Hệ tọa độ

Trục và độ dài đại số trên trục.. a Trục tọa độ trục là đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vectơ đơn vị O; e b Cho M nằm trên trục.. Khi đó tồn tại duy nhất

1 Trục và độ dài đại số trên trục

.

a) Trục tọa độ (trục) là đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vectơ đơn vị

( ) O; e

b) Cho M nằm trên trục Khi đó tồn tại duy nhất số k thỏa: Ta gọi k là tọa độ điểm M đối với trục đã

cho

( ) O, e e

k

A. B.

AB

c) Cho A, B nằm trên trục Khi đó (tồn tại duy

nhất số a thuộc R) thỏa:

Khi đó a là độ dài đại số của đối với trục đã cho

Kí hiệu:

( ) O, e ∃ ! a ∈ R

e a

AB =

AB

a =

Nếu cùng hướng với thì , ngược lại

thì

e

AB

AB = −

Nếu A, B trên trục có tọa độ là a, b thì ( ) O, e AB = b − a

2 Hệ trục tọa độ

O i

j

O

1

1

y

x

a) Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục

và vuông góc với nhau O là gốc tọa độ

Trục : trục hoành, kí hiệu Ox

Trục : trục tung, kí hiệu Oy

Hai vectơ là vectơ đơn vị và

Hệ tọa độ còn được ký hiệu Oxy.

( O , ; i j ) ( ) O; i

( ) O; j

( ) O; i

( ) O; j

j

i,

( O , ; i j )

1

=

= j i

j

O

a

b

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ tùy ý

Khi đó với sao cho:

Cặp số gọi là tọa độ của đối với hệ tọa độ Oxy

x: Hoành độ

y: Tung độ, ta viết hoặc

Vậy

Nhận xét: Cho , thì:

u

( x; y )

!

∃ x , y ∈ R u = x i + y j

u = ; u ; ( x y )

u = ; u ' = ( x ;' y ' )







=

=

⇔

=

'

' '

y y

x

x u

u

i j

u u

O

A

A1

A2

c Tọa độ điểm

i j

M(x;y)

M2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M, khi đó tọa độ của

M là tọa độ của

Nếu là toạ độ của M, ta viết hoặc Vậy

OM

j

O

C A .

.

B

d Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm và Ta có:A ; ( xA yA ) B ( xB; yB )

3 Tọa độ các vectơ u + v , u − v , k u

: có

?

?

=

=

±

u k

v u

u k

v u

v u

v

v u

v u

v

v v v

u u u

∈

=

−

−

=

−

+ +

= +

=

=

,

;

; u

; u

đó Khi

; ,

; Cho

2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1 2

1

j v i

v v

j u i

u

u

.

.

: có Ta

2 1

2 1

+

=

+

=

2 2

1 1

1 2

1

;

.

.

.

v u

v u

v u

j v

u i

v u

j v i

v j

u i

u v

u

+ +

= +

⇔

+ +

+

=

+ +

+

= +

⇒

3 Tọa độ các vectơ u + v , u − v , k u

Ví dụ 1 Cho a = ( 1 ; − 2 ) , b = ( ) 3 ; 4 , c = ( 5 ; − 1 )

Tìm: u = 2 a + b + c

Giải

Ta có: 2 a =

= + b a

2

= + b c

-2

( 2 ; − 4 )

( ) 5 ; 0

( ) 0 ; 1

Vậy u 2 = a + b + c = ( ) 0 ; 1

3 Tọa độ các vectơ u + v , u − v , k u

Ví dụ 2 Cho a = ( 1 ; − 1 ) , b = ( ) 2 ; 1

Phân tích theo c = ( 4 ; − 1 )

Giải

b

a và

Giả sử c = k a + h b

b h

k k

a

k

; 2

;

Mà

=

−

=







−

= +

−

=

+

⇔

1

4

2

h k

h

k







=

=

⇔

1

2

h k

Vậy c = 2 a + b

4.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ của

trọng tâm tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A ( xA; yA ) ( , B xB; yB )

Gọi I là trung điểm AB, ta có:( x ;I yI )

2

, 2

B

A I

B

A I

y

y y

x

x

b) Cho tam giác ABC có A ( xA; yA ) ( , B xB; yB ) ( , C xC; yC )

Gọi G là trọng tâm, ta có:( x ;G yG )

3

, 3

C B

A G

C B

A G

y y

y y

x x

x