DS c3 TICH PHAN

Câu 33.Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân.. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm được 0 điểm.. Câu 68.Một

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

[ ; ].a b Hiệu số F b( ) F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

trên đoạn [ ; ]a b của hàm số f x( ),kí hiệu là ( )

b a

f x dx F x F b F a

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )

b a

f x dx

b a

S�f x dx

2 Tính chất của tích phân

a a

I

(1 )

dx x





1 0

I

1

x dx x





1 0

2 9 I

3

x dx x

I 4

x dx x

I �2x x 1 dx.3)

1

0

16 0

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x ( ) có đạo hàm liên

tục trên đoạn [ ; ]a b và  �u x( ) �. Giả sử có thể viết f x( ) g u x u x x( ( )) '( ), � [ ; ],a b

với g liên tục trên đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( ) ( )

u b b

1

I �x x  dx 2)

1 3 0

dx I

1 Có f x( ) t f x( ) 3 3

x dx I

e xdx I

x dx I

0 2 1

x dx I

1

I �x dx b)

1 2

0 1

dx I

IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u u x ( ) và v v x ( ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên

 

cos kx

P(x): Đa thức Q(x): e kx

* u P x ( )

* dv là Phần

còn lại củabiểu thức dướidấu tích phân

du dx x x v

.sin 2

( 1) x

I �x e dx

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k tùy ý Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

x d

Câu 11. Tích phân

1

0 2

e dx e

3 3

Câu 16.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 17.Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý Trong các khẳng

định sau, khẳng định nào sai?

f x dx

f x dx

tích phân dưới đây?

Câu 21.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b , sao cho ; ( ) 0

D Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn  1;5 thì    

5 3 5

2

1 1

( )( )

2 5

III  

2 2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III.

I về dạng nào sau đây

A

4

0

21

21

21

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng.

Câu 33.Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

2 1

 

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm.

Câu 34.Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b Gọi F và G lần lượt

luôn đúng?

b a

Câu 36.Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k bất kỳ trong �.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

Câu 39.Cho số thực a thỏa mãn 1 2

1

1

a x

x d

Câu 49.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] Nếu

Câu 51.Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 52.Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

f x dx

f x dx

x

e dx

Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

2

1 1

( )( )

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III.

I về dạng nào sau đây

A

1

1 2

21

21

Câu 64.Cho hàm số y f x( ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức

sau, bất đẳng thức nào luôn đúng?

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng.

Câu 68.Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

0

2 1

 

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm.

Câu 69.Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn

A ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b a

F x g x dx F x G x  f x G x dx

của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở

trên, biến đổi nào là sai?

I �u du B

0 2 1

1 ( 1)2

t dt t



5 1

( 1)t dt t



4 1

1 ( 1)2

t dt t



4 1

3 ( 1)2

t dt t



Câu 82.Tích phân

4 3 4 1

Câu 83.Cho hai tích phân

2 3 0

3ke dx x

2 3 2 0

e e

1 1

e e

x  x x �x dx.

C 2

1 1

e e

1 1

e e

x x �x  x dx.

2 2 0

2

2 3 1

2

3 2 1

x x

dx x

Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên � thỏa ( ) f x   f( x) 2 2cos 2 x , với mọi x ��.

Giá trị của tích phân

2 0

11

01

dx I

dx I

Câu 109. Tích phân

1

2 3 0

1

I x x dx



x dx

1

x

dx x

101 0

sin(sin + cos )

xdx



e e

� �. C 2ln 1

e e

22ln

1

e e

Câu 142. Giá trị của tích phân

e

e

dx I

A B

A B

A B

A B

Câu 152. Giá trị của tích phân 2 2

0

a dx

Câu 154. Cho

1 2

1

x

dt I

1ln(sin )sin

ln 22

3 32ln

2 2

3 22ln

Câu 161. Cho hàm số 2

sin 2( )



2ln1

a a



a a



2ln

a a

Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b và có đạo hàm liên tục trên a b; ,

x x





� có dạng I aln 3bln 5( ,a b�� )Khi đó a2ab3b2 có giá trị là

Câu 168. Với n �,n 1, tích phân 2 

b

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp

án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ



1

1 0 0

22

x xdx 

1 1

2 1

2 2

là đáp án của bài toán

Kết quả

5

2

5ln2

x d

2

3

1

ln 32

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

e dx e

3 3

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b có một nguyên hàm là hàm F trên

D Hàm số G cho bởi ( ) G x F x( ) 5 cũng thỏa mãn ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b G a

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý Trong các khẳng

định sau, khẳng định nào sai?

a

f x dx

f x dx

Các công thức

( )( )

a

f x dx

f x dx

tích phân dưới đây?

x

e dx

Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b , sao cho ; ( ) 0

B Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

2

1 1

( )( )

2 5

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên � và hai số thực a b Nếu ( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể

thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ ( )f x  với x x�[0;1] Khi đó

1( )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III Hướng dẫn giải

1 1

I về dạng nào sau đây

A

4

0

21

21

21

Vậy trong bài này ta chọn

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một

hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] và tính toán Ví dụ ( )f x  với x x�[ 2; 2] Khi đó

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t  (x 1)2 với  � � thì không suy ra 2 x 1 t   được, vì x 1 x có thể1

bị âm khi 2 x� � 1

Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

0

2 1

 

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b Gọi F và G lần lượt

luôn đúng?

b a

đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả

Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k bất kỳ trong �

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được:



1 1

2 1

2 2

Phép tính Kết

quả

Phép tính

Kết quả

5

2

5ln2

x d

2

3

1

ln 32

Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b có một nguyên hàm là hàm F trên

Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

f x dx

f x dx

a

f x dx

f x dx

Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng (Chỉ tính đến khinhận được kết quả đúng thì dừng lại):

x

e dx

Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , luôn có

2

1 1

( )( )

Câu 57 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể

thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ ( )f x  với x x�[0;1] Khi đó

1( )

III  

2 2

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

Hướng dẫn giải

1 1

I về dạng nào sau đây

A

1

1 2

21

21

Câu 64. Cho hàm số y f x( ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức

sau, bất đẳng thức nào luôn đúng?

Ta thấy (1x)x � với mọi 1 x�[0;1] nên

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một

hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] và tính toán Ví dụ ( )f x  với x x�[ 2; 2] Khi đó

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng.

Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải

đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyênhàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

0

2 1

 

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn Cách tính đúng là:

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên

b a

được kết quả như hình bên Loại được đáp án

F x g x dx F x G x  f x G x dx

của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở

trên, biến đổi nào là sai?

xe dx xe  e dx

 

2 1

I �u du B.

0 2 1

e

x dx x

(1 25ln 2 16ln 3)7x 12

x dx

I �x dxcó giá trị là:

1 ( 1)2

t dt t



5 1

( 1)t dt t



4 1

1 ( 1)2

t dt t



4 1

3 ( 1)2

t dt t

3ke dx x

2 3 2 0

Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

1

e e

x x �x  x dx Hướng dẫn giải

2 2 2 2

2 0

3 0

1

ln 28

3cos

2

2 2 0

2

2 3 1

2

3 2 1

1 1

1 3

1 2

549

5494

x x

dx x

x x

dx x

Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên � thỏa ( ) f x   f( x) 2 2cos 2 x , với mọi x ��.

Giá trị của tích phân

2 0

11

01

dx I

dx I

2 2 12

Hướng dẫn giải

Đặt t 3 x1�t3  x 1�dx3t dt2

3 3 0

Câu 117. Giá trị của tích phân 1 5

0

2x1 dx

x dx

1

x

dx x

x Đổi

101 0



Câu 130. Giá trị của tích phân

sin(sin + cos )

tan

22

4

x dx

Câu 134. Giá trị của tích phân 2 4 4 6 6

Ta có: (sin4xcos )(sin4x 6 xcos )6 x 33 7 cos 4 3 cos8

sin 43

t t

n n

e e

� �. C 2ln 1

e e

22ln

1

e e

3 2

e

e

dx I

3 2 0

A B

A B

A B

A B

Hướng dẫn giải

Đặt tsinx�dt cosxdx Đổi cận :

1

x

dt I

1ln(sin )sin

2

6

2 2

Câu 156. Giá trị của tích phân 2  2

ln 22

ln 2 02

dx x

3 32ln

2 2

3 22ln

2 3

Hướng dẫn giải

4 2

1

3 2

Hướng dẫn giải

0 0

0 0

2ln1

a a



a a



2ln

a a

Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b và có đạo hàm liên tục trên a b; ,

x x





� có dạng I aln 3bln 5( ,a b�� )Khi đó a2ab3b2 có giá trị là

Câu 168. Với n �,n 1, tích phân 2 