1Bất đẳng thức Cô-si.. Chứng minh một số bất đẳng thức... 2.1c Chứng minh bất đẳng thức hình học: Để giải quyết tốt một bài toán về bất đẳng thức trong hình học, học sinh cần nắm vững k
Trang 11Bất đẳng thức Cô-si.
*Bất đẳng thức Cô-si :
Với n số không âm a1, a2, , an ( n ≥ 2), ta có:
n
n a 2 a 1
a n
n a 2
a 1
a
≥ + + +
(1)
Có đẳng thức khi và chỉ khi a1 = a2 = = an
( Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân
của chúng)
Chứng minh :
Đặt T =
n
n a 2
a 1
a + + +
Khi đó (1) ⇔ Tn ≥ a1a2 an (1*) *) Nếu a1 = a2 = = an thì (1*) trở thành đẳng thức
Tn = T.T .T = a1a2 an
*) Nếu a1, a2, , an là n số không bằng nhau tất cả thì có bất đẳng
thức Tn > a1a2 an (1**)
Ta chứng minh (1**) bằng qui nạp ( dành cho học sinh chuyên)
Với n = 2 : dễ thấy (1**) đúng , tức là :
2 a 1 a 2
a 1 a 2 T 2 a 1
+
=
⇒
≠
Giả sử (1**) đúng với n - 1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng bằng T Ta phải chứng minh (1**) đúng với n
Thật vậy, trong n số a1, a2, , an không bằng nhau tất cả phải có 1 số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử a1 và a2 : a1 < T < a2
Do đó ta có (T - a1)(a2 - T ) > 0
T 2 a 1
a T 2 a 1
a + − > ≥
Ta xét n - 1 số không âm a3, a4, an, (a1 + a2 - T), hiển nhiên n - 1 số không bằng nhau tất cả, và theo giả thiết qui nạp ta có:
Tn-1 > a3a4 an(a1 + a2 - T) > a3a4 an
T 2 a 1 a
Vậy Tn > a1a2 an
2.1 Chứng minh một số bất đẳng thức
2.1.a, Chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải tích:
Ví dụ 1: Với mọi n thuộc N*, chứng minh rằng n
2
1 n
+
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số tự nhiên khác 0 đầu tiên 1, 2, , n
ta có:
minh.
chứng
ược d (1 n!
n n
n
)
n 2
1 n
n ! 2
1 n
n ! n
) 1 n ( n
n !
n1.2.3 n n
n 2
1
≥
+
⇔
≥ +
⇔
≥ +
⇔
=
≥ + +
Dấu “ = “ xảy ra khi nào? ( trong bất đẳng thức Cô-si ) ⇒ Dấu “ =” trong (1)
xảy ra khi và chỉ khi n = 1
Ví dụ 2: Cho a > -1 , n ∈ N Chứng minh rằng : (1 + a )n ≥ 1 + na (2)
Hớng dẫn:
- Bất đẳng thức (2) đựôc gọi là bất đẳng thức Béc-nu-li
- Với a > -1, ta có 1 + a > 0
+) Nếu 1 + na ≤ 0, thì (2) hiển nhiên đúng
++) Nếu 1 + na > 0 , ta có (2) ⇔ 1 + a ≥ n1+na (2*)
So sánh (2*) với bất đẳng thức Cô-si , ta đợc điều gì ? (2*) có gần gũi với
Trang 2Bất đẳng thức Cô-si không ? từ n1+na → n1+na = n1.1 ..1(1+na) ( gồm
n-1 số 1 và 1 + na) → ta có lời giải tóm tắt sau:
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số gồm n-1 số 1 và số 1 + na ta có
na 1 n
) na 1 ( 1 1
1
+
≥
+ + + + +
1 số 1 -n
⇔ 1 + na ≥ n1+na , hay (1 + a )n ≥ 1 + na (2) đợc chứng minh
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1
Ví dụ 3: Cho dãy số (un), đợc xác định nh sau:
n
n
n n 1
n n
n n 1 n
Hớng dẫn:
Theo bất đẳng thức Cô-si , ta có:
n
n
n n 1 n
n
n n 1 1
n
1 1 1
+
>
+ +
−
+ + +
1 số
hay n
n
n n 1 2
n
n n
1 + > + (5*) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
n
n
n n 1 n
n
n n 1 1
n
1 1 1
−
>
− +
−
+ + +
1 số
hay n
n
n n 1 2
n
n n
1 − > − (5**) Cộng từng vế (5*) và (5**) có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng :
dãy số un = ( )n1
1 + n,( n = 1, 2, 3, ) là một dãy số tăng Nhận xét:
- Đây là dãy số quen thuộc với học sinh 11 Nh đã biết trong SGK Đại số
và Giải tích 11 : n 2 , 7182818284
n
1 1
n lim
+ +∞
→
chỉ đợc công nhận, không chứng minh Đây là một phát minh quan trọng của
Toán học ở cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17
H ớng dẫn :
- Ta có un = ( )n1
1 + n và un + 1 = + + +
1 n
1 1
1 n
- Dãy số (un) tăng khi un < un + 1, ∀ n = 1, 2,
- Chỉ cần chứng minh ( )n1
1 + n< + + +
1 n
1 1
1 n
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 1 số không đồng thời bằng nhau
nhau bằng
số n
n
1 1 , , n
1 1 , n
1 1 ,
ta đợc
n
1 1 n
1 1 n 1 1 n
+
>
+ + +
2
Trang 3hay
n
1 1 1 n 1 n
1 1 1
n
1 1 1
n
1
+
>
+
+ +
⇔
+
>
+ + Bài toán đợc chứng minh
L u ý : Nếu chứng minh un = ( )n1
1 + n,( n = 1, 2, 3, ) là dãy số bị chặn trên (un < 3, với n = 1, 2, ) thì un có giới hạn
Ví dụ 5: Cho a > 0, b > 0, c> 0 Chứng minh rằng :
a log 2 c
2 ab log 1 b a log
Giải :
Ta có 1 + loga b = logaa + loga b = logaab
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si : c
ab log 2 c 2 ab log
Do vậy:
1 + logab + 1 log2abc ≥ 2 loga ab logabc = 2 loga c ≥ 2 logac
Suy ra (7) đợc chứng minh Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a2 = b2 = c
2.1b) Chứng minh bất đẳng thức l ợng giác :
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
2
1 1 2 x cos 2 x sin 2
−
≥ +
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng trên, ta đợc :
2sin x +2cos x ≥2 2sin x + cos x
vì − 2 ≤ sin x + cos x ≤ 2 nên :
2
1 1 2 2 2 2 x cos x sin 2 2 x cos 2 x
sin
2
−
=
−
≥ +
≥ +
- Suy ra điều phải chứng minh
- Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi k 2 , k Z
4
5
x = − π+ π ∈
Ví dụ 7 Chứng minh rằng:
8
3 3 a 4 cos a 2 cos 8
3
− π
≤
H
ớng dẫn :
- Ta có :
3
2 2
2 2
) a sin a )(cos a sin a (cos 2 1
) a sin a )(cos a sin a (cos 2
1 a 4 cos a 2 cos
+
−
=
+
−
=
− π
- Đặt cosa - sina = x và cosa + sina = y ⇒ x2 + y2 = 2
- Khi đó (9) ⇔
8
3 3 3 xy 2
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2
1 3 y 3
1 3 y 3
1 3 3
1 2 x 4
1 3 y 2 x 27
1
=
suy ra dấu “ = “ xảy ra khi nào ? → (9) hoàn toàn đợc chứng minh
Ví dụ 8: Chứng minh rằng trong moi ∆ABC ta có:
≥
≥ +
+
2
A cos 2
C cos 2
C cos 2
B cos 2
B cos 2
A cos 2
C sin 2
B sin 2
A sin 8
C 2 sin B 2 sin A 2 sin
(10)
H ớng dẫn :
Trang 4- Đánh giá các giá trị của cos
2
A
cos
2
B
, cos
2
B
cos
2
C
, cos
2
C
cos
2
A → làm xuất hiện các giá trị nầy!
- Vì A, B, C là 3 góc của ∆ABC nên ta có sinAcotg
2
B
> 0, sinBcotg
2
A
> 0
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc:
2
B g cot B sin 2
A g cot A sin 2
2
A g cot B sin 2
B g cot A sin
≥ +
2
A g cot B sin 2
B g cot A sin 2
1 2
B cos 2
A cos
≤
Dấu “ = “ trong (10*) xảy ra ⇔ A = B
2
B g cot C sin 2
C g cot B sin 2
1 2
C cos 2
B cos
≤
Dấu “ = “ trong (10**) xảy ra ⇔ B = C
2
C g cot A sin 2
A g cot C sin 2
1 2
A cos 2
C cos
≤
Dấu “ = “ trong (10***) xảy ra ⇔ C = A
- Từ (10*), (10**),(10***) suy ra:
≥
+
+
+
2
A cos 2
C cos 2
C cos 2
B cos 2
B cos 2
A cos 4 2
B g cot 2
A g cot C
sin
2
A g cot 2
C g cot B sin 2
C g cot 2
B g cot A
sin
≥
≥ +
+
⇔
≥
≥
+ +
+ +
+
⇔
2
A cos 2
C cos 2
C cos 2
B cos 2
B cos 2
A cos 8
2
C sin 2
B sin 2
A sin
2
C sin 2
C cos 2 C sin 2
C sin 2
B sin 2
A sin
2
B sin 2
B cos 2 B sin 2
C sin 2
B sin 2
A sin
2
A sin 2
A cos 2 A
sin
2
A cos 2
C cos 2
C cos 2
B cos 2
B cos 2
A cos 4
2
B sin 2
A sin 2
B A sin C sin 2
A sin 2
C sin 2
A C sin B sin 2
C sin 2
B sin 2
C B sin A
sin
- Dấu “ = “ xảy ra khi nào? → Khi đồng thời (10*), (10**), (10***) có dấu bằng
Ví dụ 9: Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC ta luôn có:
) 11 ( 8
3 ) A sin C sin C sin B sin B sin A (sin 6 1
2
A sin 2
A sin 2
A sin 2
A sin 2
A sin 2
A sin
+ +
+
≤
≤ +
+
H
ớng dẫn :
- Trong mọi ∆ABC, ta có sinA, sinB, sinC,
2
A sin ,
2
B sin ,
2
C sin ,
2
A
tg ,
2
B
tg ,
2
C
tg đều là những số dơng
4
Trang 5- Đánh giá các giá trị
2
B sin 2
A
2
C sin 2
B
2
A sin 2
C
→ áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc:
2
B sin 2
A sin 2
B tg 2
A tg 8
3 B sin A sin 6
1
≥ +
) 2 11 ( 2
C sin 2
B sin 2
C tg 2
B tg 8
3 C sin B sin 6
) 3 11 ( 2
A sin 2
C sin 2
A tg 2
C tg 8
3 A sin C sin 6
1
≥ +
- Cộng từng vế (11.1), (11.2), (11.3) và chú ý đến
2
A tg 2
C tg 2
C tg 2
B tg 2
B tg 2
A
→ (11) đợc chứng minh
- Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi trong (11.1), (11.2), (11.3) đồng thời có dấu bằng
2.1c) Chứng minh bất đẳng thức hình học:
Để giải quyết tốt một bài toán về bất đẳng thức trong hình học, học sinh cần
nắm vững kiến thức về hình học, về độ dài đoạn thẳng Còn bất đẳng thức
Cô-si chỉ là công cụ hổ trợ để ta giải quyết bài toán này tốt hơn, không phải khi
gặp một bài toán về bất đẳng thức hình học là nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 10: Cho ∆ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi AA’, BB’, CC’ là ba trung
tuyến AA’, BB’, CC’ lần lợt cắt (O) tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:
AAAA' BBBB' CCCC' 49
1 1
1
≤ +
H ớng dẫn :
- Trớc tiên, ta phải xác định các tỉ số
1 1
1 CC
' CC , BB
' BB ,
AA
'
AA
? ( thờng theo độ dài các cạnh của ∆ABC) - lu ý AA’, BB’, CC’ là ba
trung tuyến
- Ta có:
2
2 c 2 b 4
2 a 2 a m 4
2 a C ' A '.
BA
1
AA
'.
Suy ra
2 c 2 b
2 a 2 c 2 2 b 2
1 1 AA '.
AA
2 ' AA
1
AA
'
AA
+
− +
=
=
- Lập luận tơng tự, ta đợc:
+
+ +
+ +
−
= +
b 2 a
2 c 2 a 2 c
2 b 2 c 2 b
2 a 2
1 3 1 CC ' CC 1
BB
'
BB
1
AA
'
AA
(*) áp dụng bất đẳng thức Cô-si , thì
2 23
b 2 a
2 c 2 a 2 c
2 b 2 c 2 b
2 a
≥ +
+ +
+ +
- Do đó từ (*) ⇒ (12) đợc chứng minh
Ví dụ 11: Cho 3 đờng tròn có chu vi C1, C2, C3 từng đôi một tiếp xúc ngoài tại
A, B, C Đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC có chu vi C Chứng minh rằng:
3
3 2 1
Trang 6H ớng dẫn :
* Trớc tiên, hớng dẫn học sinh biết
và xác định đợc các vấn đề sau:
Gọi O1, O2, O3 là tâm, còn R1, R2,
R3 là bán kính của 3 đờng tròn có chu vi
C1, C2, C3
→ đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC
là đờng tròn nội tiếp ∆O1O2O3 Gọi bán
kính đờng tròn thứ t nầy là r ⇒ r = S/p, S là diện tích ∆O1O2O3
và p là nữa chu vi của nó và p = R1+ R2+ R3
⇒ r =
3 2 1
3 2 1
R R R
R R R + + (13*)
* Nhận xét (13) và (13*), so sánh chúng với bất đẳng thức
Cô-si ?
→ áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc:
R1+ R2+ R3 ≥ 3 R1R2R3 (13**)
Từ (13*) và (13**) ⇒ 6
3 R 2 R 1 R 3
3 R 2 R 1
R
3
3 R 2
R
1
R
3
⇒ 3
3 R 2 R 1 R 3 8 3
r
3 2 1
(đpcm)
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi R1 = R2 = R3
Ví dụ 12: Cho tứ diện ABCD, một điểm M bất kỳ ở trong tứ diện Các đờng
thẳng AM, BM, CM, DM, cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của hình
chóp tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng:
' MD
MD ' MC
MC ' MB
MB ' MA
H
ớng dẫn :
* Xác định các tỉ số
' MD
MD , ' MC
MC , ' MB
MB , ' MA MA
- Gọi H, I lần lợt là hình chiếu của A, M lên mp(BCD)
→ H, I, A’ thẳng hàng
Gọi V, V1, V2, V3,, V4 lần lợt là thể của tứ diện ABCD, và các hình chóp có đỉnh M với các đáy
là các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC
BCD S MI 3 1
BCD S AH 3 1 MI
AH
'
HA
'
⇒
1 V
4 V 3 V 2 V 1
V 1 V V '
MA
=
−
=
Tơng tự, ta có
2 V
4 V 3 V 1 V 2
V 2 V V ' MB
=
−
=
* áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có:
6
3
V 2 V 1 V 3
V 3
V V ' MC
=
−
=
4
V 2 V 1 V 4
V 4
V V ' MD
=
−
=
Trang 7
2
3
4 3 1 1
3
4 3 2
V
V V V 3 ' MB
MB ,
V
V V V 3 ' MA
4
3
2 3 1 3
3
4 1 2
V
V V V 3 ' MD
MD ,
V
V V V 3 ' MC
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 13: Cho tứ diện OABC, có OA = a, BC = b, và α là góc tạo bởi OA và
BC Một điểm M tuỳ ý trên OB Mặt phẳng qua M song song với OA và BC,
cắt tứ diện OABC theo thiết diện có diện tích S Chứng minh rằng:
4
sin ab
H
ớng dẫn :
- Xác định thiết diện MNPQ, hình tính của thiết diện?
- Xác định góc α ? ( sinα =
- Xác định diện S = SMNPQ? (MN.NP.sinα ) (15*)
- Từ (15*) → ta nghĩ đến bất đẳng thức Cô-si
→ làm xuất hiện tổng MN + NP
- Theo định lý Talet, ta sẽ có ngay
1 b
NP a
MN hay , 1 BC
NP OA
MN
= +
= +
Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc
4
ab NP MN ab
NP MN 2 b
NP a
MN
- Khi đó từ (15*) và (15**) ⇒
4
sin ab
, (15) đợc chứng minh
- Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
2
1 BC
NP OA
MN
=
Ví dụ 14: Trong mọi ∆ABC, Chứng minh rằng:
ab + ba + ca ≥ 4 3 S (16)
H ớng dẫn :
C sin
1 B sin
1 A sin
1 S 2
C sin
1 B sin
1 A sin
1
≥ +
B sin
1 , A sin
1
và sinA, sinB, sinC là những số dơng
→ áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta đợc:
C sin
1 B sin
1 A
sin
1
≥ +
+
Do 0 < sinA + sinB + sinC
2
3 3
≤ , nên từ (16*) suy ra
C sin
1 B sin
1 A sin
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ ∆ABC đều
Ví dụ 16: Cho ∆ABC có ba góc đều nhọn, sao cho tgA, tgB, tgC là 3 nghiệm
của phơng trình x3 + px2 + qx + r = 0 (*)
sinMNP)
Trang 8Chứng minh rằng : p ≤ − 3 3 , q ≥ 9 (17)
H
ớng dẫn : - Vì tgA, tgB, tgC là 3 nghiệm của (*), theo định lý Vi-ét đối với phơng trình
bậc 3 → xác định :
+ tgA + tgB + tgC = ? ( = -p ) (1*)
+ tgA tgB + tgB tgC + tgCtgA = ? ( = q) (2*)
+ tgA tgB tgC = ? ( = -r ) (3*)
và tgA, tgB, tgC là 3 số dơng, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc:
, tgC tgB tgA 3 tgC tgB
tgA + + ≥ 3 hay − p ≥ 3 3 − p ⇒ p 3 ≤ 27 p
Do p < 0 ( từ (1*)) ⇒ p2 ≥ 27 ⇒ p ≤ − 3 3
- Theo bất đẳng thức Cô-si , ta có:
tgA tgB + tgB tgC + tgC tgA ≥ 3 3 tg 2 A tg 2 B tg 2 C
Suy ra q ≥ 33 p 2 , do p 2 ≥ 27 ⇒ q ≥ 9 ⇒ (17) đợc chứng minh
2.2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải một số bài toán khác:
2.2a) áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải ph ơng trình :
Khi một phơng trình ở dạng không thờng gặp, không mẫu mực, ta thờng sử dụng phơng pháp đặc biệt, nh phơng pháp nghiệm duy nhất, độc
lập nghiệm, tính chất liên tục, đơn điệu, tập giá trị của hàm số, bất đẳng thức
Ví dụ 16: Giải phơng trình
2002
1 1986
16
− +
−
−
=
−
+
H
ớng dẫn :
*) Ta có thể giải phơng trình (18) bằng cách biến đổi tơng đơng , đa
phơng trình về dạng tổng hai bình phơng bằng 0:
2
4y 2002
1
4y 2002
2
4x 1986
4
−
−
− +
−
−
đối với cách giải nầy việc biến đổi (18) → (*), đòi hỏi học sinh phải có phơng
pháp t duy tổng hợp cao ( đối với học sinh chuyên), trong khi đó nếu sử dụng
bất đẳng thức để giải thì không phải tốn thời gian hơn
*) Xác định điều kiện cho ẩn số ( tập xác định của phơng trình ):
(x > 1986 và y > 2003) Từ điều kiện nầy ta đợc
2002 y
1 ,
0 2002 y
, 0 1986 x
16 ,
0 1986
−
>
−
>
−
>
−
+ Biến đổi (1*) → dạng:
2002 y
1 2002
y 1986
x
16 1986
− +
− +
− +
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2002 y
1 2002
y
` va 8 1986 x
16 1986
− +
−
≥
− +
Từ (18*) và (18**) ⇒ (18**) có dấu “ = “
Và (18*) có dấu “ = “ khi và chỉ khi
−
=
−
−
=
−
2002 y
1 2002
y
1986 x
16 1986
x
Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình (18)
8
Trang 9Ví dụ 17 Cho n là số tự nhiên chẵn và số thực a > 3.Chứng minh rằng
phơng trình (n + 1)xn + 2 + 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 = 0 (19) vô nghiệm
* Nhận xét:
n ∈ N, n là số chẵn, xn + 2 ≥ 0 ∀ x, an + 2 > 0
→ (n + 1)xn + 2 + 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 > 0 , ∀ x hay không?
H ớng dẫn :
+ Vì n là số tự nhiên chẵn và a > 3 nên ∀ x ∈ R và a > 3 ta luôn có:
xn + 2 ≥ 0 và an + 2 > 0
+ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 2 số gồm n + 1 số bằng xn + 2 và một
số bằng an + 2, ta đợc:
( n+1 ) xn+2 +an+2≥( n+2 ).n+2( xn+2)n +1 an+2 =( n+2 ) xn+1 a
+ lu ý đến a > 3 nên: |xn+1.a | > 3| x|n + 1 ≥ -3xn + 1
→ (n + 1)xn + 2 + 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 > 3(n + 2)xn + 1 - 3(n + 2)xn + 1 > 0
Suy ra phơng trình (19) vô nghiệm
Ví dụ 18: Giải phơng trình
41 − x2 +41 + x +41 − x = 3 (20)
H ớng dẫn :
+ Xác định điều kiện của ẩn số ( tập xác định của phơng trình )
− 1 ≤ x ≤ 1 với điều kiện nầy, ta có 1 + x, 1- x, 1 - x2 đều là những số
không âm
+ Khi đó theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
2
x 1 x 1
4(1 x)(1 x)
2
x 1 1
41.(1 x)
≤ +
=
2
x 1 1
41.(1 x)
≤
−
=
+ Từ (*), (**), (***) suy ra :
3 2
x 1 1 2
x 1 1 1
x 1 x 1 1
41 x
41 x
41 x2
=
− + + + + +
≤
− + + +
≤
− + + +
−
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
1 x
1
1 x
1
x 1 x 1
=
⇔
=
−
= +
−
= +
+ Kiểm tra → x = 0 là nghiệm của (20)
2.2b) áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất (GTLN),
giá trị nhỏ nhất (GTNN):
Ví dụ 19: Cho 4 số không âm x, y, z, t thoả mãn 2x + xy + z + yzt = 1
Tìm GTLN của M = x2y2z2t
H
ớng dẫn :
- Vì x, y, z, t không âm ⇒ 2x, xy, z, yzt không âm
- Ta có tổng 2x + xy + z + yzt = 1 không đổi → áp dung bất đẳng thức Cô-si
cho 4 số không âm 2x, xy, z, yzt, ta đợc
4
1 4
yzt z xy x 2
4(2x)(xy)z(yzt)
4 2 1
Trang 10Suy ra M có GTLN bằng
512
1
⇔ 2x = xy = z = yzt =
4 1
⇔ x = 81, y = 2, z =
4
1
, t =
2
1
Ví dụ 20: Cho n số dơng a1, a2, , an có tổng a1+ a2+ + an = a không
đổi Tìm GTNN của tổng
a a
a
a a
a a
a
a S
n n
2 2
1
1
− + +
−
+
−
=
H ớng dẫn :
- Vì a1, a2, , an là những số dơng và a1 + a2 + + an = a nên a - a1,
a - a2, , a - an là những số dơng và
(a - a1)+ (a - a2 ) + + (a - an ) = (n - 1)a (*)
- Suy ra
a a
a
a a
a a
a
a a S
n n
2 2
1
− + +
−
+
−
- Ta tìm GTNN của tổng
a a
a
a a
a a
a
a a T
n n
2 2
1
1
− + +
−
+
−
=
- Từ (*) suy ra
a a
a a a
a a
a
a )
a a ( ) a a ( ) a a ( 1 n
1 T
n n
2 2
1
1 n
2
−
−
=
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc
n
n a a n
a 2 a a 2
a 1 a a 1
a n
n a a ( 2 a a )(
1 a a ( n 1 n
1 T
−
−
−
ì
ì
−
−
−
ì
−
≥
Hay
1 n
2 n T
−
≥ (***)
1 n
2 n S
−
=
−
−
Suy ra S có GTNN bằng nn−1 khi và chỉ khi
2 a 1 a n
a a
1
2 a a
1 1
a a
a a 2 a a 1 a a
=
=
=
⇔
−
=
=
−
=
−
−
=
=
−
=
−
Ví dụ 20: Tìm GTNN của hàm số
= 2 + 3 trên khoảng (0;+∞)
x
2 x ) x ( Giải: Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dơng
x
1 , 3
1 , 2 x 3
1 , 2 x 3
1 , 2 x 3
1
, ta có:
5 27
5 5
6 x
1
3 2 x 3
1 5 3
1 3 x
1 2 x 3
1 2 x 3
1 2 x 3
1 ) x
≥ + + + +
= Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x 5 3
3 x
1 2 x 3
1
=
⇔
=
5 )
5 3 ( ) x ( )
; 0 (
∞ +
∈
Chú ý:
Học sinh cần học tập “ thủ thuật” trên để vân dụng đợc bất đẳng
thức Cô-si
10
