CHUYEN DE TICH PHAN- DS 12

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần... Hãy so sánh diện tích ∆MAB và diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và d ;axOx xy:C a 2

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒dt=u'(x)dx

 I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx

Hay

∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ∫x sin xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 +5)sinxdx

1 3

0(x +x x dx)

2

1( x+1)(x− x+1)dx

2

1(x +x x+ x dx)

2 3 3 6

x dx x

cos sin

π

π

2 0

tgx dx x

cos

dx 4x + 8x

3

x x 0

1

1

2( x x dx 25 ∫2 − −

0

3

22

∫2 −

1 3

2 2

dx x

1

1

dx x

1 2 0

x −x dx

2

3 1

1(1 3 )+ x dx

π+

x −x dx

2

3 1

+

∫ 39

21 ln2ln

e

e

x dx

2

x dx x

+

∫ 57 e x dx

∫

− +

x dx(2x 1)+

∫ 60

1

0

x dx2x 1+

x +2x 1+

2 0

1 sin 2xdxcos x

π+

0cos 2xdx

π

dx x x

73 ∫2 +

02cos3 1

3sin

π

dx x

x 74.

∫ −

2

05 2sincos

π

dx x

2 2

π

0cos xdx

π

2 0

sin 4x dx

1 cos x

π+

π

+

4 0

1 dxcos x

π

++

π

dx x x

π

dx x

x 93.∫3

42sin

)ln(

(

π

dx x

π

dx x

π

dx x

π

xdx x

1

lnln3

sin21

π

dx x

1 dx

4 x−

1 2 0

2 0

2 2

1(1 x dx)

x

−+

2

2 2 3

π+

π+

x

x 120. 8

2 3

3 0

2

2 3 0

Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b a

ax

ax

f x cosax dx e

β α

∫ Đặt ln( )

( )

( )

dx du

x

u x e

dx dv

01

dx x

=+

∫ bằng phương pháp đổi biến sốTính I2 =

2 2

0 (1 )

x dx x

+

∫ bằng phương pháp từng phần : đặt

2 2(1 )

ln( 1)

1ln

ln( 1)

1ln

π

xdx

x 4)∫2

02sin

π

xdx

x

( 7) ∫3

1

.ln

4x x dx 8)∫1 +

0

2).3ln(

e sin xdx

∫ 16)

2

0sin xdx

x sin xdxcos x

π+

0xsin x cos xdx

e

2 1

(x ln x) dx

∫ 24)2

xtg xdx

0

2)2(x e x dx 28) 1∫ +

0

2)1ln( x dx x

π

xdx x

0

)1ln(

)72( x x dx 32) ∫3 −

1

dx x

x x

x

x x

∫ +++

1

0 2

3

11

2(

1

dx x

1

2008

2008)1

(

1

dx x

−

0

1 2

2 3

23

9962

dx x

x

x x x

3 2

)1

2

)23(

3

dx x

x x

x

12 ∫2 +

1

4)1(

1

dx x x

1 x dx

x

x x

2 3

2

23

333

dx x

x

x x

19 ∫2 +−

1 4

21

1

dx x

x

20 ∫1 +

0 31

1

dx x

21.∫1 + ++ +

0

6

4 5

6

1

2

dx x

x x

x

22 ∫1 +−

0 2

41

2

dx x

x

23 ∫1 ++

0 6

41

1

dx x

x

24

1 2 0

2

dx x x

1

0

23

32

x

x x

∫

− − − + 

++

0

1

2

1211

1

0

2

11

22

0

2 4x 3

x dx

π

dx x

π

dx x x

x

3sin1

π

π

dx x

0

4 4 10

(sin

π

dx x x x

π

dx x

x 12 ∫3

6

4 cossin

x x

∫2 +

01 coscos

π

dx x x

∫2 +

0 2 sinsin

π

dx x

∫2 +

0

3cos1cos

π

dx x

19 ∫2 −

3

2)cos

1cossin

π

π

dx x x

x x

21 ∫4

0 3

cos

π

π

x x

dx

26 ∫2 ++ ++

0 4sin 5cos 5

6cos7sin

π

dx x x

x x

sin4

π

dx x

x 30

∫2 + ++

2sin2cos1

π

dx x x

x x

4

sin2sin

3cossin

π

dx x

π

dx x x

π

π

dx xtgx

x x

37 ∫2 + +

01 sin cos

π

x x

4sin

π

dx

π

x x

2cossin

6

ππ

2sin

51 ∫2 +

0

1 2

π

53 ∫4 +

6

2cot

4sin3sin

π

π

dx x g tgx

x x

π

x x

)ln(sin

π π

dx x

x

57 ∫2 x− x dx

0

2cos)12(

π

xdx x

0

)1ln(

π

dx tgx

63 ∫4 +

0

2)cos2

(sin

π

x x

0

2 )cos2)(

sin1(

cos)sin1(

π

dx x x

R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:

+) R(x,

x a

x a

+

− ) Đặt x = a cos2t, t ]

2

;0[ π

∈

+) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin hoặc x = t a cos t+) R(x, n

d cx

b ax

+

+ ) Đặt t = n

d cx

b ax

++

+) R(x, f(x)) =

γβ

∈

+) R(n 1 n 2 n i )

x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)

Đặt x = tkBài tập vận dụng

sin

π

dx x x

π

dx x

dx x

23 ∫7 + +

2 2x 1 1

dx x x

29 ∫1 − −

4

5

2 84

12x x dx 30.∫e + dx

x

x x

1

lnln3

dx x x x

1 x dx

x x

33 ∫

−

++

2

1ln

ln

dx x x

32cos

2cos

π

dx x

tgx x

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫ =∫ + −

−

a a

a

dx x f x f dx x f

0

)]

()([)

3π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =

x

2cos2

Tính: ∫

−

2 3

2 3)(

π

π

dx x f

sin

dx x

x x

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫

−

a a

dx x

f( ) = 0

Ví dụ: Tính: ∫

−

++

1

1

2)1

−

++

2

2

2)1ln(

cos

π

π

dx x x

x

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫

−

a a

dx x

f( ) = 2∫a f x dx

0)(

a

b

x f

0)(1

)(

π

π

dx e

x x x

(sin

π π

dx x f x f

Ví dụ: Tính ∫2 +

0

2009 2009

2009cossin

sin

π

dx x x

x

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: π∫ =π ∫π

0 0

)(sin2

)(sinx dx f x dx xf

x x

f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx=∫b f x dx

0 0

)()

(

Ví dụ: Tính ∫π +

0

2cos1

sin

dx x

x x

0

)1ln(

4sin

π

dx tgx x

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

a∫+T =∫T

a

dx x f dx x f

0)()

0 0

)()

(

Ví dụ: Tính 2008∫π −

0

2cos

Các bài tập áp dụng:

x x x x

2 1

)1

1ln(

dx x

−

2

2sin

π

π

dx x

3

4

2sin

04

cos

π

π

dx x x

2 2 2 1

Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π

Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π

Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x

và phía dới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi

y

x o

x x y

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần

Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi

=

4 2

4

2 2

1

1

32

a

ax a y

a

a ax x

2:)(

:)(

Ox

x y

d

x y C

2:)(

:)(

x

y d

e y

−

−

=

03

42

2

y x

x y

=

0

02

y

y x

x y

22

y y x y

x y

y x y

,1

0,

1

2 2

42

542

−

=

−+

−

=

153

34

562 2

x y

x x y

x x y

x y

0

1

/

/1/ 2

x y

2

3 26)

3 2

y

x x y

222 2

y

x x y

x x y

2

x y

x y

x x

y

;03

cos2sin

=

0

23

y

x x

x

y

x x

63

222 2

x x

x x y

x x y

y

x x y

y

x x y

x

y

x x

x y

x x y

y

x x y

6 2 2

x x

x x

x y

/sin/

x y

x y

=

0

0122

22

y

y x

x y

2



a

x a x y

x

x y

x

y x

442

2

x y

x y

21

;0

4 y x

x y

x x

=

16

62 2

2

y x

x y

x y

x y

27272 2

x y

4

)4(2

3 2

10

1

0

/log

/

x x

y

x y

y ax

x

x x y

x y

2

)1(827

2

x y

x y

43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất

−

=

0

34

2 2 3

y

x x x

y

=π

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y= x;y 2 x;y 0= − =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2 +2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2

1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1+x3) ; y = 0 ; x = 1

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

)(C y= f x

b

y=

a

y=

x x y

;1

0

ln quay quanh trôc a) 0x;

)0(2

y

x y

x x y

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

x

quay quanh trôc a) 0x;

8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): 1

49

2 2

=+ y

x quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

;1

0

x x

y

;2

x y

310

2 quay quanh trôc 0x;

13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

x x x

y quay quanh trôc 0x;

y x

y

x y

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

; a x

) x ( g y : ) ' C (

) x ( y : ) C (

a

dx ) x ( g ) x (

1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) (C): y = 3x4 – 4x2 + 5 ; Ox ; x = 1; x = 2

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2;x = 4

b)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 0;x = – 1

5.Cho (P): y = x2.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và có hệ số góc

là k.Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất

6.Lập phương trình parabol (P) biết rằng (P) có đỉnh là S(1;2) và hình phẳng giới hạn bởi (P), Ox, x = – 1,

x = 2 có diện tích bằng 15

7.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): y = (x – 3a)2 với a > 0 , y = 0, x = 0.Lập phương trình

8.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường : y = , y = 0, x = – 1.Lập phương trình các đường thẳng đi

qua điểm O chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau

9.Cho M là điểm tuỳ ý trên (P): y = 2x2 ,(d) là đường thẳng song song với tiếp tuyến của (P) tại M và (d) cắt (P) tại A và B Hãy so sánh diện tích ∆MAB và diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)

;axOx

)x(y:)C(

a

2dx.)x(

1.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:

a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = π/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = π/4

2.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:

d)y = ; y = – x + 5 e)y = 2x ; y = – x +3 ; y = 0

3 Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) có hệ số góc k < 0 ,(d) lần lượt cắt Ox và Oy tại A và B.

a)Tính thể tích vật thể tròn xoay do tam giác OAB tạo thành khi quay quanh Ox

b)Tìm k để thể tích ấy nhỏ nhất

1 dx

e + 4

1

1 dx

1 e − −

x 0

e dx

7 3 3 0

x 1

dx 3x 1

+ +

1 dx

1 dx

x x + 4

0

x dx

x 1

.ln xdx x

+

2 1

0

x

dx (x 1) x 1 + +

∫

79/I =e

1

1 3ln x ln x

dx x

2

e 1

ln x dx

ln x

2

2 1

x ln(x + 1)dx

3 2 3

1 dx

ln(sin x)

dx cos x

1 dx

x − 1

1

x 1 dx x

2 0

x e

dx (x 2) +

e

ln x

dx (x 1) +

1

ln x

dx I 2 x

π

0

1 dx cos x

π

π

−

− +

0

cos x

dx sin x cos x 1

x (x 1) +

1

3 3

1

dx 4x x −

151/I =

1

x 0

1 dx

2 0

x e

dx (x 2) +

x ln x dx

1 e 2 1

ln x dx

e 1

∫ 177/I =

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) +

∫ 178/I =

1 2 0

x 1

dx x

+

2 0

sin x

dx cos x

e + e

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) +

π π

sin x.cos x

dx cos x 1

π

+

1 2 2 0

π

+

4 2 1

1 dx

x (x 1) +

∫

x 1

dx 3x 2

+ +

4

2 7

1 sin x

dx (1 cos x)e

π

− +

1 dx (4 x ) +

∫

261/I =

2 1

3 0

− +

2 0

sin x

dx cos x

2

1

dx (3 2x) 5 12x 4x

+ +

2 sin x

π

+

∫

294/I =2

0

1 dx

1 dx

3 e

2 x

2 0

2 0

t e

dt 1 (t 2) = +

2 4

tan x

dx cos x cos x 1

2

cos 2 sin 1

0 2

4 3 3

x 4

dx x

−

∫

2 2

π

2x 1 x 0

1 dx

e + 1

2 6

1

dx sin x cot gx

π π

∫

48/I =e 3 2

1

ln x 2 ln x

dx x

x 1

dx 3x 2

+ +

0

x sin dx 2

π

+

e 1

4

sin 2x dx

π π

x 1

x dx

1 2

2

4 0

1

1 dx

x (x 1) +

∫

128*/I =

0

2 2

sin 2x

dx (2 sin x)

0

x 3

dx (x 1)(x 3x 2)

2 0

sin x

dx (sin x 3)

π

+

3 3

π π

3e e

dx

1 e

+ +

4

2 7

π

+

1 0

1 dx

3 2 0

x 2x

dx

x 1

+ +

∫

196/I =3

2 4

tgx

dx cos x 1 cos x

π

2 1

2 0

x dx

4 x −

0

x dx

4 x −

∫

214/I =

1

4 2

π

+

2 2 2

2 0

x dx

1 x −

2 2

4 1

1 x

dx

1 x

− +

1 x +

x 0

1 e

dx

1 e

− +

x 1

dx

x 1

+ +

cos x

dx cos x 1

π

+

7 3 3 0

x 1

dx 3x 1

+ +

0

sin 2x sin x

dx cos3x 1

π

+ +

π

+

2 3 2

2 0

x dx

1 x −

2 3 2

2 0

x dx

1 x −

∫

246/I =

2 1

2 2

2

1 x

dx x

−

2 1

2 0

x dx

4 x −

2

2 2

3

1 dx

3 0

x 1

dx 3x 2

+ +

+ +

∫

267/I =2

2 0

sin x

dx cos x 3

π

+ +

1

1 x 3 a

e dx x

1

2 0

0

x

dx (x + 1)

0

3 dx

x + 1

4 1 6 0

x 1

dx

x 1

+ +

0

x dx (2x 1) +

2 1

2

1 dx

x 1 x −

2

2 2

3

1 dx

x x − 1

∫

296/I = 7 3

0

x dx

1 x +

2

3 1

1 dx

x 1 x +

3 1

2 0

cos x

dx (1 cos x)

cotg x dx

π π

4

tg x dx

π π

0

1 dx

π

− +

∫

328*/I =

1

3 1

2

x dx

x + 1

4 1

x x

dx x