Cho đường tròn O, R, đường kính AB.. Kẻ tiếp tuyến Ax.. a Chứng minh rằng: Tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp.. Chứng minh rằng: OI.. c Chứng minh rằng: Tứ giác KAOE là hình chữ nhật.. Chứ
Trang 1>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 17 ÔN TẬP CHƯƠNG III (TIẾT 2)
Bài 1 Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm K
(AK ≥ R) Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới (O), đường thẳng d ⊥ AB tại O, d cắt MB tại E
a) Chứng minh rằng: Tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp
b) OK ∩ AM = {I} Chứng minh rằng: OI OK không đổi khi K di động trên Ax
c) Chứng minh rằng: Tứ giác KAOE là hình chữ nhật
d) Gọi H là trực tâm tam giác KMA Chứng minh rằng: Khi K di động trên Ax thì H luôn thuộc đường tròn cố định
Giải
a) Ta có: KA ⊥ OA (KA là tiếp tuyến đường tròn (O) )
=> 𝐾𝐴𝑂 = 900
Chứng minh tương tự: 𝐾𝑀𝑂 = 900
=> 𝐾𝐴𝑂 + 𝐾𝑀𝑂 = 1800
Mà 𝐾𝐴𝑂 𝑣à 𝐾𝑀𝑂 là 2 góc đối nhau
=> Tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Ta có KA = KM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Mà OA = OM ( = R)
Trang 2>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
=> OK là trung trực của AM (dấu hiệu nhận biết)
=> OK ⊥ AM
Xét ∆ AOK vuông tại A có:
AI ⊥ OK (cmt)
=> OI OK = OA2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà OA = R
=> OI OK = R2 không đổi
c) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝑀𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> MB ⊥ AM
Mà OK ⊥ AM (cmt)
=> OK // MB (từ vuông góc đến song song)
=> 𝐴𝑂𝐾 = 𝑂𝐵𝐸 (2 góc đồng vị)
Xét ∆ KAO và ∆ EOB có:
𝐾𝐴𝑂 = 𝐸𝑂𝐵 = 900
AO = OB ( = R)
𝐴𝑂𝐾 = 𝑂𝐵𝐸 (cmt)
=> ∆ KAO = ∆ EOB (g.c.g)
=> KA = OE (2 cạnh tương ứng)
Ta có: KA ⊥ AB (KA là tiếp tuyến của đường tròn (O) )
OE ⊥ AB (gt)
=> KA // OE (từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác KAOE có:
KA = OE (cmt)
KA // OE (cmt)
=> Tứ giác KAOE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà 𝐾𝐴𝑂 = 900
=> Tứ giác KAOE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Tứ giác OAHM là hình thoi
=> AH = AO = R
Ta có: AH = R không đổi
A cố định
Trang 3>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
=> H ∈ (A, R) cố định
Bài 2 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C là điểm chính giữa cung AB Điểm M thuộc cung AC Kẻ MH vuông góc với AB tại H AC cắt MH tại K; MB cắt AC tại E Kẻ EI ⊥ AB tại I
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BHKC và tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng: AK AC = AM2
c) Chứng minh rằng: Khi M di động trên AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc 1 đường thẳng cố định
Giải
a) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝐶𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà 𝐾𝐻𝐵 = 900 (MH ⊥ AB)
=> 𝐾𝐻𝐵 + 𝐾𝐶𝐵 = 1800
Xét tứ giác KHBC có:
𝐾𝐻𝐵 + 𝐾𝐶𝐵 = 1800 (cmt)
Mà 𝐾𝐻𝐵 𝑣à 𝐾𝐶𝐵 là 2 góc đối nhau
=> Tứ giác KHBC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝐶𝑀 = 𝐴𝐵𝑀 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Mà 𝐴𝑀𝐻 = 𝐴𝐵𝑀 (cùng phụ 𝑀𝐴𝐵 )
=> 𝐴𝑀𝐾 = 𝐴𝐶𝑀
Xét ∆ AMK và ∆ ACM có:
𝑀𝐴𝐶 chung
𝐴𝑀𝐾 = 𝐴𝐶𝑀 (cmt)
Trang 4>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
=> ∆ AMK ∽ ∆ ACM (g.g)
=> 𝐴𝑀
𝐴𝐶 = 𝐴𝐾
𝐴𝑀 (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
=> AK AM = AC2 (đpcm)
c) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIEM có:
𝑀𝐴𝐸 = 𝑀𝐼𝐸 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ME)
Xét đường tròn (O): 𝑀𝐴𝐶 = 1
2 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶 (góc nội tiếp chắn MC)
=> 𝑀𝐼𝐸 = 1
2 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶
Chứng minh tương tự: 𝐶𝐼𝐸 = 12 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶
=> 𝑀𝐼𝐶 = 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶
Xét đường tròn (O) có: 𝑀𝑂𝐶 = 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶 (góc ở tâm chắn cung MC)
=> 𝑀𝐼𝐶 = 𝑀𝑂𝐶
Xét tứ giác MIOC có:
𝑀𝐼𝐶 = 𝑀𝑂𝐶 (cmt)
Mà I và O là 2 đỉnh kề nhau
=> Tứ giác MIOC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MIOC, thuộc trung trực OC cố định