u 1

b t

Dạng 4: Lượng giác hoá

Nếu trong phương trình có dạng : 2 2

a − u , ta có thể đặt u = a.sint hay u = a.cost,…(VD 6)

Chú ý: Nếu phương trình không có tham số thì điều kiện cho u

t=a là t > 0 vẫn đúng, nhưng nếu trong bài toán chứa tham số thì điều kiện trên nói chung không đúng

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên bằng việc đánh giá:

Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t=(2 + 3)x cho phương trình

Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng của a.b = 1, đó là:

8 0

t t

2

2 1

4

2 1

Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là t

x x−

Giải: Viết lại phương trình có dạng:

3 3

t + t− t= ⇔ = ⇔t − =Đặt u= 2 ,x u> 0 khi đó phương trình (2) có dạng:

22

x

u u

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Chú ý: Tiếp theo là bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hoá

WWW.ToanCapBa.Net

1+ 1 sin− t =sin 1 2 1 sint + − t ⇔ 1 cos + t = sin 1 2 cost( + t)

⇔ cos 2 sin 4 sin cos 2 0

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Phương trình ⇔ 1 log 2 log 2 2 2log 2

4+ x− 6 x = 2.3+ x⇔ log 2 log 2 log 2

4 2) ( ) ( ) 1

22

x

t t

Vậy phương trình có nghiệm x = -1

b) Nếu m = -1,(2) chỉ có 1 nghiệm, loại

Vậy m ≠ −1 Ta có khi x < 0 thì 2x< 1 và khi x > 0 thì 2x > 1

(1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔(2) có 2 nghiệm t1, t2thỏa : t1< < 1 t2 ⇔ (m+1) ( )f 1 <0

a)Giải phương trình khi m = 1

b)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2thỏa mãn : x1−x2 =log2+ 39

2 − 3 − = 1

3(1) có 2 nghiệm x x1 , 2thỏa mãn : x1−x2 =log2+ 39 ⇔(2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1 , 2thỏa

' 00013

S P t t

4 0013

m

m t t

VÍ DỤ 9 : Cho phương trình : sin2 cos2

81 x+ 81 x=m (1) a) Giải phương trình với m = 30

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Giải : Đặt

2 2

sin cos

8181

x x

(2) Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1

⇒ a b, là nghiệm của phương trình : ( ) 2

81 0

f t = −t mt+ = (3) a) Khi m = 30 : (3) ⇔ 2

30 81 0

27

t t

2 162

m m m m

Vậy những giá trị m cần tìm là : 18≤ ≤m 82

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI I Giải các phương trình sau

x x

t t

 −  =

  ĐS : x = 1

BÀI III Giải các phương trình sau :

BÀI VII Cho phương trình : .2x 2 x 5 0

m + − − = Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất.

BÀI VIII Cho phương trình : 16x−m.8x+(2m−1 4) x =m.2x

a) Giải phương trình khi m = 2

b)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

YCBT ⇔ (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 ĐS : a) x = 0; b) m > +3 2 2

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa : x1+x2 = 3.

Hướng dẫn : Đặt t= 3 , x t> 0, đưa về phương trình bậc 2 theo t : 2 ( )

mt + m− t− m+ = (2) a) (1) có 2 nghiệm trái dấu : x1 < < 0 x2 ⇔(2) có nghiệm t t1, 2 thỏa : t1< < 1 t2

b) (1) có 2 nghiệm x x1 , 2 thỏa : x1+x2 = 3 ⇔ ⇔(2) có 2 nghiệm t t1, 2 thỏa : t t =1 2 27

WWW.ToanCapBa.Net

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn : Chia 2 vế của phương trình cho ( 2 )

  , đưa về phương trình bậc 2 theo t : f t( )= −t2 mt− =2 0 (2)

(1) có nghiệm duy nhất ⇔(2) có nghiệm t t1, 2 thỏa : 1 2 3

7− +x − 4.7− x+ − =a 0 (1) Tìm a để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn:Đặt

1 3 2

ĐS : 0< ≤a 1 và khi a = 1 thì x = 0; khi 0< ≤a 1 thì x = log a2

BÀI XVIII Cho phương trình : 9x− (k− 1).3x+ 2k= 0 (1) Tìm k để phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:Đặt t =3 , t > 0x , đưa về phương trình bậc 2 theo t : f t( )= −t2 (k−1)t+2k=0(2)

(1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm kép dương hoặc (2) có 2 nghiệm trái dấu⇔

( )

' 0

02

S af

af af

(1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t thỏa : 1 2

1

33

49x+ m−1 7x+ −m 2m =0 (1) có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn : Đặt 7 ,x 0

t= t> phương trình trở thành : ( ) 2 ( ) 2

 : phương trình có 2 nghiệm trái dấu

BÀI TOÁN 4: PHƯƠNG PHÁP HẰNG SỐ BIẾN THIÊN

( )2

4 '

2

g x

x

= − + < 0, ∀ ≠ −x 2

Giải: Đặt t= 2 ,x t> 0 và x= log2t

Khi đó phương trình đã cho trở thành : 2

2

2t− =t log t− 1 (2) Xét các trường hợp sau :

⇒ f t( )> ∀ ∈0, t ( )0; 2 Vậy (2) vô nghiệm

•t > 2 : khi đó log2t −1> 0 Tương tự, ta có Bảng biến thiên của hàm ( ) 2

2

1

0

f(t) f’(t)

t

WWW.ToanCapBa.Net

[0; 6], hai đường cong này cắt nhau tại 2 điểm

a) Giải các phương trình với m = 2

b) Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

b)Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn : Đặt t =3x > 0, đưa về phương trình : 2 ( 2 ) 3

a)Giải các phương trình với m = -4

b)Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Nếu (2) có nghiệm t > 0 ⇔m<0

WWW.ToanCapBa.Net

b m

0 2

m S

ĐS : a) x = 1 b) không có giá trị nào của m thỏa YCBT

a)Giải các phương trình với m = 5

b)Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

0

0 2

0

0 0 0

b m a

x x

x x

u

u v v

4x − 1 2x− + − 2x− = 0 ⇔

VD3: Cho phương trình: 2 5 6 1 2 6 5

.2x x 2 x 2.2 x (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Giải: Viết lại phương trình dưới dạng:

2

, , 02

x x

x

u

u v v

2

5 6 1

x

x u

=

Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x = 3, x = 2

a) Với m = 1, phương trình (*) có dạng: 1 2 2 2

2−x = ⇔ − 1 1 x = ⇔ 0 x = ⇔ = ± 1 x 1Vậy với m = 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x = 3, x = 2, x =±1

b) Để (1) có 4 nghiệm phân biệt⇔ (*)có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3

1) 2 1 2 ( 1) 2

4x+x+2−x =2x+ +1 Hướng dẫn : Đặt:

2 2

2 2 1

2, , 02

x x x

u

u v v

3

2 + = + ĐS : x = 0

6) 4x2−3x+2 +4x2+6x+5 =42.x2+3x+7 +1 Hướng dẫn : Đặt:

2 2

3 2

6 5

4

, , 04

x x

x x

u

u v v

− + + +

Hướng dẫn : Làm xuất hiện phương trình

f x > ∀ ∈0 x ℝ ; g x( ) 3

x 1

= + NB trên (−∞ −; 1) và (− +∞1; ) ĐS : x = -2; x = 1

2

2 3

9

, u,v > 03

x x m

x m

u v

− + + −

2 1

4

, u,v > 03

x x m

x m

u v

+ + + −

Chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

WWW.ToanCapBa.Net

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f x ,ϕ( )x  = 0

Bước 3: Đặt y=ϕ( )x ta biến đổi phương trình thành hệ: ( )

BÀI I Giải các phương trình sau :

 Đây là một phương trình đối xứng loại 2

u

u v

Hướng1: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f(x) = k

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng

biến)

Bước 3: Nhận xét:

•Với x=x0 ⇔ f x( )= f x( )0 =k do đó x=x0là nghiệm

• Với x>x0 ⇔ f x( )> f x( )=k do đó phương trình vô nghiệm

• Với x<x0 ⇔ f x( )< f x( )0 =k do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là

đồng biến còn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x0 sao cho f x( )0 =g x( )0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=x0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u) = f(v) (3)

WWW.ToanCapBa.Net

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử

đồng biến)

Bước 3: Khi đó: (3)⇔ =u v với∀u v, ∈D f

II VD minh hoạ:

VD1: Giải phương trình: log 2

Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình (2) vì log 2

2.3 x = − 3 1Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

3 2

Với m = 0 phương trình có nghiệm kép x = 0

Với m = 1 phương trình có nghiệm kép x0 = -1

• Nếu ' 0 1

0

m m

x = − ±m m −m đó cũng là nghiệm kép của (1)

Kết luận:

•Với m = 0 phương trình có nghiệm kép x = 0

•Với m = 1 phương trình có nghiệm kép x0 = -1

•Với 0 < m < 1 phương trình vô nghiệm

•Với m > 1 hoặc m < 0 phương trình có 2 nghiệm 2

1) Giải phương trình khi m = 1

2) Định m để phương trình có một nghiệm x thuộc khoảng (0; 1)

2 1

x + x+ = 0 ⇔x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1

2) (1) có một nghiệm x thuộc khoảng (0; 1) ⇔(2) có một nghiệm x thuộc khoảng (0; 1) (2) ⇔ 2

Ta có : ( )

2 2

x

WWW.ToanCapBa.Net

Căn cứ vào Bảng biến thiên ta có : (2) có một nghiệm x thuộc khoảng (0; 1) ⇔ 1 0

Vậy x < 2 không thỏa (1)

Tóm lại, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2) Ta có : log 3 2 log 5 2

x+x =x (1)

Sử dụng công thức : logb c logb a

a =c , ta đưa phương trình về dạng : log 2 log 2 log 2

2 x+ 3 x= 5 x (1) Đặt t= log2x x, > 0: (1) ⇔ 2t + 3t = 5t ⇔ 2 3 1

Nhận thấy , t = 1 là một nghiệm của (2)

6 + = + Hướng dẫn : Tương tự như bài 27

14 10 15

9 + = + Hướng dẫn : Tương tự như bài 27

2 − 2 x+ 3 2 2 − x+ 3 2 − 4 x = 1 Ta chứng minh 1

2

x = là nghiệm duy nhất

BÀI II Giải các phương trình sau

2 x+ − 2 x− = − 12 Hướng dẫn : Đưa về : f (4x+6)= f(4x−6) ĐS :Vô nghiệm

2

1

1 2

x a

x x b

2 x− + 3 x+ 5 x+ = 2x+ 3x+ + 5x+ Hướng dẫn : Dự đoán x = 1 là nghiệm Biện luận x > 1 hay x

< 1 không thỏa phương trình

x = Hướng dẫn : Dự đoán x = 2 là nghiệm Biện luận x > 2 hay x < 2

không thỏa phương trình

x

a a

2

4 x k.log 2 3 2 x x.log 2 2 0

trình có 4 nghiệm phân biệt

Vì hàm số : f t( )=2 log ,t 2t t≥2 đồng biến trên [2; +∞)nên từ : f u( )= f v( ) ⇔ u v=

k ≥ Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ f x( )có 2 nghiệm phân biệt

2k 1

00

f g

k k

phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn : Điều kiện : 2

1 3 + a− 2a > 0 ⇔ 3 17 3 17

< < Phương trình đã cho ⇔ 2 4 3 1 ( 2 ) 1 3 2 2 ( 2)

ln 2.

t t

Bước 1: Nêu lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x, m) và

đường thẳng (d): y = g(m)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x, m)

•Tìm miền xác định D

• Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0

• Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

• Phương trình có nghiệm ⇔min f x m( , )≤g m( )≤max f x m x( , )( ∈D)

•Phương trình có k nghiệm phân biệt⇔(d) cắt (C) tại k điểm phân biệt

II VD minh hoạ:

Suy ra hàm số f x( ) nghịch biến trên ℝ

Vậy đồ thị của hàm số f x( ) cắt đường thẳng d : y = 1 chỉ tại một điểm duy nhất

b) Giải phương trình với m = 27

a) Với m = 8 thì t = 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b) Với m = 27 , đoán nghiệm t = 2, căn cứ vào bảng biến thiên thì giá trị t = 2 là duy nhất Ta

có : 2

2 2 2

x − x+ = ⇔ = ∨ =x 0 x 2

c) Phương trình có nghiệm khi : m ≥ 8

VD3: Với giá trị nào của m thì phương trình:

Vậy với 0< m <1 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

VD4: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:2x+ = 3 m 4x+ 1

t y t

+

=+ với đường thẳng (d):y = m

Xét hàm số:

2

31

t y t

+

=+ xác định trên D =(0;+∞)

Với m ≤1 hoặc m > 10 : phương trình vô nghiệm

Với 1≤m<3 hoặc m = 10 : phương trình có nghiệm duy nhất

Với 3 ≤m< 10 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

21' 0 khi x < -

2

t t

+ ∞ 1/3

0

t y’

y

+∞

0

1 +∞

+

-

+∞

1/2 -1/2

-∞

t t’

x

WWW.ToanCapBa.Net

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI I Cho phương trình : 2 1

8

2x−x x− +m

= Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn : Đưa về phương trình : 2

BÀI III Cho phương trình : 4x−m.6x =(3 2− m)9x Định m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn : Đưa về phương trình : (2 3) 9 3 1 0

t = không phải là nghiệm của phương trình)

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : ( ) 22

3 1 , 0 2

WWW.ToanCapBa.Net

BÀI IV Cho phương trình : 2 2 3 2 2 3

4x− x+ −m.2x− x+ + 3m− = 2 0 (1) Định m để phương trình có nghiệm

t

m t

−

=

3

t = không phải là nghiệm của phương trình)

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : ( ) 2 2, 4

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : ( ) 32 2 1, 0

a) Giải phương trình với m = 10

b)Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn : Điều kiện : ,

= (do t =0 không phải là nghiệm của phương trình)

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : f t( ) t2 1,t 0

-1

0

f(t) f’(t)

t

+∞

2 f(t)

f’(t) +∞

BÀI VII Cho phương trình : 1

4x −2x+ −2m− =1 0 (1) a) Giải phương trình với m = -1

c) (1) có nghiệm thuộc [-2; 2] ⇔(2) có nghiệm t thuộc [1; 4]

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : ( ) 2 [ ]

2 1, 1; 4

f t = − −t t t∈ với đường thẳng (d) : y = 2m Bảng biến thiên của f t( ):

ĐS : a) x = 0 b) m ≥ −1 c) 1 7

2

m

− ≤ ≤ BÀI VII Cho phương trình : 1 2 2 2 2 ( ) 2 2

25+ x x− +m.9 x x− = 3m+ 7 15 x x− (1) a) Giải phương trình với m = 9

b) Định m để phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Xét :

2

2

35

(1) có nghiệm thuộc [-2; 2] ⇔(2) có nghiệm t thuộc [1; 4]

Ta khảo sát sự tương giao của 2 đồ thị : ( ) 2 [ ]

2 1, 1; 4

f t = − −t t t∈ với đường thẳng (d) : y = 2m Bảng biến thiên của f t( ):

ĐS : a) x = 0 ; x= 2; x= ±1 3 b) m ≥ −1 c) 1 7

2

m

− ≤ ≤

BÀI TOÁN 9: PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

I Phương pháp : Có các dạng toán sau : “Tìm điều kiện của tham số để :

Dạng 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2 : Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

Dạng 3 : Phương trình có nghiệm đúng với mọi x ∈ D

Dạng 4 : Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác

Khi đó ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa

Bước 2 : Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ

Bước 3 : Kiểm tra điều kiện đủ

II Các ví dụ minh họa :

VD 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 12 2 1

3x− = m− (1)

Giải : •Điều kiện cần :

Giả sử phương trình (1) có nghiệm x0, khi đó ta có :

7 f(t)

Thế giá trị của x0 vào (1) ta tìm được : m =1

•Điều kiện đủ : Với m =1, (1) trở thành :

Giải : •Điều kiện cần :

Giả sử phương trình (1) có nghiệm với mọi x > 0, vậy x = 1 là một nghiệm của (1)

Vậy (1) và (2) tương đương nhau ⇔(2) có nghiệm duy nhất x = 0

Giả sử (2) có nghiệm x = 0 Suy ra: 4 1 .1 1

m− +m = (3) Với m < 4, (3) trở thành : 0m = 0, đúng với 0 < m < 4

Vậy nếu m = 0 thì (1) và (2) tương đương

∗ Với 0≠m≤4 : (4) có nghiệm :

1 4

t t m

4140

m m

Hướng dẫn : •Điều kiện cần :

Giả sử phương trình (1) có nghiệm x0, khi đó ta có : -x0 cũng là nghiệm của phương trình

Phương trình (1) không có nghiệm duy nhất

Không tìm được giá trị a thỏa mãn bài toán

BÀI II.Cho phương trình : 6 ( ) 6

4x 1 2x 1 4 0

m − + m− − − − m= (1) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn : •Điều kiện cần :

Giả sử phương trình (1) có nghiệm x0, khi đó ta có x0 - 6 thỏa phương trình và 6 - x0 cũng thỏa phương trình

Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ x0− = − 6 6 x0 ⇔ x =0 6

BÀI III.Cho phương trình : 11 3 2

2x− = m− (1) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất