3 bất đẳng thức tiết 3

Chứng minh rằng:.

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Phương pháp: Tổng quát 1 2

1 2

n n

n

n

Dấu “=” xảy ra a1a2   a n

1 BĐT Cô-si cho 2 số không âm

2

a b

ab

 

Dấu “=” xảy ra  a b

Một số BĐT Hệ quả

2

ab





2

ab



2 2

a b

ab



4

a b

a b

 

   

 



2

2 2

  

a

2 BĐT Cô-si cho 3 số không âm 3

3

a b c

abc

 

Một số BĐT hệ quả

3

abc

3

abc



3 3

a b c

abc

 

9

a b c

a b c

     

 

Bài 1: Cho a b c, , không âm Chứng minh rằng :

a)   1 1

4

a b

a b

 

   

 

9

a b c

a b c

     

 

2

a b c

a b b c c a

     

Giải

BÀI GIẢNG: BẤT ĐẲNG THỨC – TIẾT 3 CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

MÔN TOÁN LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

a) a b 2 ab (Dấu “=” xảy ra  a b)

2

a b ab (Dấu “=” xảy ra  a b)

 

    

Dấu “=” xảy ra  a b

3

a b c   abc (Dấu “=” xảy ra   a b c)

3

3

a  b c abc (Dấu “=” xảy ra   a b c)

       

Dấu “=” xảy ra   a b c

c) Ta có

      3      

3

Nhân vế:

2

a b c

Dấu “=” xảy ra         a b b c c a a b c

Bài 2: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng 3

2

Giải

1 1 1

 

 

 

 

 

 

Cộng vế:

3

2

3

a b c

dpcm

Dấu “=” xảy ra   a b c

Bài 3: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:

a) a 1 b 1 c 1 8

      

   

   

b) 2 2 2 2 2 2

a b b c c a  abc

Giải

a) Ta có:

1

2 a

a

  (Dấu “=” xảy ra  a b)

1

2 b

b

  (Dấu “=” xảy ra  b c)

1

2 c

c

  (Dấu “=” xảy ra  c a)

Nhân vế :

2 a.2 b.2 c 8

       

   

   

Dấu “=” xảy ra   a b c

b) Ta có:

Cộng vế:

3 2 2 2 3 3 3 3

Dấu “=” xảy ra    a b c 1

Bài 4: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:      3

3

1a 1b 1  c 1 abc

Giải

Ta có: VT    1 a b c ab bc ca abc  

3

a b c   abc (Dấu “=” xảy ra   a b c)

3 2 2 2

ab bc ca   a b c (Dấu “=” xảy ra   a b c)

Cộng vế:

3 2 2 2 3

a b c ab bc ca abc a b c

a b c ab bc ca abc abc abc abc abc

      

(*) đã được chứng minh Dấu “=” xảy ra   a b c

Bài 5: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:

c  a  b   

b) a22 b22 c22 b c a  2

b c a   a b c

Giải

a) Ta có:

c  a  c a  (Dấu “=” xảy ra  c a)

+) bc ac 2c

a  b  (Dấu “=” xảy ra  a b)

+) ac ab 2a

b  c  (Dấu “=” xảy ra  b c)

Cộng vế: 2 ab bc ac 2a b c ab bc ac a b c dpcm

           

Dấu “=” xảy ra   a b c

b) Ta có:

2 2 2 2 2 2

b c  b c  c (Dấu “=” xảy ra

2 2

2 2

Tương tự:

2 2

2 2 2

c a  a (Dấu “=” xảy ra

2 2

2 2

2 2

2 2 2

a b  b (Dấu “=” xảy ra

2 2

2 2

Cộng vế: 2 a22 b22 c22 2 b c a a22 b22 c22 b c a dpcm

b c a a b c b c a a b c

          

Dấu “=” xảy ra a b c a b c

Bài 6: Cho x y z, , 0, xyz1 Chứng minh rằng:

3 3

        

Giải

Ta có:

3 3 3 3 3

1x y 3 x y 3xy 1 x3 y3 3xy 3

 

   (Dấu “=” xảy ra   x y 1) Tương tự ta có:

3 3

 

 (Dấu “=” xảy ra   y z 1)

3 3

1 z x 3

 (Dấu “=” xảy ra   x z 1)

Cộng vế:

3 3

2 2 2

3

xyz

x y z

          

Dấu “=” xảy ra    x y z 1

Bài 7: Cho , ,a b c0, a b c  3 Chứng minh rằng: 3 3 3

3

a   b c

Giải

Ta có: 3 3 3

a    a  a (Dấu “=” xảy ra  a 1) Tương tự:

3

1 1 3

b    b (Dấu “=” xảy ra  b 1)

3

1 1 3

c    c (Dấu “=” xảy ra  c 1)

a    b c a b c  a  b c    (đpcm) Dấu “=” xảy ra    a b c 1

Bài 8: Cho a b c, , 0, a2b2c2 12 Chứng minh rằng a3  b3 c3 24

Giải

Ta có a3a3 8 33 a a3 3.86a2 Dấu “=” xảy ra  a 2)

Tương tự :

8 6

b   b b (Dấu “=” xảy ra  b 2)

c   c c (Dấu “=” xảy ra  c 2)

Cộng vế:  3 3 3  2 2 2 3 3 3 6.12 24

2

a  b c   a  b c a   b c  

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra    a b c 2

Bài 9: Cho x y, 0, x y 1 Chứng minh rằng

2 2

2

Giải

Ta có:

2 2

+) Ta có 1 1

(Dấu “=” xảy ra  x y)

Mặt khác: 2 2  2 1 1  

4 2

+) 12 12 2 212 2 2 8

1 4

x  y  x y  xy  (Dấu “=” xảy ra  x y)

2 2

x y

x y

x y





     

Bài 10: Cho ,a b là các số thức thuộc  0;1 Chứng minh rằng     8

27

Giải

Từ giả thiết ta có

0

a b

    



     



  



a b a b

a b

b a b b

   