9 ôn tập chương 3 hình học tiết 1

Cho nửa đường tròn O, R, đường kính AB.. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By tại C, D.. a Chứng minh rằng: Tứ giác OEMF là hình chữ

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 16 ÔN TẬP CHƯƠNG III (TIẾT 1)

Bài 1 Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn

Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By tại C, D MA cắt OC tại E, MB cắt OD tại F a) Chứng minh rằng: Tứ giác OEMF là hình chữ nhật

b) Chứng minh rằng: AC, BD không đổi

c) Cho BD = R 3 Tính AM

Giải

a) Ta có: CM, CA là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)

=> CM = CA (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mà OM = OA (= R)

=> OC là trung trực của AM (dấu hiệu nhận biết trung trực đoạn thẳng)

=> OC ⊥ AM => 𝑂𝐸𝑀 = 900

Chứng minh tương tự: 𝑂𝐹𝑀 = 900

Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝑀𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác OEMF có:

𝐸𝑀𝐹 = 900 (cmt)

𝑂𝐸𝑀 = 900 (cmt)

𝑂𝐹𝑀 = 900 (cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

b) Ta có: 𝐶𝑂𝐷 = 900 (tứ giác OEMF là hình chữ nhật)

=> ∆ COD vuông tại O

Mà OM ⊥ CD (CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) )

=> CM.MD = MO2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà CM = CA ; MD = BD (cmt)

MO = R

=> CA BD = R2 không đổi

c) ∆ OBD vuông tại B

BF ⊥ OD (cmt)

=> 1

𝐵𝐹2 = 1

𝐵𝑂2+ 1

𝐵𝐷2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

 1

𝐵𝐹 2 = 1

𝑅 2 + 1

3𝑅 2 = 4

3𝑅 2

 BF2 = 3𝑅

2

4

 BF = 𝑅 3

2

=> MB = 2BF = 𝑅 3 (F là trung điểm MB)

∆ MAB vuông tại M (𝐴𝑀𝐵 = 900)

=> AM2 + MB2 = AB2 (Định lý Py-ta-go)

 AM2

= (2R)2 – (𝑅 3)2

= R2

 AM = R

Vậy AM = R

Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H Kẻ đường kính AA’ Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh rằng: tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng: H, I, A’ thẳng hàng

c) Chứng minh rằng: DH DA = DB DC

d) Cho B, C cố định, A di động trên cung lớn BC Tìm vị trí của A để SAEF max

Giải

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

a) Ta có: 𝐵𝐹𝐶 = 900 (CF ⊥ AB)

𝐵𝐸𝐶 = 900 (BE ⊥ AC)

=> 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 (= 900)

Xét tứ giác BFEC có:

𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 (cmt)

Mà F, E là 2 đỉnh kề nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝐶𝐴′ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> A’C ⊥ AC

Mà BH ⊥ AC (gt)

=> BH // A’C

Chứng minh tương tự: CH // A’B

Xét tứ giác BHCA’ có:

CH // A’B (cmt)

BH // A’C (cmt)

=> Tứ giác BHCA’ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

=> BC, HA’ cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm BC

=> I là trung điểm HA’

=> H, I, A’ thẳng hàng

c) Ta có: 𝐷𝐴𝐶 + 𝐴𝐶𝐷 = 900 (∆ ADC vuông tại D)

𝐸𝐵𝐶 + 𝐸𝐶𝐵 = 900 (∆ BEC vuông tại E)

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

=> 𝐷𝐴𝐶 = 𝐷𝐵𝐻 (cùng phụ 𝐴𝐶𝐵 )

Xét ∆ DBH và ∆ DAC có:

𝐵𝐷𝐻 = 𝐴𝐷𝐶 = 900

𝐷𝐵𝐻 = 𝐷𝐴𝐶 (cmt)

=> ∆ DBH ∽ ∆ DAC (g.g)

=> 𝐷𝐵

𝐷𝐴 = 𝐷𝐻

𝐷𝐶 (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)

=> DA DH = DB DC (đpcm)

d) Ta có: 𝐵𝐶𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800 (tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp)

Mà 𝐴𝐹𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800 (2 góc kề bù)

=> 𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵

Xét ∆ AEF và ∆ ABC có:

𝐵𝐴𝐶 chung

𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 (cmt)

=> ∆ AEF ∽ ∆ ABC (g.g)

=> 𝑆𝐴𝐸𝐹

𝑆𝐴𝐵𝐶 = (𝐴𝐸

𝐴𝐵)2

 𝑆𝐴𝐸𝐹 = (𝐴𝐸

𝐴𝐵)2 𝑆𝐴𝐵𝐶 = cos2A 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴𝐶 = 12 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝐵𝐶 không đổi

=> cos2 A không đổi

𝑆𝐴𝐸𝐹 max  𝑆𝐴𝐵𝐶 lớn nhất

𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1

2 𝐴𝐷 𝐵𝐶

Mà BC không đổi

SABC max  AD max  A là điểm chính giữa cung BC