Hửụựng daón caõu 6: Caựch 1: laứm gioỏng caõu 5... trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Trang 1Chuyên đề 1: Các bài toán về biên đổi căn bạc hai
ẹeà 1:
Caõu 1 :
Chửựng minh : soỏ A =
2 6
48 13 5 3 2
2 6
2 6 2
6
1 3 2 5 3
Caõu 2 :Cho a,b,c laứ caực soỏ thửùc khoõng aõm
Chửựng minh : a+ b + c = ab ac bc abc.
Hửụựng daón caõu 2
c
b
a
c b c
a b a bc ac ab
c
b
a
Caõu 3 : Cho x , y , z laứ caực soỏ thửùc dửụng thoỷa maừn x y z 0
z x z x y x y z y
Hửụựng daón caõu 3:
x y z 0suy ra x y z xy z 2 xy
Tửụng tửù : z + x - y = 2 xz ; x + y - z = 2 xy
2 2
1 2
1 2
1 1
1 1
z y x xy xz
yz z
y x y x z x z y
Caõu 4:
Tỡm taỏt caỷ caực giaự trũ x,y,z thoỷa maừn ủieàu kieọn : x yz x y z
Hửụựng daón caõu 4:
z y x z
y
x x yz y x zủieàu kieọn x,y,z 0 vaứ x +z y
z y
y x z
y y x xy z y x y xy z y
x
Vaọy x = y 0 hoaởc y = z 0
Caõu 5 :Cho bieỏt 2 3 2 3 3
Haừy tớnh : E = x+ y
Hửụựng daón caõu 5:
Nhaõn hai veỏ (1) cho 2 3
x
x ta coự : -3y y2 3 3( 2 3
x
2 3 2 3( 2 )
y
Nhaõn hai veỏ (1) cho 2 3
y
x
y
x x2 3 y y2 3( 3 )
Coọng 2 vaứ 3 ta coự : x+y = 0
Caõu 6 : Cho x vaứ y thoỷa 1 2 1 2 1
Chửựng minh x + y = 1
Hửụựng daón caõu 6:
Caựch 1: laứm gioỏng caõu 5
Caựch 2: 1 suy ra 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 0
x
y
Caõu 7: Cho ba soỏ thửùc x, y, z khaực 0 vaứ xy xz yz(1)
Chửựng minh : 111 0
z y x
Hửụựng daón caõu 7:
ẹieàu kieọn x+y, y + z vaứ x+z 0
Trang 2Bình phương hai vế (1) ta có ( )( ) ( )( ) 2 0
xz yz xy z x y z x z x y z x
0
1
1
1
z
y
x
Câu 8 :
Cho a,b,c là các số hữu tỉ Chứng minh :
2 2
1 )
(
1 )
(
1
a c c b
b
a là một số hửu tỉ
Hướng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0
2
1 1 1
2 1 1 1 1 1
1
z y x z y x z y x z y x z y
Câu 9: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :B = 3 x x
Hướng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại x là x 0 do đó A = x + x 0 Nên MinA = 0 khi và chỉ khi x =0
chú ý : cách giải sai : A = 122 41 41 41
xảy ra vì khi đó x 12là điều vô lí
b) Điều kiện x 3 ; Đặt y = 3 x suy ra y2 = 3-x Do đó B = 3-y2 + y =
4
13 2
1
4
y
Câu 10 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x,y là số dương và 2x + xy = 4
Hướng dẫn câu 10 :
Ta có A = 2x xy
2
1
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2x và xy ta có :
A = 2x xy
2
1
4
) 2 ( 2
xy x
Câu 11 :
ĐỀ II
Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2005-2006)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :
1 1
2 ) 1 (
1
k k k
k
) 1 (
1
3 4
1 2 3
1 2
1
n
n , với mọi số nguyên dương n Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T = 17 4 3015 12236 6 10
Câu 3:
Rút gọn : B = 3 52022 5
Câu 4: (65/400)
2
1 2
y
Câu 5 : (67/400)
Trang 3Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1 chứng minh rằng số :
A = ( 1 a2 )( 1 b2 )( 1 c2 ) là một số hữu tỉ
Câu 6 (80/1001)
Tìm x biết : x = 5 13 5 13 trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần
Câ 7: (82/1001)
Rút gọn : A = 3 182 33125 3 182 33125
Câu 8: (84/1001)
Cho số x = 3 9 4 5 3 9 4 5
a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x2 - 3x - 18 = 0
b) Tính x
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a) 3 2 5 3 2 5 1
b) 3 3 2 2 3 3 2 2 8 3 6 ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007) Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A = 5 x x 1
b) Giải phương trình: 5 x x 1 = -x2 + 2x +1
Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999)
Tính giá trị biểu thức : A = (3x3 +8x2 +2 )2006 với x =
5 6 14 5
38 5 17 ) 2 5
Câu 12 ( bài 11/tr120 cđbđtvà cực trị)
Cho a,b,c 0
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 a bcb ca c ab
Trang 4ĐỀ 3:
Câu 1 :
Cho A = 2000 1999 ;B 2001 2000 ;So sánh A và B
Hướng dẫn : Ta có :
2000 2001
1 2000
2001
2000 2001 2000
2001
1999 2000
1 1999
2000
1999 2000 1999
2000
B
A
Do đó A > B
Câu 2:Rút gọn biểu thức :
3 2 4 2 ) 4 3 2 1 ( 2 3 3 8 14
3 )
3
6
12
Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây)
Tìm các giá trị của x,y,z thỏa mãn phương trình:
3000 ) (
2
1 2002 2001
x
Hướng dẫn:Đk : x 2000 ;y 2001 ; z 2002
Phương trình đã cho tương đương ( 2000 1 ) 2 ( 2001 1 ) 2 ( 2002 ) 2 0
x
Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
2
3 1 1 2
3 1
2
3 1 1 2
3 1
Hướng dẫn:
3 3
3 2 3 3
3 2
4
) 1 3 ( 1 2
3 2
4
) 1 3 ( 1 2
3 2
2
CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh rằng số : x0 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phưong trình:
x4 - 16x2+ 32 = 0
Hướng dẫn: Ta có
:
0 32 16
16 64 3 8 ) 3 3 6 ( 4 ) 3
2
(
4
) 3 3 6 2 3 2 2 ( )
8
(
8 3
3 6 2 3 2 2 8
3 3 6 2 3 2 2
8
2 0
4
0
4 0
2 0
2 2
2
0
0 2
0
2
0
x
x
x x x
x
x
2
x kiện Điều
Vậy x0 là nghiệm của phương trình x4 - 16x2+ 32 = 0
Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây)
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:
6 ) 2 2 3 ( )
2
2
3
Hướng dẫn:
Đặt a ( 3 2 2 )n ( 3 2 2 )n.
a
1 thì 0 a với
Trang 5Phương trình đã cho tương đương a+ 1 6
a a2 -6a + 1 =0 có nghiệm a1 = 3-2
2 2
3
;
2 a2
2 2 3
1 2 2 3 ) 2 2 3
(loại)
- Với a1 = 3+2 2 ;suy ra ( 3 2 2 ) 3 2 2 ( 3 2 2 ) 2 2
Vậy n = 2
Câu 7:
a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì a12 b12 c12 a1b1c1
2007
1 2006
1 1
5
1 4
1 1 4
1 3
1 1 3
1 2
1
B
Câu 8 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A =
x
x x
2
Hướng dẫn:
Đk x 2002
Đặt a = x 2001; và b = x 2002Ta có a2= x -2001 x +2= a2 + 2003
và x-2002 = b2 ; x = b2 + 2002
A =
b
b a a b
b a
a
2002
1 2003
1 2002
2
Aùp dụng bất đẳng thức côsi ta có : 2003 2003 2002
b
2002 và b
a a
Do đó A 20031 20021 ; Đẳng thức xảy ra khi 4004
2002 2003 2003 2002
2 2
x b a a a b b
CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh)
a) Tính giá trị biểu thức : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004
Trong đó x 3 3 2 2 3 3 2 2 ;y 3 17 12 2 3 17 2 2
b) Rút gọn :
17 13
1 13
9
1 9 5
1 5
1
1
Hướng dẫn :
34 3 2
2 17 2
12
17
6 3
; 2 2 3 2
2
3
3 3
3
3 3
3
y y y
x x x
Do đó : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x3-3x + y 3-3y +2004=6+34+2004=2044
Câu 10:
Tìm số nguyên n thỏa mãn đẳng thức :
8 8
n
Hướng dẫn:
n
Ta có x3 -3x(-2) -2n =0 suy ra n = (83 -2.8.(-2)):2 =280
Câu 11:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho : x y 1989
Trang 6Hướng dẫn : ta có x y 3 221 vì 3 221 là số vô tỉ nên x , y là những căn thức đồng dạng chứa 221
Do đó đặt x a 221 , y b 221 với a, b N ; Ta có : a+b=3
0 3
; 3 0
;
1
2
;
2
1
b a b
a
b
a
b
a
Các cặp số x, y cần tìm là : (221;884);(884;221);(0;1989);(1989;0)
ĐỀ 4
Câu 1
Với x, y là các số dương thỏa mãn : ( 1 2 )( 1 2 ) 2000
y x
Tính giá trị biểu thức : S = x 1 y2 y 1 x2
Hướng dẫn :với x,y > 0 ta có :
1 ) 1 1
(
1 ) 1 ( ) 1 )(
1 ( 2 )
1
(
1
) 1 )(
1 ( 2
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 ( 2 )
1 )(
1 (
(
2000
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
x y y
x
x y y x
xy y
x
y x y x y
x xy
y
x
y x
y x
xy y x y
x y
x
Do đó : 2000 = S2 +1 suy ra S = 1999
Câu 2: Trục căn thức ở mẫu : A = 3 4 322 2
Hướng dẫn :
3 3
3 3 3
2 3
3 3 3
1 ) 2 (
) 1 2 ( 4 1 2 ) 2 (
2 )
2 1 2 ( 2
2 2
2
4
2
Câu 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 x 4 x 4 x 4
Hướng dẫn :
8 x 4
là A của nhất nhỏ
trị
giá
ậy
khi ra xảy
dấu
4
8 4
0 4 2
4
4 4 2
2 4 4
2 2
4
v
x x
A
x x
x x
A
Câu 4:Rút gọn biểu thức :
1 3
2 : 2
2 10 2
6 2 2 30 10 2
A
Câu 5:
Cho biểu thức 152 113 31 2 2 33
x
x x
x x
x
x A
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.; b) Rút gọn A.; c) So sánh A với 32
Câu 6: Không dùng máy tính hãy so sánh: 2 3 2 3 và 2 1
Câu 7: Chứng minh đẳng thức :
a
b a
b a b
a b
a b
Với a, b trái dấu
Hướng dẫn :
Vì a,b trái dấu nên 0
b
a
;Ta có :
a
b a
b a a
b b
a b
b a b
a b
b a b
a b
a b
) (
)
Câu 8: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đà Nẵng)
Thu gọn biểu thức : P = 2 23 36 48 4
Trang 7
Hướng dẫn.
4 3 2
) 4 3 2 ( 2 ) 4 3 2
(
Câu 9:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = (x 2006 ) 2 (x 2007 ) 2
Hướng dẫn:
P = (x 2006 ) 2 (x 2007 ) 2 =
1 2007 2006
200 2006
200
x
Vậy P 1, Đẳng thức xảy ra khi :(-x - 2006)(x+2007) 0 -2007 x -2006
Câu 10:
Rút gọn biểu thức : P= abc 2 acbc abc 2 acbc
Hướng dẫn:
) (
) (
) (
) (
2
c b a c
b
a
c b a c
b a bc
ac c b a bc ac c
b
a
Nếu a+b c thì P=2 a b
Nếu a+b< c thì P=2 c
Câu 11:Tính giá trị biểu thức : P = x3 +3x +2 với 3
3
1 2
1 1 2
x