Chứng minh rằng:... Bài tập mở rộng: ` Các BĐT sau đây chứng minh đc chỉ nhờ BĐT Trêbưsep!. Biết rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác.1
Trang 1Bất đẳng thức với góc nhìn Trêbưsep.
(Bài viết được đăng trên Tạp chí Thế giới Trong ta
Số CĐ 93+94 tháng 11+12 năm 2009)
A Bất đẳng thức Trêbưsep:
* Với hai dãy số cùng chiều a1, b1
a2, b2
Ta có: a1a2 + b1b2 ≥ 2( 1 1)( 2 2)
1
b a b
* Với hai dãy số cùng chiều a1, b1, c1
a2, b2, c2
Ta có: a1a2 + b1b2 + c1c2 ≥ ( 1 1)( 2 2)( 1 2)
3
1
c c b a b
Bất đẳng thức đổi chiều khi hai dãy số ngược chiều nhau!
Ví dụ 1: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: 2 2 2
2
+
≥
a
Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b.
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b
a ≥ b
Ta có:
a.a + b.b ≥ 12 (a + b)(a + b)
⇔ 2 2 ( )2
4
1
2 a b
b
a
+
≥ +
⇔ 22 2 2 2
+
≥ +b a b
a
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: a b
a
b b
a2 + 2 ≥ +
Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ⇒ a 2 ≥
b2
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b
a2 ≥ b 2
Ta có:
a.a2 + b.b2 ≥ 21 (a + b)(a2 + b2)
⇔ a3 + b3 ≥ 21 (a + b)2ab
a
b
b
a
+
≥
2
(đpcm)
Trang 2Ví dụ 3: Cho a + b + c ≥ 3 Chứng minh rằng: a 4 + b4 + c4 ≥ a 3 + b3 + c3
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ a3 ≥ b 3 ≥ c 3
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c
a3 ≥ b3 ≥ c 3
Ta có:
a.a3 + b.b3 + c.c3 ≥ 13 (a + b + c)(a3 + b3 + c3)
≥ 13 3.(a3 + b3 + c3) = (a3 + b3 + c3) (đpcm)
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức nesbit: ≥23
+
+ +
+
c a c
b c b a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ b c c a ≥ a+b
+
≥ +
1 1
1
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c
b c c a ≥ a+b
+
≥ +
1 1
1
Ta có:
(a b c)
b a
c a c
b c
b
a
+ +
≥ +
+ +
+
1
) 1 1
1 (
b a a c c
b+ + + + +
≥ (a+b+b+c+c+a)
2
1 3
1
) 1 1
1 (
b a a c c
b+ + + + +
≥ 9 23
2
1 3
1
Ví dụ 5: a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
− +
+
− +
+
−
c b a c
b a c b
a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ b c a c a b ≥ a+b−c
− +
≥
− +
1 1
1
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c
b c a c a b ≥ a+b−c
− +
≥
− +
1 1
1
Ta có:
(a b c)
c b a
c b a c
b a
c
b
− +
+
− +
+
−
1
) 1 1
1 (
c b a b a c a c
b+ − + + − + + −
= (b+c−a+c+a−b+a+b−c)
3
1
) 1 1
1 (
c b a b a c a c
b+ − + + − + + −
9 3
3
1
=
≥ (đpcm)
Ví dụ 6: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca ≥ 3 Chứng minh rằng:
Trang 3
2
3
3 3 3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c
+
+ +
+
c a c
b
c
b
a
(Chứng minh trên) Mặt khác: Vì a ≥ b ≥ c ⇒ a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 và b a c c b a ≥ a c+b
+
≥ +
Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a2 ≥ b 2 ≥ c 2
b a c c b a ≥ a+c b
+
≥ +
Ta có:
2 2 2 ( 2 2 2)
3
1
.
b a
c c a c
b b c
b
a
+
+ +
+
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
≥ ( )
2
3
3
1
ca bc
ab+ +
≥ 3 23 23
3
1 = (đpcm)
B Bài tập mở rộng:
`
(Các BĐT sau đây chứng minh đc chỉ nhờ BĐT Trêbưsep!)
1 Cho a, b, c > 0 và abc ≥ 1 Chứng minh rằng:
a)
2
3
2 2 2
≥ +
+ +
+
c a c
b c
b
a
b)
2
3
4 4 4
≥ +
+ +
+
c a c
b c
b
a
c)
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c
b
(n ∈ N)
2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a) mb a nc mc b na ma c nb≥m+n
+
+ +
+ +
3 (m, n ∈ N) b) a n b n a bn
+
≥
+
2
c) a n b n c n a b cn
+ +
≥ + +
3 3
3 Biết rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
2
1
3 −
−
+ +
≥
− +
+
− +
+
−
n n
n
c b a
c b a c
b a c
b
Mời các bạn tiếp tục khám phá và mở rộng!