PHẦN 6 ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT (CÂU 6b ĐỀ THI THPT QUỐC GIA)

Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các bài toán cơ bản các yếu tố đã cho sẵn • Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước.... • V

PHẦN 6 ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT (CÂU 6b ĐỀ THI

5

C 3 5

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C126

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: 6

Số cách chọn thoả mãn đề bài là: 6 6 6 6

C −C −C −C = (cách)

Ví dụ 4 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm

phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử Nhưng trên cạnh

CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010

2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n≥2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n

3) Cho tập A={0;1;2;3;4;5}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com

2.2 Nhị thức Newton:

Ví dụ 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 2 1

n

x x

Số hạng này không chứa x khi , 0 12 8

24 3 0

k k

Trong khai triển ( )10

1

x x

Ví dụ 1 Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy

ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là Ω =C164 =1820

Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu

Ví dụ 2 Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó

có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K)

Lời giải

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C552 =2598960

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc

Ví dụ 3 Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:

0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên một số trong E Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5

Ví dụ 5 Trong một kì thi Thí sinh được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9

Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu

Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.

P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0, 7

P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3

4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu

đỏ Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1 Kiến thức liên quan

1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

dx x C= +

, 11

tan( )cos (ax b)dx= a ax b+ +C

( )( ) ( )

) (

ham nguyen

lay v

ham dao

lay dx

du dv

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

L = ∫ xdx ta được kết quả 1 2

ln 22

I =

ln 2 2 0

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t =lnx

- Nếu tích phân chứa e thì đặt x t e= x

- Nếu tích phân chứa dx

- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t =sinx

- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t =cosx

- Nếu tích phân chứa 2

1 1

0

2 2

J = +J J = +

0 0

(e x+x dx)

1 3 0

1(3sinx 2cosx )dx

2 2

2

dx x

14

e dx−

3 0

sin

xcos

x d x

1

4−x dx

1 2 0

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1 Kiến thức liên quan

1.1 Một số phép toán vectơ

*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d ’ : Ta thực hiện hai bước

+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp ard, auurd /

+ Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:

Hệ (I) Quan hệ giữa ard, auurd / Vị trí giữa d , d’

/ /

Có 1 nghiệm Không cùng phương d cắt d’

*) Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi ϕ là góc giữa d và d’

/

/

(0 90 )

cos

1.4 Một số dạng toán thường gặp

 Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước

• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước

• Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm

• Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng

• Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho

 Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan

• Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT

• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

• Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn

• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

• Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

• Các dạng toán khác về mặt phẳng

 Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan

• Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác

+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và r = a2+ + −b2 c2 d

1.5.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S) : x a( − ) (2+ −y b) (2+ −z c)2 =r2và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α)

 d > r : (S) ∩ (α) = ∅

 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)

*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(α ) )

+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α) : ta có auur rd =n( ) α

*Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:

+ Bán kính R= r2−d2( ,( ))I α

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(α) )

1.5.3 Các dạng toán cơ bản về mặt cầu

• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

• Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát

• Bài toán khác liên quan đến mặt cầu

• Suy ra hai đường thẳng song song

• Ta có uur1=(2;4;2 ;) MNuuuur= − − − ⇒( 2; 1; 2) u MNur uuuur1, =(6;0;6) với N(0;1;0)

• Phương trình mp(P): x+z-4=0

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng

(Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1

Lời giải

• Ta có nuurR =n nuur uurP, Q = − −( 4; 30;16)

• Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

Lời giải

1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

• Ta có uuurAB=(2; 3; 1 ;− − ) uuurAC = − − − ⇒ =( 2; 1; 1) nr uuur uuurAB AC,  =(2;4; 8− )

• Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

• Ta có uuur uuurAB AC =0 nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm I(0;-1;1) của đoạn BC

•

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt

phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng 3

• Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1

• Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c

dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1

1 ; 1 3 ;1 2

2 ;1 2 ;3; 2 3 2; 2 1

Ví dụ7 : Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số

của đường thẳng d biết:

a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC

b) d qua C và vuông góc với mp(ABC)

b) Thực hiện tương tự: d và ∆2 cắt nhau.

c) Thực hiện tương tự: d và ∆3 chéo nhau.

Ví dụ 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương

trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P)

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

Tìm tọa độ hình chiếu của

A lên d, điểm đx của A qua d

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và : 1 2 ( )

Xét vị trí của hai đường thẳng Viết ptmp chứa 2 đường thẳng trên

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng

Xét vị trí của 2 đường thẳng Viết ptmp đi qua chứa đường thẳngd đồng thời //1 d 2

Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),

D(0 ; 0 ; 3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện

b) Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A

c) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O

Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4)

a) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B Tìm điểm đối xứng của B qua điểm A

Bài 9 Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0

c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0

d) Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

f) Viết pt mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục tọa độ

Bài 10 Cho hai đường thẳng (d): 1 1 2

c) Tính góc giữa (d1) và (d2).

Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1)

a) Viết phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 12 Cho ( )α : 2x+5y z+ +17 0= và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0

a) Tìm giao điểm A của (d) và ( )α .

b) Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng

( )α .

Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình

x + 2y + z –1= 0

a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)

Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng

a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d)

b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d)

c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d)

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng

(P) :x y+ +2z+ =1 0 và mặt cầu (S) : x2 +y2+ −z2 2x+4y−6z+ =8 0

a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)