Chuyên đề: SỐ phức ôn thi THPT QG môn TOÁN

Trong nhiều năm gần đây, các bài toán số phức thường có trong đề thi Đại học, Cao đẳng. Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng giải toán liên quan tới số phức, lấy được 01 điểm thuộc về số phức trong các bài thi, để các em tiến gần hơn đến ngưỡng của ĐH – CĐ. Thực hiện SKKN này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong SKKN này tôi đề cập đến một số phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến số phức, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC

Bài tập luyện tập

11 18

DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA

MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bài tập luyện tập

19 24

PHỤ LỤC

Số phức trong đề thi đại học các năm

Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

27 28 30 31

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

Trong quá trình dạy học, phương pháp dạy của thầy, việc tiếp thu kiến thứccủa học trò là vấn đề chúng ta đặc biệt quan tâm Chuyên đề này tôi đặc biệt dànhtặng các em học sinh có lực học trung bình nhưng lại có khát vọng vươn lên trongcuộc sống, quyết tâm thay đổi số phận của mình trên con đường học tập, bước chânvào ngưỡng của Đại học

Kể từ khi chương trình toán THPT bổ sung nội dung số phức, trong ki` thiđại học các năm gần đây, luôn có 01 điểm dành cho nội dung này So với các phầnkhác, thì 1,0 điểm này dễ lấy hơn nhiều, như nội dung khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị hàm số Dễ cho cả người dạy và người học

Trong nhiều năm gần đây, các bài toán số phức thường có trong đề thi Đạihọc, Cao đẳng Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng giải toán liên quantới số phức, lấy được 01 điểm thuộc về số phức trong các bài thi, để các em tiếngần hơn đến ngưỡng của ĐH – CĐ

Thực hiện SKKN này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp choquá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho cácbạn đồng nghiệp Trong SKKN này tôi đề cập đến một số phương pháp giải một sốdạng toán liên quan đến số phức, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linhhoạt trong giải toán Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập,

do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn

PHẦN II: NỘI DUNG A: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa số phức:

+ Dạng đại số: z = a + bi ( a, b  R, i2 = - 1)

2 Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:

+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i

+ Môđun của số phức : |z|  a2 b2

+ Số phức liên hợp : z a bi

+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b)

+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúngtương ứng bằng nhau

3 Các phép toán đối với số phức

Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ vànhân các số thực với chú ý i2 = - 1

 Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')' ( ') ( ')

2 2

2 1 2 2

2 1 2

1

|

|

.

.

z

z z z z

z z z

4 Phương trình bậc hai với hệ số thực.

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b2 – 4ac

+ Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt

a

b x

2

2 , 1

2

|

|

2 , 1

Vậy in {-1;1;-i;i},  n  N.

Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = 1 n   n

i i

 (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14 (1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.



Vậy phần ảo của z là b  2.

Ví dụ 7: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i Tìm z3 C sao cho các điểm biểu diễn của z1,

z2, z3 tạo thành tam giác đều

Giải: Giả sử z3 = x+yi (x,y là các số thực)

Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì

Từ năm 2014, nội dung số phức được cho điểm khiêm tốn hơn trong đề thi đại học, chỉ còn 0,5 điểm Tuy vậy, trong một kì thi quan trọng như kì thi THPT Quốc gia thì 0,5 điểm “ăn chắc” là đáng quý lắm rồi Hay nói cách khác, nội dung

số phức vẫn chỉ là phần cho điểm thí sinh.

Ví dụ 8 (B-2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Tìm modun của z

Giải: Giả sử z = x+yi (x,y là các số thực)

Vậy modun của số phức z là

Trong đề thi cao đẳng năm 2014, Bộ Giáo dục vẫn giữ nguyên 1,0 điểm cho phần số phức

Ví dụ 9(Cao đẳng năm 2014):

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực và phần

ảo của z

Giải: Giả sử z = x + yi (x, y là các số thực)

Bài tập luyện tập : Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

Bài 2 Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.

1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2 2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3

3) z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 4) z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)20105) z =

i

i i

1

1

6) 2 ( 3 2 ) 2

2 4

) 2 1 )(

1 (

i i

i i

) 4 ( 3

2

i

i i

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC

Trong dạng này tôi chia nhỏ thành 2 dạng :

+ Giải các phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình trùng phương ….với ẩn là số phức z,

+ Giải tìm số phức z thông qua đặt z = a+bi (thường gặp trong các đề thi).

Ví dụ 1: Tìm số phức sau:

a. (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i b.

i

i z

i i z

b z3 – 27 = 0  (z – 3) (z2 + 3z + 9) = 0  2

2,3

3 3

3 3 3

3 9 0

2

z z

z

i z

Phương trình có hai nghiệm z =1+4i; z = 1- i

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên trường số phức:

a z4 + 2z2 -3 = 0 b z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (*)

Giải

a. z4 + 2z2 -3 =

2 2

1 1

3 3

z z

2

1 1

3 3

2

4 0

2

z z

z z

1 23 2

1 2

i z

z

z z

+ Với t = -3z  z2 + 3z +6 +3z = 0  z2 + 6z + 6 = 0  3 3

z z

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

��  �35x y x x y 2y1 Giải hệ này ta được:

1 7 4 7

x y

Ví dụ 8:(A-2011) Tìm tất cả các số phức z biết

2 2

z  z z

Giải

Đặt z =a+bi (a, b là các số thực), ta có:

Vậy số phức phải tìm là z =1+i

Ví dụ 12 (CĐ -2011): Tìm modun của số phức z biết ( 3 4 )   i z z   4i 20

Bài 1 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

Bài 4 Giải ptrình sau trên tập số phức: z4 – z2 – 6 = 0

Bài 5 Giải ptrình: 3z4  4z2   7 0 trên tập số phức

Bài 6 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).

1) 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i 2) x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i

3) x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3 4) x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = 9 + 14i

2 1

3 1

i z

i z

Bài 8: Tìm số phức z biết z2+ |z| = 0

Bài 9: Tìm số phức z= x+yi biết x, y thỏa mãn đẳng thức :

x(3+5i) + y(1-2i)3 = 9 + 14i

DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN

ĐK CHO TRƯỚC

Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu:

* x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy)

* y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox)

* (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R

* (x-a)2 +(y-b)2 � R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên)

* (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bánkính R

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

Giả sử z = x + yi, khi đó:

(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 4x + 2y + 3 = 0

vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

3) Xét: 2   z z 2 (3)

Giả sử z = x + yi, khi đó:

(3)  |2+x+yi| > |x+yi-2|

 (x+2)2 +y2> (x-2)2 +y2 x > 0

 Tập hợp các điểm cần tìm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là cácđiểm (x;y) mà x > 0.

4) Xét hệ thức 1≤ z  � 1 i 2 1≤ z   � ( 1 )i 2

Giả sử z = x +yi khi đó

(5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2  1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4

 Quỹ tích cần tìm là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1

Ví dụ 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z

thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

x x

(2)  |1+(2y-1)i| = 2  1 + (2y-1)2 = 4  2y2 -2y-1 = 0 

1 3 2

1 3 2

y y

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm I(3;-4) bán kính R=2

Vậy tập hợp các điểm M là parabol y = 2

Bài tập luyện tập : Bài 1 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

điều kiện:

a) Phần thực của z bằng 2

b) Phần ảo của z thuộc khoảng  1;3.

c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn  2;2.

Bài 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

2 1

3 1

i z

Bài 5: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện



 bằng 0f) 1 z

z

  R

Bài 6 Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả

mãn các điều kiện sau

Chuyên đề giúp học sinh định hướng giải quyết tốt bài toán số phức Thôngqua việc hệ thống phân dạng, phương pháp giải các dạng toán số phức nhằm pháttriển tư duy linh hoạt cho học sinh Từ đó mang lại cho các em sự say mê và hứngthú trong học Toán.

Bản thân tôi khi soạn chuyên đề này, nhận thấy rằng vẫn còn nhiều nội dungliên quan đến số phức tôi chưa khai thác hết Với thời gian và năng lực có hạn tôichỉ xin trình bày ở đây những bài toán đơn giản nhất, bám sát nội dung thi trunghọc phổ thông quốc gia Hi vọng chuyên đề sẽ là cuốn tài liệu hữu ích cho các emhọc sinh

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các em học sinh đểchuyên đề của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Bình Xuyên ngày 22 tháng 10 năm 2015

Đào thị Tươi

PHỤ LỤC

Trong chuyên đề nhỏ này, tôi chỉ xin trình bày nội dung số phức liên quan đến nội dung thi của chương trình cơ bản So với chương trình học nâng cao, HS

học theo phân ban cơ bản sẽ không phải học nội dung dạng lượng giác của số phức, phương trình bậc hai với hệ số phức Theo PPCT mới, ở ban cơ bản bài tập tìm quỹ tích các điểm biểu diễn các số phức cũng không có Tôi xin trích dẫn đề thi đại học , đề thi cao đẳng , đề thi tốt nghiệp các năm từ 2009 đến nay các khối A, B,

D ở cả hai chương trình cơ bản và và nâng cao, để chúng ta cùng trao đổi Từ

đó có định hướng đúng nhất trong giảng dạy bám sát nội dung thi.

Phụ lục 1: Số phức trong đề thi đại học các năm

A 2009 Gọi z1, z2 là nghiệm của PT z2

i z

i





 .Tìm modun của sốphức z iz

2011 Tìm tất cả các số phức z biết

2 2

z

i

z   

Tính modun của số phức 1+ z + z2

2013 Không có Cho số phức

Viết dạng lượng giác của z Tìmphần thực và phần ảo của số phức

2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

D 2009 Trong (Oxy) tìm tập hợp điểm

biểu diễn các số phức z thỏamãn điều kiện

2013 Cho số phức z thỏa mãn điều

kiện: (1+i)(z-i) + 2z = 2i

Phụ lục 2: Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

Phụ lục 3: Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

3-2011 Giải phương trình

(1- i)z+(2-i)=4-5i trên tập số C

Giải phương trình (z-i)2+4 =0 trên tập số

1 Lê Hồng Đức (chủ biên), “ Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán12”, NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009.

2 Trần Văn Cơ, “Các đề thi theo hình thức tự luận môn Toán”, NXB đại học