CHUYÊN đề số PHỨC ôn THI THPT

Mỗi số phức z thỏa mãn z2 =w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.. Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức: a Trường hợp w là số thực: Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0... Môđun c

Trang 1

Giải tích 12|

1 | GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655

Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Ví

BÀI 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

1 Định nghĩa

Cho số phức z= +a bi Mỗi số phức z thỏa mãn z2 =w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.

2 Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức:

a) Trường hợp w là số thực: Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

Số thực a 0 có đúng hai căn bậc hai là :  a

Số thực a 0 có hai căn bậc hai là i a =  −i a

b) Trường hợp w= +a bi

Cách 1: z= +x yi (x y , ) là căn bậc hai của số phức w= +a bi

2

xy b

Mỗi Cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình trên ta có một căn bậc hai x+yi

của số phức đã cho

Cách 2: Biến đổi số phức đã cho về dạng: 2

w= +a bi= x+yi

Ta có các căn bậc hai của số phức đã cho là (a+bi)

Ví DỤ 1

Trong , tìm căn bậc hai của số z = −1?

Lời giải

1

z= − =i nên zcó hai căn bậc hai là i

Ví DỤ 2

Trong , tìm căn bậc hai của số phức z= − +3 4i?

Lời giải

Giả sử w= +x yilà một căn bậc hai của số phức z= − +3 4i

w = z x+yi = − +3 4i

LÝ THUYẾT.

I

=

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC

II

=

Trang 2

Giải tích 12|

Ví

2 2

1

2

x

x y

 =

Do đó zcó hai căn bậc hai là w1= +1 2i và w2 = − −1 2i

Ví DỤ 3

Trong , tìm căn bậc hai của −121

Lời giải

Ta có : z = −121 nên ( ) (2 )2

z= i = − i

Vậy căn bậc hai của zlà 11i

Ví DỤ 4

Tìm căn bậc hai của số phức z=2i?

Lời giải

z= i= + − = + + = +i i i i

Vậy z=2i có hai căn bậc hai là  + (1 i)

Ví DỤ 5

Tính căn bậc hai của số phức: − −5 12i

Lời giải

Gọi a= +x yi; ( ,x y ) là một căn bậc hai của số phức z= − −5 12i

Ta có a2 = − − 5 12i

( ) ( )

2 2

6 2

x y

i x y xyi

xy

TH1 : x=  = 0 y 0 (từ (2)) Thay vào (1) ta thấy 0= −5 (vô lí)

x

 = −

( ) 2

2

36

x

6

x

=  = − = −

Trang 3

Giải tích 12|

Ví

6

x

Vậy căn bậc hai của số phức : − −5 12i là hai số phức 2 − 3 ; 2i − + 3 i

Ví DỤ 6

Tìm căn bậc hai của số phức z= −i

Lời giải

Gọi w = +x yi; ( ,x y ) là căn bậc hai của −i

w = − i x+iy = − i x −y +2xyi= −i

0

x y

xy xy

= 

= −



2 2 2 2 2 2 2 2

y x



=





 = −









 = −





 =





Vậy z= −i có hai căn bậc hai là w 2 2

Ví DỤ 7

Tìm căn bậc hai của số phức sau z= +7 24i

Lời giải

Gọi w= +x yi x y( ,  ) là căn bậc hai của số phức z= +7 24i thì 2

w =z Khi đó, x y, là nghiệm của hệ phương trình sau  2 2

7

x y xy

Với ( ; )x y =(0; 0)không là nghiệm của hệ



2

4 12

3

x





Vậy căn bậc hai của số phức z= +7 24i là (4 3i+ )

Trang 4

Giải tích 12|

Ví

Ví DỤ 8

Cho a b , , biết w = +b 3i là căn bậc hai của số phức z= − +8 ai Tính P= +a b

Lời giải

Ta có: w = +b 3i là căn bậc hai của số phức z= − +8 ai a b , nên 2

w =z Khi đó, a b, là nghiệm của hệ phương trình sau  2 2  2

Vì a b , nên  1

6

b a

=

= Vậy P= + =a b 7

Ví DỤ 9

Tìm căn bậc hai của số phức w= +1 4 3i?

Lời giải

w= +1 4 3i= 2+ 3i

Vậy w= +1 4 3icó hai căn bậc hai là  + (2 3 )i

Ví DỤ 10

Tìm căn bậc hai của số phức z= +3 4i

Lời giải

z= +3 4i= +3 2.2.i= +4 2.2.i+ − =( 1) 2 +2.2.i+ =i 2+i

Từ đó suy ra z= +3 4icó hai căn bậc hai là 2+i và − −2 i

Ví DỤ 11

Tìm căn bậc hai của số phức z= − +3 4i?

Lời giải

Giả sử w= +x yilà một căn bậc hai của số phức z= − +3 4i

w = z x+yi = − +3 4i

2 2

1

x

x y

y

 =

Trang 5

Giải tích 12|

Ví

Do đó zcó hai căn bậc hai là z1= +1 2i và z2 = − −1 2i

Ví DỤ 12

Tìm căn bậc hai của số phức z= +8 6i?

Lời giải

Giả sử w = +x iy x y( ,  ) là một căn bậc hai của số phức z= +8 6i

2

8

y

x y





Do đó z có hai căn bậc hai là z z= +33i i

= − −

Ví DỤ 13

Tìm số phức z thỏa mãn 2 1

0 2

z + =

Lời giải

Ta có 2 1

0 2

2

i z i z

 =



 = −



Vậy có 2 số phức z thỏa 2 1

0 2

z + = là

2

i

và

2

i

Ví DỤ 14

Cho các số phức z, z= +a bi a b( ,  )thỏa mãn điều kiện 4

1

z = Tính các giá trị có thể có của

S với S = +a b

Lời giải

Ta có z =4 1 ( 2 )( 2 )

z − z + =  22 1

1

z z

+ Với 2

1

z = , ta suy ra z =1 hoặc z = −1 Đồng nhất hệ số ta được ( ) ( )a b =; 1; 0 hoặc

( ) (a b = −; 1; 0) Khi đó S =1

Trang 6

Giải tích 12|

Ví

+ Với 2

1

z = − , ta suy ra z=i hoặc z= −i Đồng nhất hệ số ta được( ) ( )a b =; 0;1 hoặc

( ) (a b =; 0; 1− ) Ta cũng tính được S =1

Vậy với mọi z= +a bi a b( ,  )thỏa 4

1

z = thì S =1với S = +a b

Ví DỤ 15

Tìm căn bậc hai của số phức sau z= +4 6 5i

Lời giải

Gọi w= +x yi x y( ,  ) là căn bậc hai của số phức z= +4 6 5i thì 2

w =z Khi đó, x y, là nghiệm của hệ phương trình sau

2 2

4

x y xy





=

Ta có

2

4

3 5

0

3 5

0

x





Giải phương trình x4 − 4x2− 45 = 0

0

5

t

t t

t

=



Kết hợp điều kiện ta được t=  = 9 x 3

+ Với x=  =3 y 5 Ta có số phức w= +3 5i

+ Với x= −  = −3 y 5 Ta có số phức w= − −3 5i

Vậy căn bậc hai của số phức z= +4 6 5i là  +(3 5i)

Ví DỤ 16

Hỏi khi số thực a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của

a i+ vạch nên đường nào?

Lời giải

Gọi w= +x yi x y( ,  ) là căn bậc hai của số phức z= + thì a i 2

w =z Khi đó, x y, là nghiệm của hệ phương trình sau

2 2

xy



=

Trang 7

Giải tích 12|

Phương trình 2xy =1 chứng tỏ điểm M biểu diễn số phức z phải thuộc hypebol 1

2

y x

Vì với mỗi điểm (x y; ) của hypebol này, ta tìm được a=x2−y2 nên các điểm của mặt phẳng

phức biểu diễn căn bậc hai của số phức a i+ vạch nên toàn bộ hai nhánh của hypebol 1

2

y x

Trang 8

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655

Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 1 | 9

BÀI 1 : DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

• Đơn vị ảo : Số i mà i = −2 1 được gọi là đơn vị ảo

• Số phức z= +a bi với a b , Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z

a bi a b i

= +  = − Tập số thực là tập con của tập số phức

• Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c

b d

=



 với a b c d , , ,

 Đặc biệt:

 Khi phần ảo b=  =   0 z a z là số thực,

 Khi phần thực a=  = 0 z bi z là số thuần ảo,

 Số 0= +0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo

2 Môđun của số phức

z = +a bi = a +b được gọi là môđun của số phức z

• Kết quả:  z ta có:

2 2

1 1

z z z z z z

=

3 Số phức liên hợp

• Cho số phức z= +a bi Ta gọi số phức liên hợp của z là z= −a bi

• Kết quả:  z ta có:

;

z z z z

z là số thực  =z z

z là số thuần ảo  = −z z

4 Phép toán trên tập số phức:

Cho hai số phức z1= +a bi và z2 = +c di thì:

• Phép cộng số phức: z1+z2 =(a+c) (+ b+d i)

• Phép trừ số phức: z1−z2 =(a− +c) (b−d i)

 Mọi số phức z= +a bi thì số đối của z là − = − −z a bi z: + − = − + =( ) ( )z z z 0

• Phép nhân số phức: z z1 2 =(ab bd− ) (+ ad+bc i)

 Chú ý

4

4 1

4 2

4 3

1

k k k k

i

+ + +



=





= −





• Phép chia số phức:

Trang 9

 Số phức nghịch đảo của z= +a bi0: 1 z2 21 2 z

z = z = a b 

+

z z z ac bd bc ad

i

+ + (với z 2 0)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Môđun của số phức z là một số âm

B Môđun của số phức z là một số thực

C Môđun của số phức z= +a bi là z = a2+b2

D Môđun của số phức z là một số thực không âm

Câu 2 Cho số phức z= −5 4i Môđun của số phức z là

Câu 3 Cho số phức z= −5 4i Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là

A (−5; 4) B (5; 4− ) C (− −5; 4) D ( )5; 4

Câu 4 Cho số phức z= +6 7i Số phức liên hợp của z là

A z= +6 7i B z= − −6 7i C z= − +6 7i D z= −6 7i

Câu 5 Các số thực x y, thỏa mãn: 3x+ +y 5xi=2y− +1 (x−y i) là

A ( ) 1 4

7 7

x y = − 

7 7

x y = − 

C ( ) 1 4

7 7

x y  

x y = − − 

Câu 6 Cho hai số phức z1= +1 2i và z2 = −2 3i Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?

A 2

1

z

i

C z1+z z1 2 = +9 i D z z =1 2 65

Câu 7 Cho hai số phức z1= +1 2i và z2 = −2 3i Phần ảo của số phức w=3z1−2z2 là

Câu 8 Cho số phức z= − 4 3i Phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là

A 4; 3− B −4; 3 C 4; 3 D − −4; 3

Câu 9 Điểm M −( 1;3) là điểm biểu diễn của số phức

A z= − +1 3i B z= −1 3i C z=2i D z =2

Câu 10 Số phức 7 17

5

i z

i

−

=

− có phần thực là

Câu 11 Các số thực x y, thỏa mãn: (2x+3y+ + − +1) ( x 2y i) (= 3x−2y+2) (+ 4x− −y 3)i là

Trang 10

x y = − − 

11 11

=  

C ( ) 9 4

x y = − 

11 11

x y = − 

Câu 12 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2x+ + −1 (1 2y i) =2 2( − +i) yi−x khi đó giá trị của

2

3

x − xy−y bằng:

Câu 13 Cho số phức z= +3 4i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Điểm biểu diễn của z là M( )4;3

B Môđun của số phức z là 5

C Số phức đối của z là − −3 4i

D Số phức liên hợp của z là 3 −4i

Câu 14 Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

A ( 7+ +i) ( 7−i) B.(10+ +i) (10−i)

C (5−i 7) (+ − −5 i 7) D (3+ − − +i) ( 3 i)

Câu 15 Môđun của số phức z= 3+i là

Câu 16 Phần thực của z=(2 3+ i i) là

Câu 17 Cho hai số phức z1= +1 i và z2 = − +5 2i Tính môđun của số phức z1+z2

Câu 18 Cho số phức z= +1 i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A z 1 i

Câu 19 Cho số phức z= −(1 6i) (− 2−4i) Phần thực, phần ảo của z lần lượt là

A − −1; 2 B 1; 2 C 2;1 D – 2;1

Câu 20 Cho số phức z= + 2 5i Tìm số phức w= +iz z

A w= − 7 3i B w= − − 3 3i C w= + 3 3i D w= − − 7 7i

Câu 21 Cho số phức ( )( )2

z= − i +i Môđun của w= +iz z là

Câu 22 Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn 5 3

1 2

i

− lần lượt là

A 1;1 B 1; 2− C 1;2 D 1; 1−

Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 1

1

i

−

+ Môđun của số phức

2

1 2

w= + z+z có giá trị là

Trang 11

Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1+i z) − − =1 3i 0 Phần ảo của số phức w= − + 1 iz z là

Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn: ( )2

3z+2z= 4−i Môđun của số phức z là

Câu 26 Số phức z thỏa mãn: z−(2+3i z) = −1 9i là

A 2 +i B − − 2 i C − −3 i D 2 −i

Câu 27 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức z−(2+i) = 10 và z z = 25

A z= +3 4 ;i z=5 B z= +3 4 ;i z= −5

C z= − +3 4 ;i z=5 D z= −3 4 ;i z= −5

Câu 28 Tìm số thực x y, để hai số phức 2 5

z = y − − xi và 2 11

z = y + i là liên hợp của nhau?

A x= −2;y=2 B x=2;y= 2

C x=2;y=2 D x= −2;y= 2

Câu 29 Cho số phức z=(2+i)(1− + +i) 1 3i Tính môđun của z

Câu 30 Cho z= − 1 2i và w= + 2 i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.w 1

C z z 1

w = w = D z w =z w = +4 3i

Câu 31 Cho số phức z= −1 2i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Phần thực của số phức z là −1 B Phần ảo của số phức z là −2i

C Phần ảo của số phức z là −2 D Số phức z là số thuần ảo

Câu 32 Cho số phức z= −i 1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Phần ảo của số phức z là i

B Phần thực của số phức z là 1

C Số phức liên hợp của số phức z là z= − −1 i

D Môđun của số phức z bằng 1

Câu 33 Cho hai số phức z1= +1 2i và z2 = − −1 2i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C z = −2 5 D z1+z2 =1

Câu 34 Cho số phức z1 = +1 2i và z2 = − −1 2i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A z1−z2 =0 B 1

2 1

z

z = C z z1 2 = −3 4i D z1 = − z2

Câu 35 Cho số phức 1 3

z= − i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A z z= − z B 1 3

z=− + i

2

z = i D z =1

Câu 36 Tìm các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức 3x+ +y 5xi=2y−(x−y i) :

Trang 12

A 0

0

x y

=



1 7 4 7

x y

 = −





 = −



4 7 1 7

x y

 =





 =



4 7 1 7

x y

 = −





 =



Câu 37 Cho số phức z= − − 1 2i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A 1

2

z z z

1 2

z− = + i

C 1

z− =− + i

3

z= − i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A 82

3

z = +i

C 82

3

z=− + i

Câu 39 Cho số phức z=2i−1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Phần thực của số phức z là −1

B Phần ảo của số phức z là −1

C Số phức liên hợp của số phức z là z= +2i 1

D z z = 4

z= − i Phần thực, phần ảo của số phức z2 có giá trị lần lượt là :

A 1; 3

−

2 − 2 i

C 1; 3

−

Câu 41 Tìm các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức ( ) ( )3

A (x y = −; ) ( 3; 4) B (x y =; ) ( )3; 4

C (x y =; ) (3; 4− ) D (x y = − −; ) ( 3; 4)

Câu 42 Giá trị của 105 23 20 34

i +i +i −i là ?

Câu 43 Tìm số phức z , biết z−(2+3i z) = −1 9i

A z= − + 2 i B z= − − 2 i C z= + 2 i D z= − 2 i

Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn (2z−1 1)( + +i) ( )z+1 1( − = −i) 2 2i Giá trị của z là ?

A 2

3

2

Câu 45 Cho số phức z= +a bi (a b , ) thỏa mãn : z−(2+3i z) = −1 9i Giá trị của ab +1 là :

Câu 46 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 và 2

z là số thuần ảo ?

Trang 13

Câu 47 Cho số phức z thỏa mãn z2−6z+13=0 Giá trị của z 6

z i

+ + là:

Câu 48 Cho số phức z thỏa

2016 1

1

i z

i

−

=  +  Viết z dưới dạng z= +a bi a b, ,  Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 49 Cho số phức z thỏa ( )5

1 2 2

i z

i

−

= + Viết z dưới dạng z= +a bi a b, ,  Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 50 Cho số phức z thỏa mãn ( )3 ( )

5

2 2

1

i z

i

−

khẳng định đúng?

A z = 5

B 2

5

z =

C Phần ảo của z bằng 0

D Không tồn tại số phức z thỏa mãn đẳng thức đã cho

Câu 51 Cho số phức zcó phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn

( ) ( )3 5

6

2

i

−

1

w= + +z z +z có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 52 Cho số phức z thỏa mãn z4 =476+480ivà z có phần thực và phần ảo là các số dương

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

z=  +i

Câu 53 Cho số phức 2 8 ( )5

1

i

+

z+z +z +z là số phức nào sau đây?

A − 8060 −4530i B − 8060 +4530i C 8060 +4530i D 8060 −4530i

Câu 54 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?

A ( )2016 1008

1007

1

5 2

i

+

C ( )2016 1008 1008

Câu 55 Cho số phức ( ) (4 1 )6

2

5

i

+

= − Số phức 5z+3i là số phức nào sau đây?

Câu 56 Cho số phức ( )5 ( )

2+i − 2+i z = − −37 43i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A zcó phần ảo bằng 0 B z z = 1

Trang 14

Câu 57 Cho số phức 3 ( )3

i

z

Số phức ( )2

2 12

z i

+

+ là số phức nào sau đây?

A −26 170i− B −26 170i+ C 26 170i− D 26 170i+

Câu 58 Cho 2 số phức

2 2

1

z

z z

−

 

−   

=

2 2

2

z

z z

−

  +   

= + với z= +x yi, x y , Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.z1và z2 là số thuần ảo B.z2 là số thuần ảo

C.z1 là số thuần ảo D.z1và z2 là số thựC

Câu 59 Có bao nhiêu số phức z thỏa z 1 1

i z

z i z

+

Câu 60 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo

Câu 61 Cho số phức z thỏa

3

1

i z

i

+

=

− Môđun của số phức z+iz là:

Câu 62 Tìm tất cả số phức z thỏa 2 2

z = z +z

z= z= − + i z= − − i

z= z= − − i z= − + i

z= z= − + i z= − − i

Câu 63 Cho số phức 2019

(1 )

z= −i Dạng đại số của số phức z là:

A 1009 1009

Câu 64 Cho số phức

2017

2016 1 1

i

z i

i

+

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.z= − 1 i B z= + 1 i

Câu 65 Cho số phức z thỏa z=2i−2 Môđun của số phức 2016

z là:

A 22016 B 23024 C 24032 D 26048

Câu 66 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: 2 2

26

z + z = và z+ =z 6

Câu 67 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa ( ) 3979

2

z

A Phần thực là 21990 và phần ảo là 2

B Phần thực là 1990

2

− và phần ảo là2

C Phần thực là −21989 và phần ảo là 1

D Phần thực là 1989

2 và phần ảo là 1

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	0,99 MB