CHUYÊN đề ôn TOÁN THPT HAY NHẤT và mới NHẤT

Kết quả của nguyên hàm là một biểu thức nhưng kết quả của tích phân là một số cụ thể.. Phương pháp làm của cả nguyên hàm và tích phân gần như là giống nhau, chỉ khác ở một vài trường hợp

Trang 1

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

I GIỚI THIỆU:

+ Nguyên hàm :  f x dx 

Nguyên hàm là phép toán ngược lại với đạo hàm

Ví dụ: Đạo hàm của  3

'

x là 3x2 ngược lại 3x2 nguyên hàm ra  3

'

x

Trong chương nguyên hàm sẽ chia thành 7 dạng bài tiêu biểu nhưng khác với chương hàm số và chương loga

Ví dụ chương hàm số:

- Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị

- Bài 2 : Tính đơn điệu của hàm số

- Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

- Bài 4 : Tương giao

- Bài 5 : Cực trị……

Trong chương hàm số các bài không liên quan đến nhau, có thể làm và học từng phần riêng rẽ

Nhưng với nguyên hàm thì phải học lần lượt từng dạng bài

+ Tích phân :   x

b

a

f x d

 Tích phân khác nguyên hàm ở chỗ có thêm hai cận a và b

Kết quả của nguyên hàm là một biểu thức nhưng kết quả của tích phân là một số cụ thể Phương pháp làm của

cả nguyên hàm và tích phân gần như là giống nhau, chỉ khác ở một vài trường hợp

+) Ứng dụng:

- HẾT -

BÀI GIẢNG: GIỚI THIỆU NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM

Trang 2

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

I CÔNG THỨC:

1





x  x

(3) 1dx ln x C

 (4) e dx x  e x C

3

x  x  x dx x dx x C

+ Ta có:  3 2 2

x  x  x  x

3 12 3 12 1 4 1

4

 

 

Tổng quát:

+) k f x dx   k f x dx 

+) f x g x dx  = f x dx  g x dx 

Ví dụ 1: Tính

a) x dx3 b) x dx5 c) 13 dx

x

 d)  xdx e) xdx

Giải

a) x dx3 = 1

4

x + C

b) 5 1

6

x dx

x + C

c) 13dx

x

 = x dx 3 = 1

2

x  + C = 1 1 2

2 x

 + C

d)

1 2

xdx x dx

  = 1

3 2

x + C = 2 3

3 x + C

2

xdx

x + C

BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Trang 3

Ví dụ 2

a) x33x2 1dx b) 3 2

2

3 4

x

 c) (x2)2dx d) x2 x 33 dx

x

  



Giải

a)  3 2 

x  x  dx

3

4x  3x  x C

b) 3 2

2

3

4

x

2

5 3

x dx x  x dx x  x  xC

d) x2 x 33 dx

x

  

4

x



II CÔNG THỨC HÀM HỢP

(1)  axbdx = 1   1 1

1 ax b a





(2)

dx ax b a



(3) 1 1.ln





(4) e ax b dx e ax b.1 C

a



Ví dụ 3 Tính nguyên hàm sau:

a) (2x1)4dx b)

3

1 2

x dx

  

1

4 1

dx

x

d)  32xdx e) 1

2 1x dx

 f) e 1 x dx

Giải

(2 1) 2 1



b)

3

1

2

x

dx

  

1 2

x

C

    

c)

4 1 4





Trang 4

e) 1

2 1x dx

 = 1ln 2 1

2 x C

1

e dxe  C



Ví dụ 4 Tìm hàm số f x  biết:

a) f ' x 2x1 và f  1 5 b) f ' x 4 xx và f  4 0

c)   3 5 2

f x

x



 và f e 1 d) f ' x ax b2

x

  và f   1 2, f  1 4, f ' 1 0

Giải

2

     

Vậy   2

3

f x x  x

2 2

 

2

3 5

) '

2

x

c f x

x





Mà f e 1

 

x

f x







Trang 5

 

2

1

5

2

a

b

c



 



 



Vậy   1 2 1 5

x

Trang 6

I Lý Thuyết

Nguyên hàm có dạng: I  f x dx 

+) Tác dụng: Phương pháp đổi biến có tác dụng đưa nguyên hàm từ dạng dài dòng phức tạp thành nguyên hàm

đơn giản hơn nhiều (các dạng trong SGK hoặc những dạng dễ mà đã học)

+) Phương pháp chung:

Bước 1: Đặt f x t

Bước 2: Vi phân cả 2 vế: f ' x dxdt

Bước 3: Thay (Bước 1) và (Bước 2) vào đề bài

 Làm 1 nguyên hàm mới đơn giản hơn

Chú ý:

Một số công thức tính đạo hàm hay gặp:

(1) sinx'cosx

(2) cosx' sinx

(3)   12

tan '

cos

x

(4)   12

cot '

sin

x

(5)  e x 'e x (6)   1

lnx '

x

Ví dụ 1 Tính nguyên hàm sau:

a) I 2 (x x21)4dx b) I sin cosx 3xdx c) ln x dx

x



Giải

x  t B  xdxdt B

1

b) Đặt cosxt B 1  sinxdx dt  B2

 

cos

BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

CƠ BẢN (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Trang 7

lnx t B1 dx dt B2

x

ln

Ví dụ 2 Tính nguyên hàm:

( 1)

x

dx

x 

 b) 2 2

x

e dx

e  e 

 c) 2 1 2

cos x(tanx3) dx



Giải

x  t B  xdxdt B

dt

 



 

b) Biến đổi ta có:

2

dx

Đặt e x 1 t  B1 e dx x dt  B2

2

1

x

 

       



 



cos

x

2

tan 3





Ví dụ 3 Tính nguyên hàm:

a) 2

x

dx

x 

 b) ∫

Giải

a) Đặt 3x2  2 t 6xdxdt

2

dt

b) Biến đổi ta được: tan s in x

cos

x



Đặt cosx  t sinxdxdt

1

t



Trang 8

* Nguyên hàm chứa căn

Chú ý:

+) Thường đặt căn = t (C1)

+) Đổi biến lượng giác hóa (C2)

+) Phương pháp đổi biến:

B1: Đặt f x( ) t

B2: Lũy thừa 2 vế => vi phân

B3: Thay B1 và B2 vào đề bài

Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:

a) 3x2 x31dx b) x 2x dx2 c) ln

ln 1

x dx



sin 2x cosxdx

 e)

2

1

x

e dx

e 



Giải

3

t

2x   t 2 x   t 2xdx2tdt xdxtdt

3

x t

c) Đặt lnx 1 t lnx 1 t2 lnx t2 1 1dx 2tdt

x

2 3

1

3

ln 1

3

t

x

BÀI GIẢNG: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN

(TIẾT 2) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 9

cosx  t cosx  t sin xdx3t dt

3 7

x t

2 3

1

3

x

t

e



Ví dụ 2 Tính nguyên hàm

a) x 3 2x dx2 b)

2

3ln

ln 1

x





 c) sin 2 s inx

1 3cos

x

dx x





d) 4 1

x

dx x



 

 e)

2

4

dx

x x 



Giải

2x   t 2 x  t x    2 t 2xdx3t dt

3

C

b) Biến đổi ta có: 2 2 3ln 2 3ln

Đặt

2

x

A xdx  C x C

3ln

ln 1

x







lnx 1 t t lnx 1 2tdt dx

x

2

3 3

3 2

3

t



Trang 10

c) Đặt 1 3cos x  t 1 3cosx  t2 3sinx2tdt

2

1

t

   

2x  1 t 2x  1 t 2x t 1

2

2x  1 t 2dx2tdtdxtdt

3

2

14

2

3

t



1

t





- HẾT -

Trang 11

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

* Chứa căn (Lượng giác)

a x dx

  Đặt x = a sint

 a2x dx2  Đặt x = a tant

 x2a dx2  Đặt x =

sin

a t

Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:

a)  1 x dx 2 b)  3 2x x dx2 c)

2

1 4

dx x





d) x2 1x dx2 e)

2

1 1

dx

x 



Giải

a) Đặt xsint t arcsinxdxcostdt

2

( sin 2 ) (arcsin sin 2 arcsin )

b) Biến đổi: I  3 2 xx dx2 =  4 (1 2  xx dx2)  4 ( x 1)2dx

Đặt x + 1 = 2sin t arcsin 1 2cos

2

x

2

1

2

1

2

4 2sin 2cos 2 cos 2cos 4 cos cos

1

2 1

2 cos 0

cos 0







c) Đặt x = 2sin t => t = arcsin 2 cos

2

x

BÀI GIẢNG: TÍNH NGHUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

CƠ BẢN (TIẾT 3) – PHẦN 1 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 12

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!

2 cos

2

t

x



d) Đặt xsint ta có : dxcostdt

sin 1 sin cos sin cos cos

1: cos 0

1

4

sin 4

8 32

t





2

2 : cos 0

1

4

1 cos 2

sin 4

8 32

t





e) Đặt xtant

2

1

cos

t

2

1

tan 1

cos

t





Đặt sin t = u cos tdtdu

2

Trang 13

*Một số nguyên hàm đổi biến tiêu biểu

1) ln 2

ln

x

dx





 4)

2

1 2

x

dx e

 





2)

1

x

dx

e 

 5) sin ( 1) cos

sin cos

dx

 





3)

2

sin 2

cosx 4sin

x dx

 6)

sin( ) 4 sin 2 2(1 sin x cos )

x

dx

 



Giải

1) Ta có: ln 2

ln

x dx





 = 1 ln.( 2)

ln 1

x dx







Đặt lnx 1 t lnx t 1 1 dx dt

x

t



2) Ta có:

x

dx

e  t e dxdt

x

e

3) Ta có:

sin 2 cos 4sin

x dx



3sin x  1 t 3sin x  1 t 3sin 2xdx 2tdt

2

3sin 1

t dt

t

4) Ta có:

2

1 2

x

dx e

 



2

(1 2 )

e  t e dxdt

BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN

(TIẾT 3) – PHẦN 2 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 14

3

1

ln 2 1

x

x x

x

e

x

5) sin ( 1) cos

sin cos

dx

 



sin cos

dx



 =  sin cos  cos

sin cos

dx





1 cos

sin cos

dx



sin cos





Đặt xsinxcosx t sinxxcosx sinxdx dt xcosxdx dt

ln sin cos

dt

t



6) Ta có:

sin 2 2 1 sin x cos 2sin cos 2 1 sin x cos

2 1 2sin cos 2 sin cos

=>

2 cos sin

2 cos sin 2

4

Đặt sinxcosx t cosxsinxdxdt

2

 

 

- HẾT -

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	2,71 MB