2H2 3 05 3

Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp .S ABC mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp và có tâm nằm trong hình chóp... Suy ra ABC đều và

Câu 1 [2H2-3.5-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho hình chóp S ABC có , , SA SB SC đôi một vuông góc

và SA SB SC a   Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC (mặt cầu nội

tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp và có tâm nằm trong hình chóp)

A

3 6

a

r

a

r

a

r

a

r

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen

Chọn C

Cách 1: Đào Văn Tiến

Do SA SB SC đôi một vuông góc và SA SB SC a, ,    nên AB BC CA a   2.

2

1 2

OAB OAC OBC

S S S  a

�

,

2 3 2

ABC

a

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC , ta có:

OABC IOAB IOBC IOAC IABC

6OA OB OC3r S OABS OBCS OACS ABC

�

3 3

a

r

�

 Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là 3 3

a

r

 .

Cách 2:

I P

B

S

O

K H

E

Do SA SB SC đôi một vuông góc và SA SB SC a, ,    nên AB BC CA a   2.

Suy ra ABC đều và tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC cũng là tâm đường tròn nội tiếp

ABC

Nhận thấy: Mọi điểm nằm trên SI đều cách đều ba mặt SAB , SBC , SAC Thật vậy:

Lấy điểm O tùy ý thuộc SI Gọi M N P lần lượt là trung điểm , , AB BC CA Vẽ, ,

, ,

OH OK OE lần lượt vuông góc với SM SN SP , , H SM K SN E SP� , � , � 

Ta có:

2 2

a

SM SN SP

,

IM INIP 

SIM SIN SIP c c c

      

� �MSI� NSI� PSI� �SOH  SOK  SOE(cạnh

huyền – góc nhọn) �OH OK OE   1 .

Do

BC SI

BC AN



�

� 

� �BCSAN �BCOK Mà OK SN �OK SBC  2 .

Tương tự: OH SAB , OESAC  3 .

Từ      1 , 2 , 3

suy ra O cách đều ba mặt SAB , SBC , SAC

Gọi O là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC thì O cách đều tất cả các mặt của hình

chóp S ABC Suy ra O thuộc SI và bán kính mặt cầu cần tìm là r OK .

Để O cách đều tất cả các mặt của hình chóp S ABC thì OI OK Suy ra NO là đường phân

giác của SIN

OI NI

OS  NS

IS  NI NS

�

 với

3

a

SI  SN IN 

,

2 2

a

NS

,

6

6

a

NI 

3 3

a

OI 

�

 .

a

r OI 

 .

Cách 3:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O S � , tia Ox là tia OA, tia Oy là tia OB , tia Oz là tia

OC Khi đó: A a ;0;0 , B 0; ;0 ,a  C 0;0;a.

Phương trình các mặt phẳng là: SAB z: 0, SBC x: 0, SAC y : 0,

ABC:x y z 1 x y z a 0

Gọi điểm I x y z ; ; 

là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABC

Do I nằm trong hình chóp S ABC nên 0 x a,0 y a, 0  z a

Ta có: d I SAB ;   d I SBC ;   d I SAC ;   d I ABC ;  r

3

x y z a

z x y    r

3 3

a

r

�

�

Mặt khác:  ;    ;    2

3

a

d I ABC d S ABC 

vì 2    2 2 2 2

Từ  1 và  2 suy ra 3 3

a

r

 . Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là 3 3

a

r

 .

Câu 2 [2H2-3.5-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hình chóp S ABC. có SAABC,

2

SA a và �ACB30 0 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là a. Tính độ dài cạnh AB.

A

3 2

a

AB

B AB a 6. C

2 2

a

AB

6 2

a

AB

Lời giải

Tác giả:Trần Quốc Khang Fb:Bi Trần

Chọn C

Cách 1:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và M là trung điểm SA

Trong mpSAO

, dựng đường thẳng d qua O, //d SA và đường trung trực Mx của SA Mx cắt d tại I Vì SAABC �d ABC

mà d qua O nên đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC.

Ta có

I d IA IB IC

I Mx IS IA

 

�

�

� I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. Theo giả thiết ta có SI  R a.

Tứ giác OAMI có ) � )

90

O M   � nên A OAMI là hình chữ nhật�MI OA R  1, với R là 1

bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.

SMI

 vuông tại M :

2

1

4

SA

SI SM MI  R 2 2

1

a a

R  a  

�

ABC

sin

R AB ACB

Cách 2:

Áp dụng công thức tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC trong trường c

hợp SAABC , ta có:  2 2  

1 2

đáy c

SA

� � với R đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Từ  1

ta có  2 2 2 2 2 2

đá y c

R  R � �� � a  

� �

Suy ra

đáy

Câu 3 [2H2-3.5-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có CD a 2 , ABC là tam

giác đều cạnh a , ACD vuông tại A Mặt phẳng BCD vuông góc với mặt phẳng  ABD.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A

3

4 3

a



B

3

6

a



C 4a3. D

3 3 2

a



Lờigiải

Tácgiả: Lê Cảnh Dương; FB: Cảnh Dương Lê

Chọn A

Tam giác ACD vuông tại A có AC a CD a ,  2�AD a , suy ra tam giác ABD cân tại

A.

Gọi H là trung điểm của BD, khi đó AH BD Mặt khác ABD  BCD�AH BCD

1 2

vuông tại C �BD a 3, đồng thời

AH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và 2.

a

AH 

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Khi đó, IA IB ID  và

I�AH �IB IC ID 

Suy ra IA IB IC ID   . Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính

R IA cũng đồng thời là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Ta có

3

2

ABD

AB AD BD a a a

a

Vậy

3 /

4 3

k c

a

V  