2H3 6 18 4

Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu của I trên α.

Câu 1 [2H3-6.18-4] (CỤM-CHUYÊN-MÔN-HẢI-PHÒNG) Trong không tọa độ Oxyz, xét mặt

phẳng ( ) α đi qua điểm A ( 2;1;3 ) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại M N P , , sao

cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất Giao điểm của đường thẳng

2

4

= +



 = −



 = +

 với mặt phẳng ( ) α có tọa độ là:

A ( 4; 1;6 − ). B ( 4;6;1 ) . C ( − 4;6; 1 − ) . D ( 4;1;6 ) .

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình

Chọn A

Vì M N P , , lần lượt thuộc các tia Ox Oy Oz , , nên M m ( ;0;0 , ) ( N 0; ;0 , n ) ( P 0;0; p ) với

, , 0

m n p ≥

Dễ thấy ( ) α không thể đi qua O ( 0;0;0 ) vì khi đó M N P ≡ ≡ Suy ra m n p , , > 0

Ta có OM m ON n OP p = , = , = suy ra thể tích tứ diện OMNP là

.

OMNP

Ta lại có phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua M N P , , là: m n p x y z + + = 1.

Vì ( ) α đi qua A ( 2;1;3 ) nên ta có m n p 2 1 3 + + = 1

(1)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

3

3

m n p + + ≥ mnp

(2)

Từ (1) và (2) ta được 3

6

1 3

mnp

6 mnp

OMNP

V

Suy ra VOMNP nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi

6

2 1 3 1

3 3

9

m n

p

=





= = = ⇔  =

 =



Do đó ( ) α có phương trình là: 1

6 3 9

x y z

+ + = ⇔ + + − = 3 6 2 18 0 x y z Gọi I d = ∩ ( ) α Vì I d ∈ nên I ( 2 ;1 ;4 + − t t + t ) .

Vì I ∈ ( ) α nên 3 2 ( ) ( ) ( ) + + t 6 1 − + t 2 4 + − = ⇔ − = ⇔ = t 18 0 2 t 0 t 2 Suy ra I ( 4; 1;6 − ) .

Câu 2 [2H3-6.18-4] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( ) ( 1;2;3 , B − 3;4;5 , 1;3; 1 ) ( C − ) và mặt phẳng ( ) α : 2 x y z − − = 0 Điểm M a b c ( ; ; ) ( ) ∈ α thỏa T MA MB = 2− 2+ 2 MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính S a b c = − + 2

Lời giải

Tác giả: Bùi Xuân Toàn ; Fb: Toan Bui

Chọn A

Gọi I x y z ( ; ; ) là điểm thỏa mãn IA IB IC uur uur uur r − + 2 = 0 Suy ra I ( 3;2; 2 − ) .

T MA MB = − + MC = MI IA uuur uur + − MI IB uuur uur + + MI IC uuur uur +

2 MI IA IB 2 IC 2 MI IA IB 2 IC

= + − + + uuur uur uur uur − + = 2 MI2+ ( IA IB2− 2+ 2 IC2) .

Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu của I trên ( ) α

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với ( ) α Suy ra PTTS ( )

3 2

2

= +



 = − ∈



 = − −



¡

Và M d = ∩ ( ) α : 2 3 2 ( + − − − − − = t ) ( ) ( 2 t 2 t ) 0 ⇔ + = ⇔ = − 6 6 0 t t 1

Suy ra M ( 1;3; 1 − ) Vậy S = − + − = − 1 3 2 1 ( ) 4