Bai tap c4

Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau 1... Hãy tìm các thừa số tích phân và giải các phương trình sau 1.. Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng sau 1... Trong một p

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

4.1 Giải các phương trình tách biến sau

y  x 

2

5 'siny x yln ,y y 2 1



 

  6 y' sin( xy)sin(xy)

4.2 Giải các phương trình đẳng cấp sau

1 '

x y y

x y





'

xy  y x  y

x y

xy y x y

x



x

5.x y  1 (y x 2) ' 0y  6



4.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau

1

2

1x y' 2 xy 1x

3.y x' cosy2sin cosy y 1 4

2

x x

5 y' 1x2  yarcsin ,x y(0) 0

4.4 Đưa các phương trình sau về phương trình tuyến tính và giải chúng

x

y tgy

y

xdx x  y dy

5

0

x

y x y t dtx 6

2 cos sin '

sin cos

x y tg x y



9

4

x

y ye y y 

2x xy dx x y2y dy 2 xdx ydy ydx2 xdy2 0





3 2xdy 2 2 y 2 1 dx



xdx ydy ydx xdy

x

5 yx y1dxx ylnxdy0

4.6 Hãy tìm các thừa số tích phân và giải các phương trình sau

1 y(1xy dx)  xdy

2 y x( y dx) (xy1)dy0

3  2 

x  y dxxdy

4 ( cosx yysin )y dy( sinx y ycos )y dx 0

4.7 Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau

1 y21dxxydy 2 'y  4x2y 1

3  2 2

y x y

x y





5 yx y( 'xcos )x 6 (2xy dy)  ydx4lnydy

(x1) yy' 1  y

9

xt y t dt x y t dt

2x 1 x y dx x ydy

11

2 2

(1 ) '

( 1)

y y





9







0

xy x dx yx y dy 14 2 2

y xyyx y

2

y xy  x xyy

yy x x y x y

21  3  2 2

2yxy dx xx y dy0 22 2 2 3

'

xy y x y

x y  y xy  24 xdx(xdy ydx) 1x2

25 xy' xsin y y

x

x

27 x y( 'y)(1x e2) x 28

2

2

y x y y y  e

 

29 'y sin(y x 1) 30

2 1 '

ln

y y y

x x



31 xyy'x2 2y2 0 32 ' ( 1) x ln

y  x e y y

4.8 Giải các phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp được sau đây

2xy y' '' y'  1 2 y e'' x1 y'0

3  2

y   yy

5 '''y 2( '' 1) coty  gx

4.9 Tìm nghiệm tổng quát các phương trình vi phân cấp 2 sau

1  2

1x y'' 2 xy' 2 y0 biết một nghiệm riêng y1 = x

2 (2x1) '' (4y  x2) ' 8y y2e x2x13 biết hai nghiệm riêng của phương

trình thuần nhất tương ứng là y1 = e2x, y2 = ( 4 x 1 )

2



3 (3x3x y) '' 2 ' 6  y xy  4 12x2 biết hai nghiệm riêng của phương trình đã cho là

2

4 (2x1) '' (2y  x1) ' 2y  yx2x biết một nghiệm riêng của phương trình

thuần nhất tương ứng là một đa thức

4.10 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng sau

1 '' 2 'y  y y6xe x 2 ''y y4xe x

2

x



5

1

x x

7 y'' 2 ' 2 y yxex, y(0) y'(0)0

4.11 Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau

1.2x12 y'' 4(2 x1) ' 8y  y 8x 4

2 x y2 '' 2 xy' 2 y0

3 xy''y'x e2 x

4 y''y'x e2 x

5 y'' 4 yxcos2x

6.xy''y'xe x

7 y'' 7 ' 12 y  y(x1)e2x

4 '' ' ln , '(1) 1, (1)

9

9

' '' 'ln y

xy y

x



2xx y'' x 2 y' 2(1 x y) 0, y(1)0, y'(1) biết một nghiệm 1 riêng y1 = ex

11 '' 2 ' 2y  y  ye xxcosx

12

2

sin

y y

e

13 y''ytgx

4.12 Giải các hệ phương trình vi phân sau

1

1

1

dx

dy











2 ' 2







3

5

t



 



(0) 2, (0) 3

  







4.13 Cho 2 phương trình vi phân

xy y f x

a) Giải phương trình (1)

b) Tìm hàm số f x( ) sao cho hai phương trình (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung

4.14 Giải các phương trình vi phân sau

1

3 4 '

y





3

x y

y

x

5 (x3 )y dyydxlnydy 6 x e yy'2

7

1 '

y



x

xy t dt 



9.xy x x dy  2 y12dx 10

2

(2 ln ) '

1

y

x





11 yx y( 'xsin )x 12 y x' lnx2ylnx

13 y''y'y(x1)e2x 14 y'' 6 ysin2x 4

15 y'' 4 y5e2xcos3x2 16 y'' 5 y6 cos 2x x7

y

y e  x dy x  xy x dx

4

9

xy y x x y   y  

2xx y'' x 2 y' 2(1 x y) 0, y(1)0, y'(1) biết một nghiệm 1 riêng y1 = ex

20 (2x1) '' (4y  x2) ' 8y y2e x2x13 biết hai nghiệm riêng của phương

trình thuần nhất tương ứng là y1 = e2x, y2 = ( 4 x 1 )

2



4.15 Dòng điện I(t) trong mạch nối tiếp RL thỏa phương trình vi phân

.dI ( ) ( )

L R I t E t

dt   ; R, L là các hằng số

a) Cho E(t) = E0 là hằng số Tìm I(t)

b) Tìm I(t) nếu E(t) = E0sint ,  là hằng số

4.16 Trong một phản ứng hóa học, chất A được biến đổi thành chất B với tốc độ tỷ lệ

với bình phương lượng còn lại chưa biến đổi của chất A Giả sử ban đầu chúng

ta có 50gr chất A và sau 2 giờ thì chỉ còn 10gr chất A chưa biến đổi Hỏi sau 4 giờ chất A còn lại một lượng là bao nhiêu?

4.17 Người ta tiến hành nung một thanh sắt đạt đến 1000 (0C) rồi để ngoài môi

trường cho nguội dần Biết rằng tốc độ nguội dần của thanh sắt tỷ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ thanh sắt và nhiệt độ môi trường và sau 3 giờ nhiệt độ của nó là

500 (0C) Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của thanh sắt bằng nhiệt độ môi trường nếu giả sử nhiệt độ môi trường luôn không đổi là 30 (0C) trong suốt quá trình nguội dần

4.18 Một viên thuốc hình cầu với thể tích V và diện tích xung quanh S được nuốt và

phân rã trong bao tử Qua một nghiên cứu người ta thấy rằng tốc độ giảm dần của thể tích viên thuốc sẽ tỷ lệ với diện tích xung quanh của nó

a) Viết phương trình biểu diễn biết rằng ban đầu viên thuốc có thể tích là V0

b) Theo kinh nghiệm thực tế thì thể tích viên thuốc sẽ giảm một nửa sau 3 giờ Hãy ước lượng thời gian cần thiết để viên thuốc phân rã hết 95% thể tích ban đầu